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2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积课件文_图文

§5.3 平面向量的数量积

内容索引

基础知识 题型分类

自主学习 深度剖析

课时作业

基础知识

自主学习

知识梳理

1.向量的夹角
→ →=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 已知两个非零向量a和b,作 OA =a,OB

叫作向量a与b的夹角.

2.平面向量的数量积

定义

已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,我们把|a||b|· cos θ叫 作a与b的数量积(或内积),记作a· b

几何 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影 |b|cos θ 的 意义 乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积

3.平面向量数量积的性质

设a,b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)的夹角.则
(1)e· a=a· e=|a|cos θ. b=0 . (2)a⊥b? a· (3)当a与b同向时,a· b=|a||b|;

当a与b反向时,a· b=-|a||b|.
a . 特别地,a· a= |a|2 或|a|= a·

b. (4)cos θ= a· |a||b| (5)|a· b|≤ |a||b| .

4.平面向量数量积满足的运算律 a; (1)a· b= b· b) = a· (λb) (λ为实数); (2)(λa)· b= λ(a· (3)a· (b+c)=a· b+a· c. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b= x1x2+y1y2 ,由此得到
2+y2 2 x (1)若a=(x,y),则|a| =

或|a|= x +y .
2 2

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 → ? x - x ? + ? y - y ? 2 1 2 1 则A,B两点间的距离AB= . |AB|=

(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),

则a⊥b? x1x2+y1y2=0 .
(4)若a,b都是非零向量,θ是a与b的夹角, x1x2+y1y2 2 2 2 2 a · b x + y · x + y 2 2. 则cos θ= = 1 1 |a||b|

知识拓展 1.两个向量a,b的夹角为锐角?a· b>0且a,b不共线; 两个向量a,b的夹角为钝角?a· b<0且a,b不共线. 2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)· (a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2a· b+b2. (3)(a-b)2=a2-2a· b+b2.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量,而不是向量.( √ ) (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结 果是向量.( √ ) (3)由a· b=0可得a=0或b=0.( × ) (4)(a· b)c=a(b· c).( × )

π (5)两个向量的夹角的范围是[0, ].( × ) 2

考点自测

1.(教材改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a· (2a-b)=0,则k等于 答案 A.-12 C.-6 B.6 D.12
解析

∵2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),
由a· (2a-b)=0,得(2,1)· (5,2-k)=0,

∴10+2-k=0,解得k=12.

2.(2016· 南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则 |b|等于 答案
A. 6
解析

B. 5

C. 3

D. 2

3 由题意可得 a· b=|b|cos 30° = 2 |b|,4a2-4a· b+b2=1,

即 4-2 3|b|+b =1,
2

由此求得|b|= 3,故选 C.

→ → → → → 3.(2016· 银川调研)若平面四边形 ABCD 满足AB+CD=0, (AB-AD)· AC =0,则该四边形一定是
答案 解析

A.直角梯形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

→ → 由AB+CD=0 得平面四边形 ABCD 是平行四边形, → → → → → 由(AB-AD)· AC=0 得DB· AC=0,

故平行四边形的对角线垂直,
所以该四边形一定是菱形,故选C.

4.(2016· 北京)已知向量 a=(1, 3),b=( 3,1),则 a 与 b 夹角的大小为 π 答案 解析 ___. 6

设a与b的夹角为θ,

1× 3+1× 3 2 3 3 a· b 则 cos θ= = 2 = 4 =2, 2 2 2 |a||b| 1 +? 3? · 1 +? 3?
π 又因为 θ∈[ 0,π] ,所以 θ=6.

5.(2016· 厦门模拟)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a
10 +b|=______.
答案 解析

∵a⊥b,∴a· b=0,即x-2=0,
∴x=2,∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,
∴|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 5+5= 10.

