9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高一数学 >>

2013高一数学必修1教师用书:第三章 §3 指数函数 第二课时 指数函数的图像和性质(习题课)(北师大版)_图文

第 三 章 指 数 函 数 和 对 数 函 数
§3 指 数 函 数

考点一

第二 课时 指数 函数 的图 像和 性质
(习题课)

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

[例 1]

已知 f(x)=2x,利用图像变换作出下列函数的图像.

(1)f(x-1);(2)f(x+1)+1;(3)f(-x);(4)-f(x). [思路点拨] [精解详析] 解答本题应先写出变换过程再作出图像. 右移1个 (1)y=f(x) ――→ y=f(x-1). 单位

上移1个 左移1个 (2)y=f(x) ――→ y=f(x)+1 ――→ y=f(x+1)+1. 单位 单位 关于y轴 (3)y=f(x) ――→ y=f(-x). 对称

关于x轴 (4)y=f(x) ――→ y=-f(x)图像如图. 对称

[一点通] 1.平移规律 分左、右平移和上、下平移两种,遵循“左加右减,

上加下减”.
若已知y=ax的图像,把y=ax的图像向左平移b(b>0)个 单位,则得到y=ax+b的图像;把y=ax的图像向右平移 b(b>0)个单位,则得到y=ax-b的图像;把y=ax的图像向上 平移b(b>0)个单位,则得到y=ax+b的图像;向下平移

b(b>0)个单位,则得到y=ax-b的图像.

2.对称规律

函数y=ax的图像与y=a-x的图像关于y轴对称;
y=ax的图像与y=-ax的图像关于x轴对称;函数y=ax

的图像与y=-a-x的图像关于坐标原点对称.

1.为了得到函数y=2x-3-1的图像,只需把函数y=2x的 图像上所有的点 ( )

A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
解析:由 y=2 ――→ y=2 3个单位 A 项正确.
x向右平移 x-3下移1个

――→ y=2x-3-1 知 单位

答案:A

2.如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图像,则a,b,c,d与1的大小关系为 ( )

A.a<b<1<c<d
B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c

解析:由图像可知③、④的底数必大于1,①、②的底
数必小于1.过点(1,0)作直线x=1,在第一象限内分别与 各曲线相交,可知1<d<c,b<a<1,从而可知a,b,c, d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 答案:B

3.函数y=a|x|(0<a<1)的图像是

(

)

解析:y=a|x|(0<a<1)是偶函数,先画出x≥0时的图像, 再作关于y轴对称的图像,∵0<a<1,故选C.

答案:C

[例2]

求不等式a5x>ax+8(a>0,且a≠1)的解集.
讨论a的取值根据单调性列不等式,最

[思路点拨]

后解不等式得解集. [精解详析] 得x>2. (1)当a>1时,由a5x>ax+8得5x>x+8,解

(2)当0<a<1时,由a5x>ax+8得5x<x+8,解得x<2.
综上所述,当a>1时,此不等式的解集为{x|x>2}. 当0<a<1时,此不等式的解集为{x|x<2}.

[一点通]

解af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)此类不等式主

要依据指数函数的单调性,它的一般步骤为

4.若2x+1<1,则x的取值范围是 A.(-1,1)

( B.(-1,+∞)

)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1)

解析:由2x+1<20,函数y=2t在R上是增函数, 所以x+1<0,得x<-1. 答案:D

5.已知ax+5>ax+8,则a的取值范围是________.

解析:∵x+5<x+8,且ax+5>ax+8,由指数函数y=ax
的性质知,当0<a<1时,此不等式才成立,故0<a<1.

答案:(0,1)

[例 3]

1 若函数 y=a- x 为奇函数. 2 -1

(1)确定 a 的值; (2)求函数的定义域; (3)判此函数在(0,+∞)上的单调性 [思路点拨] (1)利用奇函数的定义求解;(2)由分母

不为零求解;(3)利用单调性的定义讨论.

