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高中数学数列求和方法


七剑合壁破解数列求和

数列求和是数列的重要内容之一, 除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外, 大部 分数列的求和都需要一定的技巧,下面介绍用七种办法——“七剑”,希望对同学们有所启 发:

第一剑——套用公式法 第一剑——套用公式法 ——

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法:

1.等差数列求和公式:

2.等比数列求和公式:

3.

4、

[例 1] 已知

,求

的前 n 项和.

分析: 从题目中可看出这是一个等比数列的求和, 自然想到直接应用等比数列求和公式 即可.

解:由

由等比数列求和公式得







第二剑——错位相减法 第二剑——错位相减法 ——

这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 的前 n 项和,其中

分别是等差数列和等比数列.

[例 2] 求和:



分析:注意到式子有两个特点,单纯从系数上看,它呈等差数列,这个数列的通项是 2n-1;单纯从字母上看,它呈等比数列,此数列的通项是 的方法求它前 n 的和. ,所以可类比推导等比数列

解:∵

………………………





………… ②

①-②得

又因为

再利用等比数列的求和公式得:



第三剑——逆序相加法 第三剑——逆序相加法 —— 这是类比推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反 序),再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 .

[例 3] 求证:

(本题源自人教大纲版必修第二册下)

分析:这虽然看似一道组合的证明题,本质上还是数列求和,注意组合的一个公式 ,所以我们用逆序相加法进行尝试.

证明: 设

………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

又由

可得

…………..…….

. ②

①+②得



第四剑——分组求和法 第四剑——分组求和法 ——

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

[例 4] 求数列的前 n 项和:

分析:可以看出该数列可分成两部分,注意到一部分等差数列,一部分成等比数列.我 们使用化整为零的办法先拆开,再组合.

解:设

当 a=1 时,





时,



第五剑——裂项相消法 第五剑——裂项相消法 ——

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最 终达到求和的目的. 通项分解(裂项)常见的如下:

(1)

(2)

(3)

[例 5] 求数列

的前 n 项和.

分析:本题符合上述的第三个公式中的情况,此时

的情形.

解:设







第六剑——分段求和法. 第六剑——分段求和法. ——分段求和法

针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的 和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn.,对等差数列的绝对值求和也可仿效.

[例 6] 数列



,求

分析:题目要我们求前 2008 项的和,从前 3 项可以看出它不是等差、也不是等比,那 么怎么办呢?先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以 6 为一个周期的数列.

解:设



可得

……









=5

[例 7]等差数列

中,

,求其前 n 项的绝对值的和.

分析:对于等差数列的绝对值的求和,我们一般是转化为分段求和来解决.

解:由已知可得

,则当

时.

不妨设



时,



时,

=

=



第七剑——活用通项法 第七剑——活用通项法 ——

先根据数列的结构及特征进行分析, 找出数列的通项及其特征, 然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法.

[例 8] 求

之和.

分析:本题的数列也十分特殊,具有良好的美感.如果我们知道它的一个通项公式是

,这样即可将之分成两部分,转化为上述的第四种方法来解决,可见对通项的识 别尤为重要.

解:由于











当然数列求和的方法还不止这些, 但是只要同学们七剑在手, 勤加修炼, 做到七剑合璧, 融汇贯通,定能破解这一求和问题了.

本文发表于《数学周报》 本文发表于《数学周报》大纲高考版总 214 期


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