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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第十章计数原理10.3二项式定理课件理


§10.3 二项式定理

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.二项式定理

二项式定理
二项展开式

0 n 1 n-1 r n-r r n C a + C a b + ? + C b +? n n na (a+b) =______________________________

n n + C nb _______( n∈N*)

的通项公式 二项式系数

Cn an-rbr ,它表示第 r+1项 Tr+1=_________
r r C 二项展开式中各项的系数 n (r∈{0,1,2,?,n})

2.二项式系数的性质
0 (1)Cn= 1 n ,Cn=

1.
.

m-1 m m C + C n Cn+1= n

n-m m C (2)Cn =____. n

(3)当 n 为偶数时,二项式系数中,以 C 最大;当 n 为奇数时,二项式 系数中以 C
n ?1 2 n

n 2 n

n 和 C n(两者相等)最大.

n ?1 2 n

1 n n 2 (4)C0 + C + ? + C = . n n n

知识拓展 二项展开式形式上的特点 (1)项数为 n+1 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n. (3)字母a按 降幂 排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按

升幂 排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.
0 n 1 n-1 C n C (4)二项式的系数从 ,Cn,一直到 Cn , n .

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n-rbr是二项展开式的第r项.( × ) (1)Cr na

(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )

(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( √ )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( × )

(5) 若 (3x - 1)7 = a7x7 + a6x6 + ? + a1x + a0 , 则 a7 + a6 + ? + a1 的 值 为
128.( × )

考点自测
m-1 m-1 ( - 1) C n n 1.(教材改编)(x-y) 的二项展开式中,第m项的系数是____________.

答案

解析

(x-y)n展开式中第m项的系数为
m-1 -1 Cm ( - 1) . n

2.(2016· 四川改编 ) 设 i 为虚数单位,则 (x + i)6 的展开式中含 x4 的项为 _______. -15x4
答案 解析

4 2=-15x4. 由题意可知,含x4的项为C2 x 6 i

1 2 2 3 3 n n 1 3.(2016· 徐州模拟)已知 C0 + 2C + 2 C + 2 C + ? + 2 C = 729 ,则 C n n n n n n+ 2 3 n 63 Cn+Cn+?+Cn=___.

答案

解析

1 2 2 3 3 n n n n 逆用二项式定理得 C0 + 2C + 2 C + 2 C + ? + 2 C = (1 + 2) = 3 =729, n n n n n

即 3 =3 ,所以 n=6,
n 6
2 3 n 6 0 所以 C1 + C + C + ? + C = 2 - C n n n n n=64-1=63.

168 4.(2016· 苏州模拟)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是____.
答案 解析

r 4 t t ∵(1+x)8 的通项为 Cr x , (1 + y ) 的通项为 C 8 4y ,

t r t ∴(1+x)8(1+y)4 的通项为 Cr C 8 4x y , 2 令 r=2,t=2,得 x2y2 的系数为 C2 C 8 4=168.

题型分类

深度剖析

题型一 二项展开式 命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数

例1

(1)(2016· 全国乙卷)(2x+ x)5的展开式中,x3的系数是____.( 10 用数字
答案 解析
5? r 2

填写答案)

r 5-r x (2x+ x)5 展开式的通项公式 Tr+1=C5 (2x)5-r· ( x )r = C r 2 5



r∈{0,1,2,3,4,5},

r 令 5-2=3,解得 r=4, 4 5? 4 5-4 3 2 x 得 T5=C52 =10x ,

∴x3的系数是10.

30 (2)(2015· 课标全国Ⅰ改编)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为___.
答案 解析

方法一

利用二项展开式的通项公式求解.

(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,
2 3 2 含 y2 的项为 T3=C2 ( x + x ) · y. 5

其中(x +x) 中含 x 的项为
2 3 5

1 4 1 5 C3x · x=C3x .

1 所以 x5y2 的系数为 C2 C 5 3=30.

方法二

利用组合知识求解.

(x2+x+y)5 为 5 个 x2+x+y 之积,其中有两个取 y,两个取 x2,一个
2 取 x 即可,所以 x5y2 的系数为 C2 C 5 3=30.

命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数

例2

(1)(2015· 课标全国Ⅱ)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系
解析

3 答案 数之和为32,则a=____.

设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=1,得16(a+1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5, ①

令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5),



即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1+a3+a5=8(a+1),
所以8(a+1)=32,解得a=3.

? ? 2 (2)(2016· 山东)若?ax + ?

1? ?5 5 的展开式中 x 的系数为-80,则实数 a= x? ?

-2 ____.

答案

解析
10 ? r 1? ?r 5-r r C5 x 2 , ? =a x? 5

? r 2 5-r? ∵Tr+1=C5(ax ) ? ?

5 ∴10-2r=5,解得 r=2,∴a3C2 5=-80,解得 a=-2.

思维升华

求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式

后,令字母的指数符合要求 (求常数项时,指数为零;求有理项时,
指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.

