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电动力学 第三章 静磁场


第三章 静磁场 静磁场
§1 矢势及其微分方程 §2 磁标势 §3 磁多极矩

§1 矢势及其微分方程
§1.1


矢势


静磁场: 静磁场: ? × H = J 传导

??B = 0



静磁场是有旋度,无散度场,不能引入标势描 静磁场是有旋度,无散度场, 有旋度 但能引入另一矢量描述: 写,但能引入另一矢量描述:矢势。 。 矢量磁位) 一、矢势(矢量磁位)定义 矢量磁位 比较 ? ? B = 0 和 ??(?× A) = 0 得: B = ? × A 矢量恒等式







定义: 定义:

B = ?× A





(1 )

→ 的旋度, 磁感应强度 B 是矢势 → 的旋度,矢势是辅助 是辅助 A 量!

二、矢势的物理意义 的 通过面S的磁通量: 通过面S的磁通量:
→ → → → → →

φ m = ∫ B? d S = ∫ ? × A ? d S = ∫ A?d l (2) S S C

式(2)表明:通过面S的磁通量等于矢势沿闭合 (2)表明:通过面S 磁通量等于矢 沿闭合 表明 的线积分!可用矢势的线积分求磁通量。 的线积分求磁通量 线C的线积分!可用矢 的线积分求磁通量。


B
S


C

dl


A

三、矢势的散度规定 的散度规定

仅仅规定了磁矢位 旋度! 因为 B = ? × A 仅仅规定了磁矢位 A 的旋度! 亥姆霍兹定理知 要唯一确定矢量场, 由亥姆霍兹定理知:要唯一确定矢量场,还必 须规定矢量场的散度值, 不唯一确定! 须规定矢量场的散度值,否则 → 不唯一确定!
A







对静磁场,规定矢 的散度 的散度为 对静磁场,规定矢势的散度为:

??A=0



(3 )

式(3)是库仑规定(规范)! (3)是库仑规定(规范) 现在由 (1)和式(3)唯一确定矢 现在由式(1)和式(3)唯一确定矢势 A ! 和式(3)唯一确定 → → 例如:任意矢 例如:任意矢势 A = A 0 + ? ? (a)




任意标量函数! 是给定矢势!? 是任意标量函数! A 0 给定矢 !



确定磁感应强度 由 A 确定磁感应强度 B :
→ → → →

0


B = ?× A = ?× ( A0 + ??) = ?× A0 + ?×?? = ?× A0

B = ?× A = ?× A0








(b )


和任意矢 式(b)表示:给定矢势 A 0 和任意矢势 A 确定 (b)表示:给定矢 表示 同一个磁感应强度 B ! 同一个磁感应强度 → 要唯一确定矢 也即唯一确定标量函数 要唯一确定矢势 A ,也即唯一确定标量函数 散度值(库仑规范! 还必须规定 → 散度值(库仑规范!): A


?,

??A=0
将式(a) 代入式(c)得 将式 代入式 得



(c )

?? A = ?? ( A0 + ??) = ?? A0 + ???? = 0 ???? = ? ? = ??? A0
2 →







(d )

由式(d)确定一个标量函数 (d)确定一个标量函数


?

后,将


?

代入

A = A0 + ??



唯一确定矢 唯一确定矢势 A !

§1.2 矢势的微分方程 因为 B = ? × A (a) ) 将式(a) 代入式(b)得 将式 代入式 得
→ →

) ? × B = ? J (b)





?×?× A = ? J
使用矢量恒等式: 使用矢量恒等式 矢量恒等式






(c) )
→ →

? × ? × A = ?? A+ ? (? ? A) (d) ) 将式(d) 代入式(c)得 将式 代入式 得
2

? ? 2 A + ? (? ? A ) = ? J







(e) )

由 A 散度的规定: 散度的规定:



?? A= 0 将式(f) 代入式(e)得 将式 代入式 得
? 2 A = ?? J
→ →



(f) ) (4 )


满足的泊松方程! (4)式为矢势满足的泊松方程! 式为矢 满足的泊松方程 讨论: )无电流分布的区域( 讨论:1)无电流分布的区域( J = 0 ),矢势满 满 足拉普拉斯方程: 足拉普拉斯方程:

? A=0
2



(5 )

2)在直角坐标系中,矢势和电流密度为 在直角坐标系中, 和电流密度为


A = Ax ex + Ay ey + Az ez
→ → → →









) J = J x ex + J y ey + J z ez (g)
→ → → →







将式(g) 代入式(4), 将式 代入式 ,得
?2 A=ex ?2Ax +ey ?2Ay +ez ?2Az =??0 J =??0(Jx ex +Jy ey +Jz ez ) h) ( )

x,y,z分量方程为 式(h)的直角坐标x,y,z分量方程为: 的直角坐标x,y,z分量方程为: x分量方程: 分量方程:
? Ax = ? ?J x
2 2 2

y分量方程: ? A y = ? ? J y 分量方程: z分量方程: ? A z = ? ? J z 分量方程:

(6)

将式(6)与静电场的电位方程比较,可得矢 的 将式 与静电场的电位方程比较,可得矢势的 方程比较 积分表达式: 积分表达式:
A A A
x

? = 4π ? = 4π ? = 4π





J


x

V

( r ′) dV ′ R ( r ′) d V ′( R
→ →



ρ ? ? =? ε 电位 ? 的解:
2

y

∫ ∫

J


y

V

I) ? ( r ) = )


1 4πε



ρ ( r ′) d V ′
R



V

J

z

z

V

( r ′) dV ′ R
→ →

将式(I) 代入式(g), 的矢量形式: 将式 代入式 ,得矢势的矢量形式: 的矢量形式
→ →

? A( r ) = Ax e x + A y e y + Az e z = 4π
→ → →



V

J ( r ′) dV ′ R

(7 )