题型分类

深度剖析

题型一 平面向量数量积的运算

例1

(1)(2016· 天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别 → → 是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 AF· BC 的值为 答案
5 A.-8
解析

1 B.8

1 C.4

11 D. 8

→ → (2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则 DE· CB 的值 → → 的最大值为___. 1 ; 1 为___ 答案 解析 几何画板展示 DE· DC

思维升华
平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解, 即a· b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b= (x2,y2),则a· b=x1x2+y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解.

跟踪训练 1

? ? 3 ? 1 3 1 → ? → ? ? ? (1)(2016· 全国丙卷)已知向量BA=? , BC = 则 , , ? ? ? ?, 2? 2? ?2 ? 2

∠ABC 等于 答案

解析

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

→ → ∵|BA|=1,|BC|=1,
→ → BA· BC 3 cos∠ABC= =2, → → |BA|· |BC|

又∵0°≤∠ABC≤180°,∴∠ABC=30°.

→ → (2)(2015· 四川)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4,若点 M, → → → → → → N 满足BM=3MC,DN=2NC,则AM· NM等于 答案
解析

A.20

B. 15

C.9

D.6

1→ 1→ → → 3→ → → → ∵AM=AB+ AD,NM=CM-CN=- AD+ AB, 4 4 3

→ → 1 → → 1 → → ∴AM· NM= (4AB+3AD)· (4AB-3AD) 4 12 1 1 →2 →2 2 2 = (16AB -9AD )= (16×6 -9×4 )=9, 48 48

故选C.

题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 求向量的模
例 2 π (1)(2016· 西安模拟)已知平面向量 a,b 的夹角为6,且|a|= 3,|b|

→ → → =2,在△ABC 中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D 为 BC 的中点,则|AD|

2 答案 =_____.

解析

→ 1 → → 1 因为AD=2(AB+AC)=2(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,

→2 所以|AD| =4(a-b)2=4(a2-2b· a+b2) π =4×(3-2×2× 3×cos 6+4)=4, → 所以|AD|=2.

(2)在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0, 3),C(3,0),动点 → → → → 7+1 D 满足|CD|=1,则|OA+OB+OD|的最大值是______. 答案 解析 → → 设 D(x,y),由CD=(x-3,y)及|CD|=1,知(x-3)2+y2=1,

即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆. → → → 又 O A +OB+OD=(-1,0)+(0, 3)+(x,y)=(x-1,y+ 3), → → → ∴|OA+OB+OD|= ?x-1?2+?y+ 3?2.
问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,- 3)间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,- 3)之间的距离为 ?3-1?2+?0+ 3?2= 7,
故 ?x-1?2+?y+ 3?2的最大值为 7+1. → → → 即|OA+OB+OD|的最大值是 7+1.

命题点2 求向量的夹角 例3 (1)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cos α= 1,向量a=3e1-2e2 3 2 2 与b=3e1-e2的夹角为β,则cos β=____. 答案 解析 3 因为a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×12×cos α+4=9,所以|a|=3,

因为b2=(3e1-e2)2=9-2×3×1×12×cos α+1=8,所以|b|= 2 2 ,
1 2 2 a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e1-9e1· e2+2e2=9-9×1×1× +2=8, 3

a· b 8 2 2 所以 cos β= = = 3 . |a||b| 3×2 2

(2) 若向量 a = (k,3) , b = (1,4) , c = (2,1) ,已知 2a - 3b 与 c 的夹角为钝角,
? ? ? ? 9 9 ? ? ? ? - ∞ ,- - , 3 ∪ ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 则k的取值范围是_____________________.

答案

解析

∵2a-3b与c的夹角为钝角,∴(2a-3b)· c<0,
即(2k-3,-6)· (2,1)<0,∴4k-6-6<0,∴k<3.

9 -2 . 又若(2a-3b)∥c,则2k-3=-12,即k= 9 -2 时,2a-3b=(-12,-6)=-6c, 当k= 即2a-3b与c反向.
? ? ? 9? 9 ? ? ? ? 综上,k的取值范围为 ?-∞,- ?∪?- ,3? 2? ? 2 ? ?