跟踪训练1 ___. 3
答案

2 (1)(2016· 连云港模拟)( x+x)(1- x )4的展开式中x的系数是
解析
r 2

r r r (1- x)4 展开式的通项公式 Tr+1=Cr ( - x ) = ( - 1) C4 x , 4
0 2 2 4 4 4 2 0 0 ( +x)(1- x) 的展开式中含 x 的项为 · (-1) C4x +x· (-1) C4 x 2 x x

2 2 = · x +x· 1=3x,故系数是 3. x

1 (2)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=___.( 2 用数字填写答案)
答案 解析

r 10-r r 设通项为 Tr+1=C10 x a ,令 10-r=7,
3 ∴r=3,∴x7 的系数为 C3 a 10 =15,

1 1 ∴a =8,∴a=2.
3

题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; 解答 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+?+a10y10,(*)

各项系数的和为a0+a1+?+a10,奇数项系数和为a0+a2+?+a10,
偶数项系数和为a1+a3+a5+?+a9,x的奇次项系数和为a1+a3+

a5+?+a9,x的偶次项系数和为a0+a2+a4+?+a10.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
1 10 10 二项式系数的和为 C0 + C + ? + C = 2 . 10 10 10

(2)各项系数的和;

解答

令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 解答
2 10 9 奇数项的二项式系数和为 C0 + C + ? + C = 2 , 10 10 10

偶数项的二项式系数和为

1 3 9 9 C10+C10+?+C10=2 .

(4)奇数项系数和与偶数项系数和;
解答

(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
解答

1-5 x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+?+a9= 2 ;
10

1+5 x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+?+a10= 2 .
10

思维升华
(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax+b)n, (ax2+bx+c)m (a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值 法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n (a,b∈R)的式子求其展开式各 项系数之和,只需令x=y=1即可. (2) 若 f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ? + anxn ,则 f(x) 展开式中各项系数之和为 f ? 1 ? + f ? - 1 ? f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+?= ,偶数项系数之 2 f?1?-f?-1? 和为a1+a3+a5+?= . 2

跟踪训练2

(1)(2017· 淮安月考)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项
答案 解析

式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若 6 13a=7b,则m=____.

(2)若(1-2x)

2 016

=a0+a1x+a2x +?+a2 016x
2

2 016

a1 a2 a2 016 ,则 2 +22+?+22 016的

结果是多少?
解答

当x=0时,左边=1,右边=a0,∴a0=1.
1 a1 a2 a2 016 当 x=2时,左边=0,右边=a0+ 2 +22+?+22 016, a1 a2 a2 016 ∴0=1+ 2 +22+?+22 016. a1 a2 a2 016 即 2 +22+?+22 016=-1.

题型三 二项式定理的应用 12 例4 (1)设a∈Z且0≤a<13,若512 016+a能被13整除,则a=____.
答案 解析

512

016

+ a = (52 - 1)2

016

2 +a=C0 · 52 2 016

016

2 -C1 · 52 2 016

015

2 015 +?+C2 016

2 016 2 016 ×52· (-1)2 015+C2 · ( - 1) +a, 016
2 016 1 2 015 2 015 2 015 ∵C0 · 52 - C · 52 + ? + C × 52· ( - 1) 能被 13 整除且 2 016 2 016 2 016

512 016+a 能被 13 整除,
016 2 016 ∴C2 · ( - 1) +a=1+a 也能被 13 整除,因此 a 的值为 12. 2 016

1.172 精确到小数点后三位) (2)1.028的近似值是______.(
答案 解析

1 2 2 3 3 1.028=(1+0.02)8≈C0 + C · 0.02 + C · 0.02 + C · 0.02 ≈1.172. 8 8 8 8

思维升华
(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题
中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.

(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适
的形式.

跟踪训练 3

2 2 3 3 r r r (1)1 - 90C 1 + 90 C - 90 C + ? + ( - 1) 90 C 10 + ? + 10 10 10

1 9010C10 10除以 88 的余数是___.
答案 解析
1 2 2 3 3 r r r 10 10 10 1 - 90C10+ 90 C 10 - 90 C 10 + ? + ( - 1) 90 C 10 + ? + 90 C 10 = (1 - 90)

=8910=(88+1)10
9 9 =8810+C1 88 + ? + C 10 1088+1,

∵前10项均能被88整除,∴余数是1.

(2)已知2n+2· 3n+5n-a能被25整除,求正整数a的最小值.
解答

原式=4· 6n+5n-a=4(5+1)n+5n-a
n 1 n-1 n-2 2 n-1 n =4(C0 5 + C 5 + ? + C 5 + C 5 + C n n n n n)+5n-a
0 n 1 n-1 n-2 2 =4(Cn5 +Cn5 +?+Cn 5 )+25n+4-a,

显然正整数a的最小值为4.

现场纠错系列13

二项展开式的系数与二项式系数 3n 典例 (1)(2016· 江苏镇江中学质检)若( x- ) 展开式的各项系数绝对值 x 之和为1 024,则展开式中含x项的系数为________.
(2)已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7的展开式中x4的系数是-35, 则a1+a2+?+a7=________.
错解展示 现场纠错 纠错心得

和二项展开式有关的问题,要分清所求的是展开式中项的系数 还是二项式系数,是系数和还是二项式系数的和.