讨论: 讨论: → 由式( ) 产生的矢 为 由式(7)得面分布电流 α 产生的矢势为
→ →

? A( r ) = 4π



α ( r ′)
R

→ →

S

dS ′

(8 )


→ →

A( r )
R


由式(7)得线分布电流 由式( ) 产生的矢 为 产生的矢势为


? A(r ) = 4π




L

Id l ′ (9 ) R
→ → →



J


R = r ? r′ R = R = r ? r′







dV′
r′


r
O

矢势方程的解为: 矢势方程的解为:
→ →

? A( r ) = 4π






V

J ( r ′) dV ′ R
→ →



磁感应强度为


? J (r ′) ? B = ? × A= 4π ? × ∫V R dV ′ = 4π

1→ → ∫V ? × [ R J (r ′)]dV ′


? = 4π

1 → → ? ∫V (? R ) × J (r ′)dV ′ = 4π
→ → →

→ → R ∫V (? R 3 ) × J (r ′)dV ′

? J (r ′) × R = dV ′ 3 4π ∫V R 上式是毕 萨定律 上式是毕—萨定律

总结: 总结:静磁场的求解方法 第一步:求解矢 的泊松方程 第一步:求解矢势的泊松方程 ? A = ?? J 或拉
2 → →

边值问题; 普拉斯方程 ? A = 0 边值问题;或求
2




? A( r ) = 4π






V

J ( r ′) dV ′ R



,得到矢势 A ( r ) ! 得到矢
→ →





第二步:求得矢 分 第二步:求得矢势分布 A ( r ) 后,再由 B = ? × A ,求磁感应强度 B ( r ) 。
→ →





比较 A( r ) = ? 4π
→ →

→ →



V

J ( r ′) dV ′ R

与 B( r ) = ?
→ →

→ →





V

J (r ′) × R dV ′ 3 R



可知求矢势分布比求磁感应强度简单!!! 可知求矢势分布比求磁感应强度简单!!! 分布比求磁感应强度简单!! 先求矢势分布,后求磁感应强度,上面方法 先求矢势分布,后求磁感应强度,上面方法 矢势分布 磁感应强度 简单!! !!! 简单!!! 下面用二个例子来说明静磁场的求解方法! 下面用二个例子来说明静磁场的求解方法! 静磁场的求解方法

教材P.79 求长度为 l 的载流直导线的矢 的载流直导线的矢 例1. 教材 势和磁感应强度。? 磁感应强度。 解:用矢势的叠加计算 矢势的叠加计算 任意电流元


dA

Id z ′ ,在场


点的矢势为 点的矢势为 d A r→ r → d = = ez dAA ezdAdA
/ ′ ?0I d ?0I dzz dz dz′ dA= = ( ) 2 / 2 a) 4π R 4π r +(z ? z ) /

z


z′

R

积分, 载流直导线的矢势 矢势: 对式 (a)积分,得载流直导线的矢势: 积分

?0I l /2 dz ' AA = ∫?l /2 2 z 4π [r +(z ? z ')2 ]1/2 ?0I (l /2? z) +[(l /2? z)2 + r2 ]1/2 = ln ) 2 2 1/2 (b) 4π ?(l /2+ z) +[(?l /2? z) + r ]
当 l >> z 时,作近似 (l / 2±z) ≈(l / 2) , 式 (b)变为 变为
2 2

?0I l /2+[(l /2) + r ] AzA≈ ln (c) ) 2 2 1/2 4π ?l /2+[(l /2) + r ]
2 2 1/2

公式: 当 l >> r时,用公式: 时

(1 + x )
2

1/ 2

x ≈ 1+ 2

得:
2 2

l 2r ?l? ? 2r ? 1 / 2 l 2 1/ 2 ) [? ? + r ] = [1 + ? ? ] ≈ [1 + 2 ] (d) 2 2 l ?2? ? l ?
将式( 代入式( 将式(d)代入式(c)得长度为 l 的载流直导 线的矢势 矢势: 线的矢势:

?0I ?0I l 2 l ) Az ≈ ln( ) = ln( ) (e) 4π r 2π r

无限长载流直导线 载流直导线, 对 无限长 载流直导线 , 不能规定无穷远处为矢 势的零点,而要规定有限位置处 处为矢势 矢势的 势的零点,而要规定有限位置处 r0 处为矢势的 零点! 零点! Az (r0 ) = 0 由式( ) 由式(e)得: Az ( r ) ? Az ( r0 ) = Az ( r ) ? 0


A( r0 ) = 0

?0 I ?0 I l l = ln( ) ? ln( ) 2π r 2π r0
无限长载流直导线的矢势: 无限长载流直导线的矢势: 载流直导线的矢势 ?0I r0 Az = ln( ) (1) ) 2π r

r


r0



A

B

由无限长载流直导线的矢势求无限长载流直导线 由无限长载流直导线的矢势求无限长载流直导线 矢势 磁感应强度: 的磁感应强度:
→ → →

er → → 1 ? B =?× A = r ?r 0

re φ ? ?φ 0

ez ? ?z Az
Az

(f) )

将式(1)代入式(f)得: )代入式( )
→ →

?0I r0 = ln( ) 2π r

→ ? → ? I ?0I r0 ?A z = ? eφ ( ln ) = e φ 0 B = ? eφ ?r ? r 2π r 2π r

例2. 教材P.80 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 教材 求载流圆环的矢势和磁感应强度。 圆环
?