.

思维升华
平面向量数量积求解问题的策略 a· b (1)求两向量的夹角:cos θ= ,要注意θ∈[0,π]. |a||b| (2) 两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是 a⊥b?a· b= 0?|a-b|=|a+b|. (3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a· a=|a|2 或|a|= a· a. ②|a± b|= ?a± b?2= a2± 2a· b+b2. ③若 a=(x,y),则|a|= x2+y2.

跟踪训练2

(1)(2016· 江西高安中学等九校联考 )已知平面向量 a,b满
解析

足a· (a+b)=5,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角的正切值为 答案
3 A. 3 B. 3 C.- 3 3 D.- 3

a· (a+b)=5,即a2+a· b =5 ?a · b=1,
a· b 1 π ∴cos〈a,b〉= = ,∴〈a,b〉= , 3 |a||b| 2
则向量 a 与 b 的夹角的正切值为 3,故选 B.

→ → → (2)在△ABC 中,若 A=120° ,AB· AC=-1,则|BC|的最小值是 答案 A. 2 B.2 C. 6 D.6
解析

→ → → → → → ∵AB· AC=-1,∴|AB|· |AC|· cos 120° =-1,即|AB|· |AC|=2,
→ 2 → → 2 →2 → → →2 → → → → ∴|BC| =|AC-AB| =AC -2AB· AC+AB ≥2|AB|· |AC|-2AB· AC=6,

→ ∴|BC|min= 6.

题型三 平面向量与三角函数
? 例4 (2015· 广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=? ? ? ? π? ? n=(sin x,cos x),x∈ ?0, ? ?. 2? ?

2 2? ? ,- ? , 2 2 ?

(1)若m⊥n,求tan x的值; 解答
因为
? ? m=? ?

2 2? ? n=0, ,- ?,n=(sin x,cos x),m⊥n.所以 m· 2 2 ?

2 2 即 sin x- cos x=0, 2 2

所以sin x=cos x,所以tan x=1.

π (2)若m与n的夹角为 ,求x的值. 解答 3 π 1 因为|m|=|n|=1,所以 m· n=cos = , 3 2
? 2 2 1 π? 1 ? ? 即 sin x- cos x= ,所以 sin?x- ?= , 2 2 2 4? 2 ?

π π π π 因为 0<x< ,所以- <x- < , 2 4 4 4 π π 5π 所以 x- = ,即 x= . 4 6 12

思维升华
平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或 垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解. (2) 给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量 的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的 有界性,求得值域等.

→ → 跟踪训练 3 (1)已知 O 为坐标原点,向量OA=(3sin α,cos α),OB=(2sin α, 5sin α-4cos
?3π ? → → ? ? α),α∈? ,2π?,且OA⊥OB,则 ? 2 ?

tan α 的值为 答案

解析

4 A.- 3

4 B.- 5

4 C. 5

3 D. 4

由题意知6sin2α+cos α· (5sin α-4cos α)=0,
即6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,

上述等式两边同时除以cos2α,得6tan2α+5tan α-4=0,
?3π ? ? 由于α∈ ? ,2π? ?, ?2 ?

4 则tan α<0,解得tan α= - ,故选A. 3

1 3 → → (2)已知向量 a=(- , ),OA=a-b,OB=a+b,若△OAB 是以 O 为直 2 2 1 答案 解析 角顶点的等腰直角三角形,则△OAB 的面积为_____.

由题意得,|a|=1,又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形, → → → → 所以OA⊥OB,|OA|=|OB|.
→ → 由OA⊥OB得(a-b)· (a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,

→ → 由|OA|=|OB|得|a-b|=|a+b|,所以 a· b=0.