[精解详析]

(1)由奇函数的定义,可得 f(-x)+f(x)=0,

1 1 即 a- -x +a- x =0, 2 -1 2 -1 1-2x 1 ∴2a+ =0.∴a=-2; 1-2x 1 1 (2)∵y=-2- x , 2 -1 ∴2x-1≠0. 1 1 ∴函数 y=-2- x 的定义域为{x|x≠0}; 2 -1

(3)设 0<x1<x2, 则 y1-y2=
1 2
x
2


-1
2

1
x1


-1

2
x
2

x1

2

x

2

(2

-1 ? 2 )(

x1

-1 )

.

∵0<x1<x2,∴1<2x1<2x2. ∴2x1-2x2<0,2x1-1>0,2x2-1>0. ∴y1-y2<0. 1 1 因此 y=-2- x 在(0,+∞)上是递增的. 2 -1

[一点通] 函数的性质主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性 及其特性,在这些性质中,定义域应优先求出,其求法分 别如下:

(1)定义域:即要求表达式有意义时相应的x的取值范
围(集合). (2)求函数的单调性有以下三种思路:①可借助于已知 函数,如y=-2x在R上单调递减;②可利用定义法;③若 是复合函数,应利用复合函数的性质.

(3)求值域的方法较多,到目前为止可以使用的方
法有:①借助于已知函数;②利用单调性. (4)对于奇偶性,应理解掌握它们的定义及式子的 变形,如f(-x)±f(x)=0.特别对于奇函数在原点处有定 义时,有f(0)=0.

6.函数

?-x+3-3a,x<0, ? f(x)=? x ?a ,x≥0 ?

(a>0,a≠1)是

(-∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:当 x<0 时,函数 f(x)=-x+3-3a 是减函数;

当 x≥0 时,函数 f(x)=ax 是减函数,则 0<a<1;且满足 2 0 + 3 - 3a≥a , 解 得 a≤ 3 , 所 以 a 的 取 值 范 围 是
0

?0<a<1, ? 2 ? 解得 0<a≤3. 2 ?a≤3. ? 2 答案:(0, ] 3

ax-1 7.已知函数 f(x)= x (a>0,且 a≠1). a +1 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)讨论当 a>1 时 f(x)的单调性.

解:(1)因为 f(x)的定义域为 R, a-x-1 1-ax 且 f(-x)= -x = =-f(x), a +1 1+ax 所以 f(x)是奇函数;

(2)因为 a>1,ax+1 为增函数,且 ax+1>1, 2 所以 x 为减函数, a +1 2 从而 f(x)=1- x 在 R 上为增函数. a +1 下面证明: 设 x1,x2∈R 且 x1<x2.

f(x1)-f(x2)=1- =
2 a (
x2 x1

2 a
x1

-1+
a

2
x2

+1

+1

- a 2)
x1

x

(a

+1 ( a )

+1 )

.
1

因为 x1<x2 且 a>1,所以 a x <a x ,
2

所以 a x -a x <0,
1

2

所以 f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在 R 上为增函数.

8.已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,且a≠1),当x≥0时, 求函数f(x)的值域.

解:y=a2x+2ax-1,
令t=ax, ∴y=g(t)=t2+2t-1=(t+1)2-2. 当a>1时,∵x≥0,∴t=ax≥1. ∴由二次函数的图像可知y≥2,

当0<a<1,∴x≥0,∴0<t≤1.
∴由二次函数的图像可知-1<y≤2, ∴综上所述 当a>1时,函数的值域是[2,+∞), 当0<a<1时,函数的值域是(-1,2].

解指数不等式问题,需注意三点: 1.(1)形如ax>ay的不等式,借助y=ax的单调性求解,

如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论;
(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的 形式,再借助y=ax的单调性求解; (3)形如ax>bx的形式,利用图像求解.

2.在一些较复杂的函数问题中,基本函数的性质 可以直接在解题过程中应用.同时注意将复杂函数问题 转化为基本函数问题.

点击下列图片进 入应用创新演练



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图