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第三章 随机向量


第三章
第一节 第二节 第三节

随机向量

二维随机向量及其分布 边缘分布 条件分布

第四节
第五节 布

随机变量的独立性
两个随机变量的函数的分

第一节 二维随机向量及其分布
1、二维随机向量及其分布函数 定义1:设E是一个随机试验,它的样本空间是 ?={e}.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间?上的两 个随机变量,则称(X(e),Y(e))为?上的二维随机向量或 二维随机变量。简记为(X,Y). 定义2:设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y,称 二元函数 F(x,y)=P{X?x,Y?y} 为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
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(X,Y)的分布函数满足如下基本性质: (1)F(x,y)是变量x,y的不减函数. (2) 0?F(x,y)?1

对于任意的 y, F (??, y ) ? 0 对于任意的 x, F ( x,??) ? 0

F ( ??,??) ? 0,F ( ??,??) ? 1
( 3)F ( x , y )关于x , y是右连续的,即 F ( x , y ) ? F ( x ? 0, y ),F ( x , y ) ? F ( x , y ? 0)

(4)对于任意( x1 , y1 )和( x2 , y2 ),x1 ? x2 , y1 ? y2 , 有 F ( x2 , y2 ) ? F ( x2 , y1 ) ? F ( x1 , y2 ) ? F ( x1 , y1 ) ? 0
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2、二维离散型随机变量
定义3:若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有 限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机 向量。

设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj),i,j=1,2,… ,且(X,Y)取
各对可能值的概率为

P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…
(1) 非负性: pij≥0,i,j=1,2…;

( 2) 规范性: ? pij ? 1
i, j

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称P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2, … 为二维 离散型随机变量 ( X , Y )的概率分布或分布律, 或随机变量 X和Y的联合分布律。

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(X,Y)的分布律也可用表格形式表示

Y
X x1 x2 . . xi

y1

y2 …

yj



p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . pi1 pi2 pij…
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例1:从一个装有2个红球,3个白球和4个黑球的袋中随机 地取3个球,设X和Y分别表示取出的红球数和白球数,求 (X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}. 解:X的可能值为0,1,2,Y的可能为0,1,2,3.(X,Y)的所有可 能值为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).

由古典概率计算可得

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于是(X,Y)的分布可用表示 Y 0 4/84 18/84 12/84 24/84 4/84 3/84 1 12/84 6/84 0 2 1/84 0 0 3

X
0 1 2

由(X,Y)的分布 律,所求概率为

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3 、二维连续型随机变量 定义5:设(X,Y)为二维随机向量,(X,Y)的分布函数为 F(x,y).若存在非负二元函数f(x,y),对于任意实数x,y,有

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y
1

y=x
1

y

o y

x

O

1

x

y

O

1

x

O

1
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x
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二维均匀分布 设G是平面上的有界区域,其面积为A,若二维随机变 量(X,Y)的概率密度为

则称(X,Y)在区域G上服从均匀分布. 设(X,Y)在区域G上服从均匀分布,D为G内的一区域,即 D?G,且D的面积为S(D),那么

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二维正态分布
若(X.,Y)的概率密度为

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4、n维随机变量 设E是一个随机试验,它的样本空间是?=(e). 设 随机变量 是定义在同一样本空间
上的n个随机变量,则称向量

为n维随机向量或n维随机变量。
简记为 设 数 是n维随机变量,对于任意实 ,称n元函数

为n维随机变量

的联合分布函数。
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第二节 边缘分布
X和Y自身的分布函数分别称为二维随机向量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数,分别记为FX(x), FY(y)。当 已知(X,Y)的联合分布函数F(x,y)时,可通过

求得两个边缘分布函数
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例1:设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为

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1、二维离散型随机变量的边缘分布

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2、二维连续型随机变量的边缘分布 设(X,Y)为二维连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), 则 从而知,X为连续型随机变量且概率密度为

同理,Y也是连续型随机变量,其概率密度为

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x

O

y

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第三节 条件分布
1、二维离散型随机变量的条件分布律 定义6:

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例1: 一射手进行射击,每次射击击中目标的概率均为 p(0<p<1)且假设各次击中目标与否相互独立,射击进行 到击中目标两次为止.设以X表示到第一次击中目标所需 要的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数.试求(X,Y) 的联合分布律和条件分布律. 解: 由题意,{X=i}表示第i次首次击中目标,{Y=j}表示 第j次击中目标,因而i<j,{X=i, Y=j}表示第i次和第j次 击中目标而其余j-2次均未击中目标.于是(X,Y)的联 合分布律为:

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对于固定的 i ? 1,2, L , 在条件 X ? i下Y的条件分布律为 2 j ?2 p q j ? i ?1 ? ? ? ? P {Y j | X i } pq i ?1 pq

j ? i ? 1, i ? 2, L

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2、二维连续型随机变量的条件分布 定义7: 对固定的实数y,设对于任意给定的正数ε, P{y-ε<Y≤y+ε}>0,且若对于任意实数x,极限