所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,
1 → → 所以|OB|=|OA|= 2,故 S△OAB= × 2× 2=1. 2

现场纠错系列5 利用数量积求向量夹角

典例

已知直线y=2x上一点P的横坐标为a,直线外有两个点A(-1,1), → → B(3,3).求使向量 PA 与 PB夹角为钝角的充要条件.
错解展示 现场纠错 纠错心得

课时作业

1.(2016· 北师大附中模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要
条件是
答案

1 A.x=- 2 C.x=5

B.x=-1

D.x=0 √

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

2.若向量a,b满足|a|=|b|=2,a与b的夹角为60°,则|a+b|等于 答案
A.2 2+ 3 C.4 B.2 √ D.12
3
解析

|a+b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos 60°

1 =4+4+2×2×2× =12, 2
|a+b|=2 3 .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

3.(2016· 山西四校二联)已知平面向量a,b满足a· (a+b)=3,且|a|=2,|b| =1,则向量a与b夹角的正弦值为 答案
1 A.- 2 3 B.- 2 1 C. 2
解析



3 D. 2

∵a· (a+b)=a2+a· b=22+2×1×cos〈a,b〉=4+2cos〈a,b〉=3, 1 ∴cos〈a,b〉= - , 2 又〈a,b〉∈[0,π], 3 2 ∴sin〈a,b〉= 1-cos 〈a,b〉= . 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

→ → → → 4.如图, 在△ABC 中, 若|AB+AC|=|AB-AC|, AB=2, AC=1, → → E,F 为 BC 边的三等分点,则AE· AF等于 答案
8 A. 9
解析



10 B. 9

25 C. 9

26 D. 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

→ 5.(2016· 驻马店质检)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB → → → → -OC)· (OB+OC-2OA)=0,则△ABC 的形状为 答案
解析

A.正三角形 C.等腰三角形 √

B.直角三角形 D.等腰直角三角形

→ → → → → → → → 因为(OB-OC)· (OB+OC-2OA)=0,即CB· (AB+AC)=0,

→ → → → → → → → → 因为AB-AC=CB,所以(AB-AC)· (AB+AC)=0,即|AB|=|AC|,

所以△ABC是等腰三角形,故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

→ → → → → *6.若△ABC 外接圆的圆心为 O,半径为 4,OA+2AB+2AC=0,则CA在CB 方向上的投影为 答案
A.4 B. 15
解析

C. 7 √

D.1

如图所示,取BC的中点D,连接AD,OD, → → → 则由平面向量的加法的几何意义得 AB +AC=2AD. 1→ 1→ → → 又由条件得,AB+AC=- OA= AO, 2 2 → 1→ → → 所以 2AD= AO,即 4AD=AO,所以 A,O,D 共线. 2 → → 所以 OA⊥BC,所以 CD 为CA在CB方向上的投影.
→ → → → 因为|AO|=|CO|=4,所以|OD|=3,所以|CD|=
1 2 3 4 5

→ 2 → 2 |OC | -|OD| = 7.
6 7 8 9 10 11 12 13

→ →, 7.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足 AP =2PM → → → 的值为- 4 则 PA ____. 答案 解析 · (PB +PC )

由题意得,AP=2,PM=1,
→ → → → → 所以PA · (PB +PC )=PA · 2PM=2×2×1×cos 180° =-4.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

3 3 → → → → 8.在△ABC 中,AB· BC=3,△ABC 的面积 S∈[ , ],则AB与BC夹角的取 2 2 π π [6,4] 值范围是________. 答案 解析

由三角形面积公式及已知条件知
3 1 3 ≤S△ABC= AB· BCsin B≤ ,所以 3≤AB· BCsin B≤3, 2 2 2 3 → → 由AB· BC=3,知 AB· BCcos(π-B)=3,所以 AB· BC=- , cos B ①

3sin B 3 3π 5π 代入①得, 3≤- ≤3,所以-1≤tan B≤- ,所以 ≤B≤ , 3 4 6 cos B π π → → 而AB与BC的夹角为 π-B,其取值范围为[ , ]. 6 4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