载流为I 半径为a 载流为I、半径为a的圆
→ →

电流位于xy平面, 电流位于xy平面,将圆 xy平面 电流称为磁偶极子,其 电流称为磁偶极子, 磁偶极子 磁矩 m :


n

m

m = I π a n = IS n
2







求载流圆环产生的远区磁场。 载流圆环产生的远区磁场。 圆环产生的远区磁场

利用矢势的积分公式求解 利用矢势的积分公式求解 矢势






A( r )


n = ez



P点的矢势: 点的矢势: 点的矢势


r


利用矢量公式: 利用矢量公式: 矢量公式

?0 A( r ) = 4π




C

Id l ′ R



(a)


Id l ′


R

C

? d l ′ = ∫ n× ? ′?dS ′ (b)
S






C

r′



将式(b)代入式(a)得 将式(b)代入式(a)得: (b)代入式(a)


?0 Id l′ ?0 I → 1 = A= ∫ ∫S ez ×?′( R)dS′ 4π C R 4π

(c)

因为








A( r )


n = ez



1 R ?′ = R R3

(d)


将式(d)代入式(c)得 将式(d)代入式(c)得: (d)代入式(c)
?0I A = 4π
Id ll ′
→ →

r




S

R

C

r′



远区: 远区: a << r 有
→ →

R e z × 3 d S ′ (e) R



R ≈ r,

R ≈ r

(f)







A( r )


n = ez



将式(f)代入式(e)得 将式(f)代入式(e)得: (f)代入式(e)
→ →

?0 I A( r ) ≈ 4π

r ∫S e z × r 3 dS ′ (g)





r


R

C

Id ll ′

→ →

r′



因为式(g)积分是对圆面 因为式(g)积 (g) 积进行的, 积进行的,积分与 r 无 (g)变为 变为: 关! 式(g)变为:


?0I → r A( r ) ≈ ( e z × 3 ) d S ′ (h) r ∫S 4π




因为

r r r r r = xex + yey + zez
→ →

ez × r = ? y ex + x e y









将式(I)代入式(h)得 将式(I)代入式(h)得: (I)代入式(h)

(I)

→ → → → 1 πa 2 A( r ) ≈ 3 (? y ex + x e y )∫ dS ′ = (? y ex + x e y ) 3 S r r

矢势的直角坐标x 分量方程为: 矢势的直角坐标x,y分量方程为:
?0 I π a2 ?0 I π a2 y=? sinθ sin φ 分量: x分量: Ax = ? 3 2 4π r 4π r (j) 2 2 ?0 I π a ?0 I π a x= sinθ cosφ 分量: y分量: Ay = 3 2 4π r 4π r

因为矢势 平行xy平面, 所以在球坐标系中 xy平面 球坐标系中, 因为矢势 A 平行xy平面, 所以在球坐标系中, 矢势仅有 分量! (j)得 矢势仅有 Aφ 分量!由式(j)得:



?0 I π a Ar = 0 A = 0 Aφ = A + A + A = sinθ (k) θ 2 4π r
2 2 x 2 y 2 z

由式(k)得矢势: (k)得矢势: → → → → ? Iπa 2 A( r ) = Aφ eφ = eφ 0 2 sin θ 4π r → ? m = eφ 0 2 sin θ 4π r
?0 m× r = 4π r 3
→ → → →



er










A


m

r




R

(l)

Id l ′



r′



m = Iπa 2 ez 载流线圈磁矩

由式(l)矢势求载流圆环的远区磁场: (l)矢势求载流圆环的远区磁场: 矢势 圆环
→ →

er → → 1 ? B =?× A = 2 r sin θ ? r Ar
→ →

re θ ? ?θ rA θ

r sin θ eφ ? ?φ r sin θ Aφ




er 1 ? = 2 r sin θ ? r 0

re θ ? ?θ 0

r sin θ eφ ? ?φ r sin θ Aφ

→ ? ( r sin θ A ) → ? ( r sin θ A ) 1 φ φ = 2 [er ? re θ ] r sin θ ?θ ?r

(m)

将式(l)代入式(m), 载流圆环的区远磁场: 将式(l)代入式(m),得载流圆环的区远磁场: (l)代入式(m) 圆环
→ → ? 0m B(r ) = ( 2 cos θ e r + sin θ e θ ) (1) 3 4π r → →

电偶极子产生的远区电场: 电偶极子产生的远区电场: 产生的远区电场
E(r ) =
→ →

p 4 πε 0 r
3

( 2 cos θ e r + sin θ e θ ) (n)





上面式(1)和式 (n)表示 表示: 上面式(1)和式 (n)表示: (1) 电偶极子的远区电场和载流圆环 磁偶极子)的 圆环( 电偶极子的远区电场和载流圆环(磁偶极子 的 远区磁场形式相同 形式相同! 远区磁场形式相同!

§1.3 矢势边值关系 磁场的边界条件: 磁场的边界条件: 条件


n? (B 2 ? B1 ) = 0
→ → → →







n × ( H 2 ? H 1 ) = α 自由 (1)







代入上面边值关系( 将 B = ? × A, B = ? H 代入上面边值关系(1),得 均匀非铁磁质的 边值关系: 均匀非铁磁质的矢势边值关系:


n? (? × A2 ? ? × A1 ) = 0
→ → → →







n× (


1

?2

? × A2 ?



