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立体几何公式及重点


立体几何公式及重点 立体几何公式及重点 1.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 2.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 3.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 4.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 5.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 9.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ使 a=λb.

P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP = t AB ? OP = (1 ? t )OA + tOB .

AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB = tCD 且 AB、CD 不共线.
10.共面向量定理

向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p = ax + by . 推论 空 间 一 点 P 位 于 平 面 MAB 内 的 ? 存 在 有 序 实 数 对 x, y , 使

MP = xMA + yMB , 或 对 空 间 任 一 定 点 O , 有 序 实 数 对 x, y , 使 OP = OM + xMA + yMB .
11 . 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP = xOA + yOB + zOC (x+ y+ z = k) ,则当 k = 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面; 当 k ≠ 1 时,若 O ∈ 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、 A、B、C 四点不共面.

A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD = x AB + y AC ? C OD = (1 ? x ? y )OA + xOB + yOC ( O ? 平面 ABC).
12.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP = xOA + yOB + zOC . 13.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B 点在 l 上的射影 B ,则
' '

A' B ' =| AB | cos 〈a,e〉=a·e
14.向量的直角坐标运算 设 a=

(a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) ; (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

(1)a+b= (2)a-b= (3)λa=

(λ a1 , λ a2 , λ a3 ) (λ∈R); a1b1 + a2b2 + a3b3 ;

(4)a·b= 15.设 A

( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

AB = OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .
16.空间的线线平行或垂直 设

r a = ( x1 , y1 , z1 )



r b = ( x2 , y2 , z2 )

,则

? x1 = λ x2 ? ? y1 = λ y2 r r r r r r ? a P b ? a = λ b(b ≠ 0) ? ? z1 = λ z2 ; r r r r a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 .
17.夹角公式 设 a=

(a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则
a1b1 + a2b2 + a3b3
2 2 a + a2 + a3 b12 + b22 + b32 2 1

cos〈a,b〉= 推论

. ,此即三维柯西不等式.

2 2 (a1b1 + a2b2 + a3b3 ) 2 ≤ (a12 + a2 + a3 )(b12 + b22 + b32 )

18.四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 θ ,则

cos θ =

| ( AB 2 + CD 2 ) ? ( BC 2 + DA2 ) | 2 AC ? BD .

19.异面直线所成角

r r cos θ =| cos a, b |
r r | a ?b | r r = | a |?| b |
o

| x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 | x1 + y12 + z12 ? x2 2 + y2 2 + z2 2
2
o

=

r r a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向 b b (其中 θ ( 0 < θ ≤ 90 )为异面直线
向量) 20.直线 AB 与平面所成角

β = arc sin

AB ? m | AB || m | ( m 为平面 α 的法向量).

21. ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α 成的角 若 分别是

θ1 、 θ 2 , A、B 为 ?ABC 的两个内角,则
.

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = (sin 2 A + sin 2 B ) sin 2 θ

特别地,当 ∠ACB = 90 时,有

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ

.

22. ?ABC 所在平面若 β 与过若 AB 的平面 α 成的角 θ ,另两边 AC , BC 与平面 α 成的角 若 分别是

θ1 、 θ 2 , A'、B ' 为 ?ABO 的两个内角,则
.

tan 2 θ1 + tan 2 θ 2 = (sin 2 A' + sin 2 B ' ) tan 2 θ
特别地,当 ∠AOB = 90 时,有

sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 = sin 2 θ

.

23.二面角 α ? l ? β 的平面角

θ = arc cos
24.三余弦定理

m?n m?n π ? arc cos | m || n | 或 | m || n | ( m , n 为平面 α , β 的法向量).

设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 AB 与 AC 所成的角为 25.三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 角的棱所成的角是θ,则有

θ1 ,

θ 2 ,AO 与 AC 所成的角为θ .则 cos θ = cosθ1 cosθ 2 .
θ1 , θ 2 ,与二面

sin 2 ? sin 2 θ = sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 ? 2sin θ1 sin θ 2 cos ? ;

| θ1 ? θ 2 |≤ ? ≤ 180 ? (θ1 + θ 2 ) (当且仅当 θ = 90 时等号成立).
26.空间两点间的距离公式 若A

( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

d A, B | AB |= AB ? AB = ( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 ) 2 + ( z2 ? z1 ) 2 = .
27.点 Q 到直线 l 距离

h=

1 (| a || b |) 2 ? (a ? b) 2 |a| (点 P 在直线 l 上, 直线 l 的方向向量 a= PA , 向量 b= PQ ).

28.异面直线间的距离

d=

| CD ? n | | n | ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d
间的距离).



l1 , l2

29.点 B 到平面 α 的距离

d=

| AB ? n | | n | ( n 为平面 α 的法向量, AB 是经过面 α 的一条斜线, A ∈ α ).

30.异面直线上两点距离公式

d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos θ .
d = h 2 + m 2 + n 2 ? 2mn cos EA' , AF
.

d = h 2 + m2 + n 2 ? 2mn cos ?

' ( ? = E ? AA ? F ). '

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别 取两点 E、F, A E = m , AF = n , EF = d ).
'

31.三个向量和的平方公式

(a + b + c) 2 = a + b + c + 2a ? b + 2b ? c + 2c ? a

2

2

2

= a + b + c + 2 | a | ? | b | cos a, b + 2 | b | ? | c | cos b, c + 2 | c | ? | a | cos c, a
32.长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为

2

2

2

l1、l2、l3

,夹角分别为

θ1、θ 2、θ 3 ,则有
2 l 2 = l12 + l2 + l32 ? cos2 θ1 + cos2 θ 2 + cos2 θ3 = 1 ? sin 2 θ1 + sin 2 θ 2 + sin 2 θ 3 = 2

.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 33.面积射影定理

S' S= cos θ .
(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 θ ).
'

34.斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 面积分别是

S斜棱柱侧



V斜棱柱

,它的直截面的周长和

c1



S1

,则

① ②

S斜棱柱侧 = c1l V斜棱柱 = S1l
.

.

35.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 142.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多 边形是相似多边形, 相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) 相应小棱锥与小棱 ; 锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 36.欧拉定理(欧拉公式)

V + F ? E = 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).
(1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与

棱数 E 的关系:

E=

1 nF 2 ; E= 1 mV 2 .

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: 37.球的半径是 R,则

4 V = π R3 3 其体积 ,
其表面积 S = 4π R .
2

38.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角 线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

6 6 a a 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 12 ,外接球的半径为 4 .
39.柱体、锥体的体积

1 V柱体 = Sh 3 ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 1 V锥体 = Sh 3 ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高).


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