课时作业

15 1.在x2(1+x)6的展开式中,含x4项的系数为___.
因为(1+x) 的展开式的第 r+1 项为
6

答案

解析

r r Tr+1=C6x ,

4 4 x2(1+x)6 的展开式中含 x4 的项为 C2 x = 15 x ,所以系数为 15. 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

2.(2015· 湖南改编)已知 -6 a=____. 答案
? ? ? ?

? ? ? ?

3 a? ?5 x- ? 的展开式中含 x 2 的项的系数为30,则 x?

解析

5 r 5 ? r a? ? ?5 r 2 r r r r r x- ? 的展开式通项 Tr+1=C5 x (-1) a · x 2 =(-1) a C5 x 2 ? r, x?

5 3 令2-r=2,则 r=1,
1 x ∴T2=-aC1 , ∴ - a C 5 5=30,∴a=-6.
3 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

答案 15 3.(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是____.

解析

r 设展开式中的常数项是第 r+1 项,则 Tr+1=C6 · (4x)6-r· (-2-x)r r 12x-2rx -rx r r 12x-3rx =Cr · ( - 1) · 2 · 2 = C · ( - 1) · 2 , 6 6

∵12x-3rx=0恒成立,∴r=4,
4 ∴T5=C4 · ( - 1) =15. 6

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

4.(2015· 湖北改编)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相 512 等,则奇数项的二项式系数和为_____.
答案 解析

7 由题意,C3 = C n n,解得 n=10,

则奇数项的二项式系数和为2n-1=29=512.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

4 5.若在(x+1)4(ax-1)的展开式中,x4的系数为15,则a的值为____.
答案 解析

∵(x+1)4(ax-1)=(x4+4x3+6x2+4x+1)(ax-1), ∴x4的系数为4a-1=15,∴a=4.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

6.若(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+?+an(1-x)n, 3 n 则a0-a1+a2-a3+?+(-1)nan=_________. 2(3 -1)
答案 解析

在展开式中,令x=2,得3+32+33+?+3n=a0-a1+a2-a3+?+
n 3 ? 1 - 3 ? n 即 a0-a1+a2-a3+?+(-1) an= 1-3 3 n =2(3 -1).

(-1)nan,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

7.(2016· 扬州模拟)已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数 b 128 5 的最大值为b,则 a =_____. 答案 解析

由题意可得 a=C4 8=70,
r r r+1 r+1 ? ? C · 2 ≥ C 2 , 8 · ? 8 ?r≥5, 再根据? r r 得? r-1 r-1 ? ? 2 ≥C8 · 2 , ?C8· ?r≤6,

b 128 求得 r=5 或 6,此时,b=7×2 ,∴a= 5 .
8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

60 用数字作答) 8.(2016· 北京)在(1-2x)6的展开式中,x2的系数为____.(
答案 解析

6-r r r r r 展开式的通项 Tr+1=Cr · 1 · ( - 2 x ) = C ( - 2) · x. 6 6
2 2 令 r=2,得 T3=C2 · 4 x = 60 x , 6

即x2的系数为60.

1

2

3

4

5

6

7

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9

10 11 12 13 14

9.(2016· 天津)
答案 解析

? 1? ? 2 ? 8 7 -56 用数字作答) x - ? ? 的展开式中x 的系数为______.( x? ?

? 1? ? 2 ?8 x - ? ? 的通项 x? ?

? 1? r 2 8-r? r r r 16-3r Tr+1=C8(x ) ?-x ? = ( - 1) C 8x , ? ? ?

当16-3r=7时,r=3,

则 x7 的系数为(-1)3C3 8=-56.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

10.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,

其中a0,a1,a2,?,a5为实数,则a3=___. 10 答案
f(x)=x5=(1+x-1)5,
5-r· r, 它的通项为Tr+1=Cr (1 + x ) ( - 1) 5 3 2 3 T 3= C 2 5 C(1+x) (-1) =10(1+x) ,∴a3=10.

解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

11.(2016· 苏锡常联考)已知(ax-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+32x5, 则二项式(ax-1)5展开后的各项系数之和为___. 1 ∵(ax-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+32x5, ∴x5的系数为C0 · a5=32,解得a=2. 5 在(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+32x5中, 令x=1可得二项式(2x-1)5展开后的各项系数之和为1.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

12.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7. 求:(1)a1+a2+?+a7; 解答

令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 C2 4
=-1. ①

令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.
∵a0= C0 7=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2.



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

(2)a1+a3+a5+a7;
解答

-1-37 得 a1+a3+a5+a7= 2 =-1 094.

(①-②)÷2,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

(3)a0+a2+a4+a6;
解答

-1+37 得 a0+a2+a4+a6= 2 =1 093.

(①+②)÷2,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

(4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

13.求证:1+2+22+?+25n-1(n∈N*)能被31整除.
证明

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

*14.若( x+ 4 )n展开式中前三项的系数成等差数列,求: 2 x (1)展开式中所有x的有理项;
解答

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

(2)展开式中系数最大的项.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14



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