1

?1

? × A1 ) = α自由 2) (





代入上面边值关系( 将 B = ? × A , B = ? 0 ( H + M ) 代入上面边值关系(1), 均匀铁磁质的 边值关系: 得均匀铁磁质的矢势边值关系:



n? (? × A2 ? ? × A1 ) = 0 n× (? × A2 ? ? × A1 ) = ?0 α自由+ ?0 n× (M 2 ? M 1 )




















(3 )
→ → →

类似第一章§ 的推导方法, 的推导方法 类似第一章§5的推导方法,用 φ m = ∫SB ? d S = ∫CA?d → → → 和库仑规定(规范) ? ? A = 0 ( ∫ A ? d S = 0 ) 可得在 库仑规定(规范) ,可得在 S 分界面上矢势相等: 分界面上矢势相等:


l

A 2 = A1




A2 n = A1n A2 t = A1t (4)
→ →

在分界面上矢势相等、连续。边值关系(4)可代 在分界面上矢势相等、连续。边值关系(4)可代 (4) 替边值关系 n? (? × A2 ? ? × A1 ) = 0 。

对非铁磁质,其边值关系(2)可写为 非铁磁质,其边值关系(


A2 = A1





n× (

1

?2

? × A2 ?



1

?1

? × A1 ) = α自由





(5 )

对铁磁质,其边值关系(3)可写为 铁磁质,其边值关系(
→ →

A2 = A1
→ → → → → →



n× (? × A2 ? ? × A1 ) = ?0 α自由+ ?0 n× (M 2 ? M 1 )

(6 )

重新计算半径为a、载流为I的长直 例1、 用矢势重新计算半径为 、载流为 的长直 、 矢势重新计算半径为 圆柱导线的磁场。 圆柱导线的磁场。 解:圆柱内外的电流密度为 圆柱内外的电流密度为 ?→ I → ?e z 2 r ≤ a J = ? πa r>a ? 0 ? 分量, 矢势仅有 z 分量,它只是坐标 r 的函 数,即


z





A2

A1

r
O

A = ez A(r )




导线外矢势 设导线内矢势是 A 1 , 导线外矢势 导线内矢势是 → 满足方程 是 A 2 ,满足方程: 满足方程:

x

I

y

r≤a

1 ? ? ?A2 ? r > a ? A2 = ?=0 ?r r ?r ? ?r ? 两次积分上面二式得: 两次积分上面二式得: ? 0 Ir 2 A1 = ? + C 1 ln r + C 2 2 4π a
2

?0 I 1 ? ? ?A1 ? ? A1 = ?r ? = ??0 J = ? 2 r ?r ? ?r ? πa
2

r≤a r>a

A2 = C3 ln r + C4

必须有限! 因为 r →0 ,A1 必须有限!有 C1 =0, A1为 , 2 ?0 Ir A1 = ? + C2 ( r ≤ a ) 2 4π a

A2 = C3 ln r + C4

→ → → → → →

er → → 1 ? B = ?× A = r ?r Ar


re φ ? ?φ rA φ

ez ? 1 = ?z r Az

er ? ?r 0

re φ ? ?φ 0

ez ? ?z Az

?Az = ? eφ ?r 可求出导线内、 可求出导线内、 外的磁感应强度分别为 ?A1 → ?0 Ir B1 = ? eφ = eφ ?r 2πa2
→ → →C ?A2 B2 = ? eφ = ? eφ 3 (a ) ?r r → →

由磁场强度切向分量边界条件知:圆柱面上的 切向分量边界条件知 由磁场强度切向分量边界条件知:圆柱面上的 磁感应强度相等: 磁感应强度相等:

B1 (r = a) = B2 (r = a)
将式(a )代入 )得 代入(b 将式(a )代入(b )得:
?0I C3 = ? 2π

(b )

(c )

将式(c )代入 )得 代入(a 将式(c )代入(a )得: → → ? I B 2 = eφ 0 导体外部的磁感应强度: 外部的磁感应强度 导体外部的磁感应强度: 2π r 导体内部的磁感应强度: 导体内部的磁感应强度: B 1 内部的磁感应强度


= eφ



? 0 Ir 2π a 2

§1.4 静磁场的能量 分布在以S′ S′面 电流以 J 分布在以S′面 V′内 包围的体积 V′内,磁 场的能量: 场的能量:
1 → → W m = ∫ B ? H dV 2 V +V ′ (1) → → 1 = ∫ B ? H dV 2 磁场分布空间


R
有电流
→ →

V′

J (r)
→ →

A( r )

无电流
→ →

→ →

n

J (r ) = 0

dS

V ′ + V :整个磁场分布

体积! 体积!

代入式(1) (1)得 将 B = ? × A 代入式(1)得: → → 1 Wm = ∫ ( ? × A ) ? H dV 2 V +V ′ 再利用矢量等式





(?× A) ? H = ?? (A× H) + A? (?× H) = ?? (A× H) + A? J
磁场的能量表为
→ → 1 1 → → W m = ∫ ? ? ( A× H ) dV + ∫VA? J dV 2 V +V ′ 2 V+ ′ → → → 1 → → = ∫VA? J dV + ∫S ( A× H ) ? d S 2 V+ ′

















→ →

(a)

式中, 整个磁场所在的体积, 式中 , V′ +V 是 整个磁场所在的体积 , 应为无 在无穷远处, 穷大, 穷大 , 故 磁场的边界面 S 在无穷远处 , 对分布 在有限区域内的电流(当成电流元),有 有限区域内的电流(当成电流元)

R → ∞,

1 1 2 A ∝ ,H ∝ 2 ,S ∝ R R R

因此, 因此,当 R → ∞ 时,有 → → → 1 1 2 1 ∫S ( A× H ) ? d S ≈ R R2 R = R = 0 将式( 代入式(a) (a)得 将式(b)代入式(a)得:

(b)