存在,则称此极限为在Y=y的条件下X的条件分布函数,
记作P 或记为 . 同样,在X=x条件下随机变量Y的条件分布函数
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设(X,Y)的分布函数为F(x,y),概率密度为f(x,y)。若在点 (x,y)处f(x,y)连续,边缘概率密度fY(y)连续,且fY(y)>0, 则有:

亦即
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若记 式知:

为条件Y=y下X的条件概率函数,则由上

类似地在相应条件下可得在X=x条件下Y的条件概率 密度为

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例2: 设随机变量(X,Y)在区域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上 服从均匀分布,求条件概率密度 。 解: (X,Y)的概率密度为
且有边缘概率密度

当-1<y<1时有:

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特别y=0和y=

时条件概率密度分别为

类似于条件概率的乘法公式,也有

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第四节 随机变量的独立性
定义8: 设X和Y是两个随机变量,如果对于任意实 数x和y,事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立,即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y},则称随机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数, (X,Y)关于 X和关于Y的边缘分布函数分别为FX(x),FY(y),则上 式等价于 由独立性定义可证 “若X与Y相互独立,则对于任意实数 x1<x2,y1<y2,事件{ x1<X≤x2}与事件{ y1<Y≤y2}相互独立”。
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P{x1<X≤x2 ,y1<Y≤y2}
=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) =FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1) =[ FX(x2)-FX(x1)][ FY(y2)-FY(y1)] = P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2} 所以事件{x1<X≤x2}与{y1<Y≤y2}是相互独立的。 结论推广:“若X与Y独立,则对于任意一维区间I1和 I2,事件{X∈I1}与{Y∈I2}相互独立”。

当(X,Y)为离散型或连续型随机向量时,可用它的
分布律或概率密度来判别X与Y的独立性。
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例1: 设二维随机变量(X,Y)的分布律如表所示。

X

Y -1/2
1 1/2

-1 2/20
2/20 4/20

0 1/20
1/20 2/20

2 2/20
2/20 4/20 问X与Y相 互独立吗?

解: X与Y的边缘分布律分别为

X -1/2 1 1/2 pi. 1/4 1/4 1/2 Y -1 0 p.j 2/5 1/5 2 2/5

逐一验证可知, pij= pi. · p.j(i=1,2,3,j=1,2,3)。 从而X与Y相互独立。
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例2: 设X和Y都服从参数为1的指数分布,且相互独 立,试求P{X+Y<1}。 解 :设fX(x),fY(y)分别为X和Y的概率密度,则

由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的概率密度为

于是

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第五节 两个随机变量的函数的分布
1、二维离散型随机变量的函数分布 例 设(X,Y)分布律为 Y X 1 2
1 2 0 1/3 1/3 1/3

求 X?Y, X?Y ,XY及X/Y的分布. 解:先列出下表
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P (X,Y) X?Y X?Y XY X/Y

0 (1,1) 2 0 1 1

1/3 (1,2) 3 ?1 2 1/2

1/3 (2,1) 3 1 2 2

1/3 (2,2) 4 0 4 1

于是X+Y的分布律为 X+Y 2 3 4

P

0

2/3

1/3
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同理X-Y的分布律为 X?Y ?1 0 1

P

1/3

1/3

1/3

XY及X/Y的分布律分别为 XY P X/Y 1 0 1 2 2/3 2 4 1/3 4

P

0

2/3

1/3
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2、二维连续型随机变量的函数分布 设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y), 又Z=g(X,Y)(g(x,y)为一已知的连续函数)。大部分情 况下,Z是一连续型随机变量。 为求Z的概率密度,可先求出Z的分布函数

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求解过程中,关键在于将事件{Z≤z}等价地转化为用

(X,Y)表示的事件{g(X,Y) ≤z}={(X,Y)
中 。

},其

即首先找出上式右端的积分区域Dz。如果求得了 FZ(z) ,那么可通过 度 。 求出Z的概率密

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例1:设 独立,求

且X与Y相互

的概率密度。

解 : X和Y的概率密度分别为

由于X与Y相互独立,于是(X,Y)的概率密度为 先求Z的分布函数FZ(z) 当z<0时 当z≥0时 FZ(z)=0
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所以 于是可得 的概率密度
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如果一随机变量的概率密度为上式,称该随机变量服从 参数为?的瑞利分布。由题可知,若X,Y独立服从同一分

布 (1)和的分布



服从参数为?的瑞利分布。

设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),现求Z=X+Y的概率密 度。令 ,则Z的分布函数为

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固定z和y对积分

作换元法,令x+y=u得

于是:

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由概率密度定义,即得Z的概率密度为

由X与Y的对称性,又可得

当X与Y相互独立时,有

其中

分别是X和Y的密度函数。
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例2:设X,Y是相互独立且分别服从参数?1,?和? 2, ?的?分布,即X,Y的概率密度分别为

证明 : X+Y服从参数为 的 证 : 由定义,Z=X+Y的概率密度为 当z≤0时 fZ(z)=0

分布

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当z>0时,

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综上所述,Z=X+Y的概率密度为

这正是参数为



分布的概率密度。

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X

X

Y Y
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解: (1)串联情况

X

Y

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(2)并联情况

X Y

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