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指数函数及其性质〈第二课时


第二课时 指数函数的图像及其性质的作用

1.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质 (1)定义域: (-∞,+∞) . (2)值域: (0,+∞) . (3)定点: (0,1) . (4)单调性: a>1时,在(-∞,+∞)上是 增函数; 0<a<1时,在(-∞,+∞)上是 减函数 . (5)函数值变化 a>1时,x>0时,y∈ (1,+∞) ;x<0时,y∈ (0,1) ; 0<a<1时,x>0时,y∈ (0,1) ;x<0时,y∈ (1,+∞) .

如图所示,是指数函数①y=ax;②y=bx; ③y=cx;④y=dx的图像,则a,b,c,d 与1的关系是 A.a<b<1<c<d ( )

B.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c

提示:法一:在①②中,底数小于1且大于零,在y轴右边,
底数越小,图像越靠近x轴,故有b<a.在③④中底数大于1, 底数越大图像越靠近y轴,故有d<c. 法二:由直线x=1和图像的交点的位 置关系来判断a,b,c,d的大小关系. 设直线x=1与①②③④的图像分别交 于点A,B,C,D,则其坐标依次为(1,

a),(1,b),(1,c),(1,d),观察图像可得c>d>1>a>b.
答案:B

2.指数函数的对称问题 1x 函数 y=a (a>0,且 a≠1)与 y=(a) 的图像关于 y 轴
x

对称;与 y=-ax 的图像关于 x 轴对称.

探究点1

与指数函数有关的图象

1. 指数函数的图像和性质受底数a的影响,由指数函数 y=ax的图像与直线x=1相交于(1,a)可知: (1)在y轴右侧,图像从上到下相应的底数由大到小; (2)在y轴左侧,图像从下到上相应的底数由大到小.

2.作与指数函数有关的图像问题,要抓住指数函数的
图像作平移变换或对称变换即可,值得注意的是作 图前要探究函数的定义域和值域,掌握图像的大致 趋势.

1x 利用函数 f(x)=(2) 的图像,作出下列函数的图像. (1)f(x-1);(2)f(x+1);(3)-f(x);(4)f(-x); (5)f(x)-1;(6)f(|x|).

[提示]

首先分析出每一个函数与已知函数图像的关系,

再利用相应的函数图像的变换作出各自图像.

[解 ]

画出函数y=2|x+1|的图像,并指出其单调区间.
解:法一:由函数解析式可得 1 x+ 1 ? ?? ? ?x<-1?, |x+1| 2 y=2 =? x+1 ? ?x≥-1?. ?2 1 x+ 1 其图像分成两部分,一部分是先将y1=( 2 ) (x<-1)的图 1x 像作出,而它的图像可以看作将y=(2) 的图像沿x轴的负

方向平移一个单位而得到,另一部分是先将y=2x+1(x≥-

1)的图像作出,而它的图像可以看作将y=2x的图像沿x轴
的负方向平移一个单位而得到,如图所示. 法二:先作出y=2x(x≥0)的图像,再作出关于y轴对称的 图像即y=2|x|的图像,再将y=2|x|的图像左移一个单位即 可得到y=2|x+1|的图像,如图所示.

探究点2

指数型函数的单调性

1. 关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两 点决定,一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x)的单调

性.它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.
2.y=f(u),u=g(x),列函数y=f[g(x)]的单调性有如

下特点:

u=g(x)


y=f(u)


y=f(g(x))

















3.求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域, 然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f (u)和φ(x)的单调性,求出y=f[φ(x)]的单调性.

1 x2-6x+17 已知函数 y=( ) , 2 (1)求函数的定义域及值域; (2)确定函数的单调区间.

[提示]

求值域时,要先求x2-6x+17的值域,再利用指

数函数的图像进行求解.确定单调区间可先分解成y= 1 u ( 2 ) ,u=x2-6x+17,分别研究这两个函数的单调性, 再按照复合函数的单调性写出函数的单调区间.

[解]

1μ (1)设 μ=x -6x+17,由于函数 y=( ) 及 μ=x2-6x 2
2

1 x2-6x+17 +17 的定义域为(-∞,+∞),故函数 y=( ) 的定 2 义域为 R. 1μ 18 因为 μ=x -6x+ 17=(x- 3) +8≥8,所以( ) ≤( ) ,又 2 2
2 2

1μ 1 ( ) >0,故函数的值域为(0, ]. 2 256

(2)函数 μ=x2-6x+17 在[3,+∞)上是增函数,即对任意 1 1 x1、x2∈[3,+∞)且 x1<x2,有 μ1<μ2,从而( )μ1>( )μ2,即 2 2 1 x2-6x+17 y1>y2,所以函数 y=( ) 在[3,+∞)上是减函数,同 2 1 x2-6x+17 理可知 y=( ) 在(-∞,3)上是增函数. 2

1 在本例中,把“ ”改为“a”,a>0 且 a≠1,讨论 f(x)= 2 a 的单调性. 解:设 u=x2-6x+17=(x-3)2+8,则当 x≥3 时,u 是
增函数,当 x<3 时,u 是减函数. 又因为当 a>1 时,y=au 是增函数, 当 0<a<1 时,y=au 是减函数, 所以当 a>1 时,原函数 f(x)=ax2-6x+17 在(-∞,3)上是 减函数,在(3,+∞)上是增函数. 当 0<a<1 时,原函数 f(x)=a
x2-6x+17

x2-6x+17

在(-∞,3)上是增

函数,在(3,+∞)上是减函数.

设a>0,且a≠1,如果函数y=a2x+2ax-1在[-1,
1]上的最大值为14,求a的值. [错解] ∵y=(ax+1)2-2. 又∵y在[-1,1]上单调递增.

∴x=1时,y取得最大值.
∴a2+2a-1=14,即a2+2a-15=0,

∴a=3或a=-5(舍去).
∴a=3. [错因] 错解的原因是将ax当成了x,从而错误地判

断了y在[-1,1]的增减性.

[正解]

设 t= a

x

?1 ? ,若a>1,则t∈?a,a?, ? ?

? 1? 若0<a<1,则t∈?a,a?, ? ?

∵y=(t+1)2-2,它关于t在(-1,+∞)上单调递增. ∴当a>1时,y在t=a处取得最大值, ∴a2+2a-1=14,∴a=3. 1 当0<a<1时,y在t=a处取得最大值,
?1?2 2 1 ∴?a? +a-1=14,∴a=3. ? ?

1 ∴a=3或a=3.

再见!


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