1 → → 1 → → 1 → → 1 → → Wm = ∫ A? J dV = ∫ A? J dV + ∫ A? J dV = ∫ A? J dV + 0 2 V +V′ 2 V′ 2V 2 V′

Wm

1 → → 1 → → = ∫ A? J ?dV = ∫ A? J dV (2) 2 V′ 2 电流分布空间


将体分布电流的矢势 将体分布电流的矢

? A( r ) = 4π






V

J ( r ′) dV ′ R



代入式(2)得: 代入式(2)得 (2)
→ →

? J ( r ) ? J ( r ′) (3) Wm = dV ∫电流分布空间 ∫电流分布空间 dV ′ 8π R (2)和(3)为静磁场能量表达式!积分在电流分 为静磁场能量表达式 式(2)和(3)为静磁场能量表达式!积分在电流分 布体积。 布体积。

→ →

现在计算系统体分布电流 在外磁场中的 中的相互 现在计算系统体分布电流 J 在外磁场中的相互 → → 作用能量。外磁场矢 作用能量。外磁场矢势是 A e , J e 是产生在外磁 → → 体分布电流。总的体分布电流是 场的体分布电流。总的体分布电流是 J + J e ,总 → → 磁场矢 总磁场能量是 磁场矢势是 A + A e ,总磁场能量是:
1 → → → → 1 → → 1 → → 1 → → → → Wm = ∫ (A+ Ae ) ?(J+ J e )dV = ∫ A? JdV+ ∫ Ae ? J edV+ ∫ (A? J e + Ae ? J)dV 2 2 2 2




其中:第一项是分布电流 单独存在时 其中:第一项是分布电流 J 单独存在时磁场能量 → 第二项是外磁场 外磁场的 单独存在时 ,第二项是外磁场的体分布电流 J e单独存在时 外磁场能量,第三项是系统与外磁场 系统与外磁场的 外磁场能量,第三项是系统与外磁场的相互作用 能量。 能量。

V1



J



J

e

V2

系统与外磁场的相互作用能量: 系统与外磁场的相互作用能量:
1 → → → → W相互作用能 = ∫ ( A? J e + Ae ? J )dV 2

(a)


因为


? A( r ) = 4π







V1

J dV 1 R




Ae

? = 4π



V2

Je dV R


2

所以





V1

A e ? J dV 1 =






V1

? J ?{ 4π




V2

? J e dV 2 }dV 1 = R 4π


∫ ∫
V1 V1

V2

J? Je dV 1 dV 2 R






V2

A? J e dV 2 =





V2

J e?{

? 4π



V1

? J dV 1 }dV 2 = R 4π

∫ ∫

V2

J? Je dV 1 dV 2 R



式(a)中两项相等: a)中两项相等: 中两项相等





A ? J e dV =







A e ? J dV




(b)


将式(b)代入式(a)得 将式(b)代入式(a)得是系统 J 与外磁场 A e 的 代入式 相互作用能量为 相互作用能量为

W相互作用能 = ∫ Ae ? J dV





(4)

§2 磁标势
一、磁标势(标量磁位)的定义 标势(标量磁位) 无传导电流( 的区域有 由 ? × H = J 传导,在无传导电流 J传导=0 )的区域有
→ →

?×H = 0




∫H?d
L





l =0

无旋的!类似电场,磁场强度可 磁场强度 H 是无旋的!类似电场,磁场强度可 表为标量函数的负梯度: 表为标量函数的负梯度: 标量函数的负梯度 →

H = ???m



? × E = 0 E = ?? ?


(1 )

无传导电流( 的区域是 无传导电流 J传导=0 )的区域是: 的区域 除去电流回路L为边界的面积S 除去电流回路L为边界的面积S的区域 !

L1 S

L2

L

I

L3

?

称为磁场的磁标势(标量磁势 称为磁场的磁标势(标量磁势)!与电场中电 磁标势 对应!负号是为了与静电势对应,人为加的。 是为了与静电势对应 势对应!负号是为了与静电势对应,人为加的。
m

二、均匀非铁磁介质(?=常数 ) 均匀非铁磁介质( 常数 磁标势满足的微分方程 1、磁标势满足的微分方程 因为 ? ? B = 0
B=?H
→ → →

(a )
H = ?? ? m


(b )

将式(b)代入式(a)得 将式(b)代入式(a)得: (b)代入式(a)

??(?? ?m) =?? ?(? m) =0 ? ? ?

? ? m = 0 (2 )
2

式(2)是均匀非铁磁介质内无传导电流分布时, (2)是均匀非铁磁介质内无传导电流分布时 电流分布 磁标势满足拉普拉斯方程 满足拉普拉斯方程。 磁标势满足拉普拉斯方程。 2、磁标势的边界条件 、磁标势的边界条件 磁场的边界条件 的边界条件: 磁场的边界条件:

? 2 H 2 n = ?1 H1n
可用磁标势表示。 可用磁标势表示。 磁标势表示 因为
→ → →

H 2t = H1t (a)

→ → → ??m1 ??m2 H1n = H1? n = ???m1 ? n = ? H2n = H 2 ? n = ???m2 ? n = ? (b ) ?n ?n

将式(b)代入式(a)得 将式(b)代入式(a)得: (b)代入式(a)
B 22H2n = ?1H1n → ? n = B 1n H
2 t

= H

1t



?? m2 ? 2 = ? ?n ? m 2 = ? m1

1

?? m1 ?n

类似 (3) 电势

? e1 = ? e 2

3、均匀非铁磁质内无传导电流时,磁场的求 均匀非铁磁质内无传导电流时,磁场的 非铁磁质 解方法: 解方法: 第一步:求解磁标势拉普拉斯方程 第一步:求解磁标势拉普拉斯方程 ?2?m = 0 边 磁标势 值问题; 值问题; 第二步:求得磁标势分布后, 第二步:求得磁标势分布后,再由 H = ??? m , 磁标势分布后 求磁场强度。 磁场强度。 强度 求解磁场的磁标势和静电场的电势的 求解磁场的磁标势和静电场的电势的拉普拉 磁标势 场的电势 斯方程的边值问题相同 斯方程的边值问题相同!!!