9.(2016· 江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°, → → → → =___. AC=BC=2,点P是斜边AB上的中点,则CP 4 · CB+CP· CA
答案 解析

由题意可建立如图所示的坐标系,

可得A(2,0),B(0,2),P(1,1),C(0,0),
→ → → → → → → →2 则CP· CB+CP· CA=CP· (CB+CA)=2CP =4.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

→ → → 1 → 10.(2015· 福建改编)已知AB⊥AC,|AB|= ,|AC|=t,若点 P 是△ABC 所在 t → → → AB 4AC → → 答案 解析 平面内的一点,且AP= + ,则PB · PC 的最大值为____. 13 → → |AB| |AC| 建立如图所示坐标系, ?1 ? ? → ? → ? ? ?1 ? 则 B? ,0 ?,C(0,t),AB=? ,0 ?,AC=(0,t), ?t ? ?t ? → → ? ? 4 → AB 4AC ?1 ? AP= + =t? ,0?+ (0,t)=(1,4), ?t ? t → → |AB| |AC| ? → → ? ?1 ? - 1 ,- 4 ∴P(1,4),PB · PC=? (-1,t-4) ?· ?t ? ?1 ? 1 ? ? =17-? +4t?≤17-2 · 4t=13. t ? ? t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

11.(2016· 江西玉山一中模拟)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的 夹角为60°. (1)若(ka-b)⊥(a+b),求k的值; 解答 ∵(ka-b)⊥(a+b),∴(ka-b)· (a+b)=0, ∴ka2+(k-1)a· b-b2=0, ∵|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=60°, 5 ∴2k-5=0,∴k= . 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)若|ka-b|<2,求k的取值范围. 解答
|ka-b|= ?ka-b?2= k2a2-2ka· b+b2 = k2-2k+4<2,

∴k2-2k<0,∴0<k<2.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

12.(2016· 西安八校联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, A+B 2 且2sin +cos 2C=1. 2 (1)求角C的大小; 解答
A+B ∵2sin +cos 2C=1, 2 A+B 2 ∴cos 2C=1-2sin =cos(A+B)=-cos C, 2
2

∴2cos2C+cos C-1=0, 1 ∴cos C= 或 cos C=-1, 2 π ∵C∈(0,π),∴C= . 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

b (2)若向量m=(3a,b),向量n=(a,- ),m⊥n,(m+n)· (m-n)=16, 3 求a,b,c的值. 解答
2 b ∵m⊥n,∴3a2- =0,即 b2=9a2. 3 又(m+n)· (m-n)=16,
2 2 8 b b ∴8a2+ =16,即 a2+ =2, 9 9 由①②可得a2=1,b2=9,∴a=1,b=3,





又c2=a2+b2-2abcos C=7,
∴c= 7,∴a=1,b=3,c= 7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

*13.(2016· 青岛模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a= π (-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t)(0≤θ≤ ). 2 → → → → (1)若AB⊥a,且|AB|= 5|OA|,求向量OB; 解答
→ → 由题设知AB=(n-8,t),∵AB⊥a,∴8-n+2t=0.

→ → 又∵ 5|OA|=|AB|,∴5×64=(n-8)2+t2=5t2,得 t=± 8.

当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8,
→ → ∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

→ → → (2)若向量AC与向量 a 共线,当 k>4,且 tsin θ 取最大值 4 时,求OA· OC.
解答

→ → 由题设知AC=(ksin θ-8,t),∵AC与 a 共线,∴t=-2ksin θ+16,

4 2 32 tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin θ- ) + . k k 4 4 32 ∵k>4,∴0< <1,∴当 sin θ= 时,tsin θ 取得最大值 . k k k
32 π → 由 =4,得 k=8,此时 θ= ,OC=(4,8), 6 k → → ∴OA· OC=(8,0)· (4,8)=32.
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