三、均匀铁磁质(?≠常数 ) 均匀铁磁质( 常数 磁标势满足的微分方程 1、磁标势满足的微分方程

B = ?0(H+M) ≠ ? H









均匀铁磁质内无传导电流时( 均匀铁磁质内无传导电流时(J传导=0) → 因为 ?? B = 0 (a )
B = ?0 (H + M )
→ → →
→ → →

H = ???m
→ →



(b )

将式(b)代入式(a)得 将式(b)代入式(a)得: (b)代入式(a)
?? B = ??[?0 (H+ M)]= ?0?? H+ ?0?? M = ?0??(?? m) + ?0?? M = ??0?2?m + ?0?? M = 0 ?
→ →

? 2 ? m = ? ? M (c )



类似电场束缚电荷密度 类似电场束缚电荷密度 ρp = ??? P , 在均匀铁磁质 电场 定义假想体磁荷密度 假想体磁荷密度: 内,定义假想体磁荷密度:
ρ m = ?? ? M




(4 )

将式(4)代入式(c)得 将式(4)代入式(c)得: (4)代入式(c) (5 ) 表示:均匀铁磁质内无传导电流时, 式(5)表示:均匀铁磁质内无传导电流时,磁 标势满足泊松方程。 标势满足泊松方程。 2、磁标势的边界条件 、磁标势的边界条件 在均匀两种铁磁质分界面上,边界条件: 均匀两种铁磁质分界面上,边界条件: 界面上

? ?m = ?ρm
2

B 2 n = B1 n

H 2 t = H 1t

(d )

可用磁标势表示。 可用磁标势表示。 磁标势表示 因为
B1n = ?0 (H1n + M1n )
→ → →

B2n = ?0 (H 2n + M 2n )

→ → → ??m1 ??m2 H1n = H1? n = ?? m1 ? n = ? ? H2n = H2? n = ?? m2 ? n = ? ? ?n ?n

(e )

将式(e)代入式(d)得 将式(e)代入式(d)得: (e)代入式(d)
?? m1 ? ? m 2 ? =σ ?n ?n
m

类似电势 类似电势 类似电场 在分界面上 定义面磁荷密度: 电场, 界面上, 类似电场 在分界面上 定义面磁荷密度: = ? ? e1 e2

? m1 = ? m 2

(6 )

σm = M1? n? M 2 ? n









(7 )

四、静磁场与静电场比较 静磁场与静电场比较 的区域, 在 J 传导 = 0 的区域,引入磁标势 ?m ,将静 电问题的求解方法应用到静磁场问题中! 电问题的求解方法应用到静磁场问题中!


静电场
?×E =0


静磁场
?×H = 0
? ? H = ρm




ρe ??E = ε → ρ P = ?? ? P


ρ m = ?? ? M
B = ?0 H + ?0 M
→ → →



D = ε0 E+ P







?e = ∫ E? d l
P

∞ →



?m = ∫ H ? d l
P

∞ →



E = ?? ? e



H = ?? ? m



ρe ? ?e = ? ε ? 2 e = ? 1e
2

? ?m = ?ρm
2

?2 m = ?1m
?1
?? m1 ?? = ? 2 m 2 (均匀非铁磁质) ?n ?n ?? m1 ?? m 2 ? = σ m (均匀铁磁质) ?n ?n

?? ?? ε 1 1e ? ε 2 2 e = σ e (均匀介质 ) ?n ?n ?? ?? ε 0 1e ? ε 0 2 e = σ e + σ P (非均匀介质 ) ?n ?n

σ p = P1? n ? P 2 ? n









σm = M1? n? M 2 ? n









例1 、证明 ? → ∞ 的磁性物质表面为等磁势面。 磁性物质表面为等磁势面。 以角标1代表磁性物质 代表磁性物质, 代表真空 代表真空。 解: 以角标 代表磁性物质,2代表真空。磁场 边界条件: 边界条件:

? 0 H 2 n = ?H 1n ,
H 2t ? 0 H 1t = →0 H 2n ? H 1n

H 2t = H 1t

注意, 故上式趋于0到 注意,? >> ? 0 故上式趋于 到,即 H 2t → 0 ,故在 该磁性物质外面,磁力线与表面垂直,因此表面 该磁性物质外面,磁力线与表面垂直,因此表面 为等磁势面。 为等磁势面。





n

H2

?0
?


θ2

θ2 ? θ1 H2 ? H1 空气

? 2 << ? 0 << ? ? 1
H1

铁磁材料

均匀磁化 磁化铁球 例2 、求磁化矢量为常矢量 M 0 的均匀磁化铁球 产生的磁场。 产生的磁场。 解:在铁球内由于均匀磁化 M 0 , 在铁球内没有 在铁球内由于均匀磁化 磁荷: 磁荷:




ρ m = ?? ? M 0 = 0
因此磁荷只分布在铁球表面上。球外、 因此磁荷只分布在铁球表面上。球外、内磁标势 磁荷只分布在铁球表面上 → 满足拉普拉斯方程: 为 ?1, ?2 都满足拉普拉斯方程: er




? ?1 = 0, ? ? 2 = 0
2 2

M0

θ

z

完全类似第二章静电场球坐标 系中拉普拉斯方程的求解方法。 系中拉普拉斯方程的求解方法。

O? 2 ? R0 1

球外磁标势必随距离增大而减小, 球外磁标势必随距离增大而减小,因此它的展开 只含R负幂次项 负幂次项, 式只含 负幂次项,

?1 =


n

bn Pn (cos θ ) n +1 R

(1 )

球内磁标势在R=0处有限,故只含R正幂次项: 处有限, 只含 正幂次项 正幂次项: 球内磁标势在

? 2 = ∑ a n R n Pn (cos θ )
n

(2 )

磁标势的边界条件为: 铁球表面 R = R0 磁标势的边界条件为: ?1(R0 ) = ?2 (R0 )
??1 ?R ??2 R0 ? ?R
R0

= er ? (M1? M2 ) = ?er ? M2 = ?M0 cosθ











(3 )

(1)和(2)代入上式(3) 代入上式(3 将式(1)和(2)代入上式(3)得
? ( n +1) bn P cosθ ? na Rn?1P cosθ = ?M cosθ (4 ) ) ∑ n 0 n( ) ??∑ n+2 n ( 0 ? n R0 n ? bn ? n Pn ( cosθ ) = ∑ an R0 Pn ( cosθ ) (5) ?∑ Rn+1 ? 0

比较式 、 系数, 比较式(4)、(5) 的两边 P1 (cosθ ) 的系数,得
? b1 ? R 2 = a1R0 ? 0 ? 2b (6 ) ? 31 + a1 = M 0 ? R0 ?

由式(6)得 由式(6)得 (6)

M0 a1 = , 3

M0 R b1 = 3

3 0

(7 )
P (cosθ ) n

比较式 、 比较式(4)、(5) 的两边

的系数,得 系数,

? bn n ? R n +1 = an R0 ? 0 ? ( n + 1) bn = ?na R n+1 (8) ? n 0 ? R0n + 2 ?

an =bn =0 (n≠1 )

(9 )

将式( 将式(7)、(9)代入式(1)和(2)得: 代入式(
? ?
1

2

R 03 cos θ 0 = 3R 2 M 0 R cos θ = 3 M


(10) 10)

由式(10)得球内、外的磁场为 由式(10) 球内、外的磁场为


H


1

= ?? ? = ?? ?

1

R 3(M 0? R ) → m ) = [ R ? ] 5 3 R R 3
3 0 → 2





H

2

M = ? 3

0

磁化铁球的磁矩为 磁化铁球的磁矩为 铁球的磁矩

→ → 4 π R 03 M 0 = V M 0 m = 3



§3 磁多极矩
一、矢势的多极展开 场点P的矢势为 已知体分布电流密度 J ( x′) ,场点 的矢势为 场点
? 0 J ( x′)dV ′ A( x ) = ∫V r (1) P(x, y, z) 4πr y P 电流分布在小区域内 场点P 小区域内, 电流分布在小区域内,场点P r 距电流区域比较远。这时将 距电流区域比较远。这时将矢 x → 势作多极展开。在区域V 势作多极展开。在区域V内取 P′(x′, y′, z′) x 坐标原点, 坐标原点,有 R →
→ → → →
→ →

r

r = x? x′ = (x ? x′) +( y ? y′) +(z ? z′)
2 2

→ →

2

z

x′′ x 0

x

完全类似第二章静电多极矩的方法。 完全类似第二章静电多极矩的方法。
1 r

泰勒展开式为 在点 x ′ = 0 的泰勒展开式为:
1 ? ( x′? ?) → x′= 0 r





1 1 = r r

x′ = 0

→ 1 → 1 + ( x′? ?)( x′? ?) 2! r



x′=0

+ ...

1 1 1 ?→ → ?1 = ? (x ′ ? ? ) + ? x ′ x ′ : ?? ? + L (a) R R 2! ? ?R

将式( 将式(a)代入式(1)得 代入式( 2 r r ?0 r r 1 r 1 1 ? 1 A(x) = ∫ J (x')[ ? x'?? + ∑xi ' xj ' +???]dV(2) ' 4π v R R 2! i, j ?xi?xj R

二、磁多极矩 磁单极(点磁荷) 1、磁单极(点磁荷)的矢势 式(2)的第1项:
r (0) r ?0 A (x) = 4π R



V

r r J ( x ' ) dV '

体分布电流 体分布电流

由于体分布电流看成许多电流线 由于体分布电流看成许多电流线 体分布 圈组成, 每个电流线圈都有 圈组成,对每个电流线圈都有:
r (0) r ?0 A (x) = 4π R



V

r r ?0 J ( x ' ) dV ' = 4π R

∫ Id
L



l

→ ?0 = I∫d l = 0 4π R L

对体分布电流(看成许多电流线 C1 , C2 , C3 ,...Ci ,...CN 体分布电流( 电流 圈组成)也有: 圈组成)也有:

r (0) r ?0 A (x) = 4π R



V

r r J ( x ' ) dV ' = 0

上式表示:电流系统在远场的展开式中 上式表示:电流系统在远场的展开式中无磁单 远场 自由点磁荷) 极(自由点磁荷)场,没有与点电荷对应的自由 点磁荷项。 点磁荷项。 2、磁偶极的矢势 式(2)的第2项: (2)的 r (1 ) r r r ?0 1 A = ∫V J ( x ' ) x '?? R dV ' 4π 由于体分布电流看成许多电流线圈组成, 体分布电流看成许多电流线圈组成 由于体分布电流看成许多电流线圈组成,对每个 电流线圈都有 电流线圈都有:

r(1) ?0 r r r 1 ?0 I ?0 I 1 R → A = ∫ J (x' )x'?? dV' = ? 4π ∫ x′? ? R d l ′ = 4π ∫ x′? R 3 d l ′ L L 4π V R
→ → →



?0 I → → → ?0 I 1 → → → → → → = ( x′? R)d x′ = 3 ∫ 3 ∫[(x′? R)d x′+ d x′(x′? R)] 4πR L 4πR 2 L → → → → → → ?0 I = [(x′? R)d x′? x′(d x′? R)] 3 ∫ 4πR L → → → → → → ?0I 1 = 3 {∫[d[(x′? R) x′] + ∫ (x′×d x′)× R} 4πR 2 L L
?0 ? I → →? → = ? ? x′× d l′ ? × R 3 ? ∫ ? 4πR ? 2 L ?
d x′ = d l′
→ →

?0 → → = (m× R) 3 4πR

C1 , C 2 , C3 ,...Ci ,...C N

对体分布电流(看成许多电流线圈组成)也有: 体分布电流(看成许多电流线圈组成)也有: 电流 r (1) ?0 r r r 1 ?0 → → A = ∫V J ( x' ) x'?? R dV ' = 4πR3 (m× R) 4π 其中, 称为磁偶极矢势 磁偶极矢势, 称为电流系统的 其中, ( x) 称为磁偶极矢势,m 称为电流系统的 A 磁矩。对于线圈电流 线圈电流的 如图所示) 磁矩。对于线圈电流的磁矩(如图所示)为:
→ → → I → m = ∫ x ′× d l ′ = I ∫ d S = I ? S 2L S →
→(1) →



d x ′ = dx′ ′ d l
→ x′





对体分布电流的磁矩: 体分布电流的磁矩: 电流
1 m = 2


x′



V

x ′× J ( x ′ )d V ′







I

O

?S



3、磁偶极矩的磁场和磁标势 、 磁感强度: 磁感强度:
r v B = ?× A
→ → → r (1) ? 0 r (1) R ?0 → R ? × (m× 3 ) = (m? ?) 3 B = ?× A = 4π R 4π R r r r r (1) ? 0 ?0 r m?R R B = ?( 3 ) = ( m ? ?) 3 4π R 4π R

因为

r (1) v (1) (1) B = ? × A = ? ? 0 ?? m
r r 1 m? R = 4π R 3

( ? m1) 所以磁标势 磁标势: 所以磁标势:

三、小区域内电流分布在外磁场中的能量 外磁场B e 的矢势为 Ae ,则电流系统 J 在外磁 场中能量为 场中能量为
W相互作用能 = ∫ A e ? J dV
V











对载电流线圈,则电流线圈在外磁场中能量为 载电流线圈, 电流线圈在外磁场中能量为
W = I ∫ Ae ? d l = I ∫ (? × Ae ) ? d S = I ∫ B e ? d S = Iφm
L S S → → → → → →

电流系统在小区域分布,坐标原点取在区域内 电流系统在小区域分布, → ,对 B e 原点展开: 原点展开:
Be ( x) = Be (o) + x? ? Be (o) + ? ? ? ? ? ?
→ → → → →

W相互作用能 = I B e ( 0 ) ∫ d S + ... = m ? B e ( 0) + ...
S









其中,第一项为 其中,第一项为
W
(1 )

= m ? B e (0 )





是电流体系的磁偶极子位于原点时 是电流体系的磁偶极子位于原点时,在外磁场中 磁偶极子位于原点 的能量。由此可求出磁偶极子在外磁场 磁偶极子在外磁场中所受的 的能量。由此可求出磁偶极子在外磁场中所受的 → → 0 力 F 和力矩 M
F = ?[m? Be ] = m× (? × Be ) + m? ? Be = m? ? Be
? ? → → L = [m? Be ] = (mBe cosθ ) =?mBe sinθ ?θ ?θ




















L = m× Be





次作业: 第5次作业 P.72 次作业 9 一个镜像电荷
R12 qR1 d= > R1 q′ = ? a a

o aq
q
11、 、
q'

d q '

b d

a

?b

o
? q′

?d ?b

a2 d= b qa q′ = ? b

?q

三个镜像电荷

12、 见§ 5.1 平面镜像法例2。 、 平面镜像法例 。
?Q Q b a
b a ?Q

Q

三个镜像电荷 P.106
2、 、

H2t ? H1t = α传导 = nI

B=?H





3、 H 、

2

= H

1

=
1

I 2π r

B=?H
→ 2





α
4、 、

→ m

= M



× n? M




× n = M




→ 1

× n



I =
I
m


=

→ L1

H
M

1


? d l +
? d





→ L

H
2

2

? d l
? d


B1 = B 2
B = ? H
→ →


L

l

=

→ L

M
1

1

l

6、两个电流圆环线圈的磁场叠加求总磁场。 、两个电流圆环线圈的磁场叠加求总磁场。

第0、1、2、3章习题课
1、第1章习题1 P.33 章习题1 (1 )解:
? (A? B ) = ?
→ → A

(A? B ) + ?
→ →





B

(A? B )
→ →





(1 )


利用矢量等式 利用矢量等式
C ( B ? A ) = A × (C × B ) + ( A ? C ) B
→ → → →

得:
? ?
A

( A ? B ) = B × (? × A ) + ( B ? ? ) A ( B ? A ) = A × (? × B ) + ( A ? ? ) B
→ → → → → →













(2 )

B

将式(2)代入式(1)得: 代入式(
? ( A ? B ) = B × ( ? × A ) + ( B ? ? ) A + A× ( ? × B ) + ( A ? ? ) B(3)
→ → → → → → → → → →

得证。 得证。 (2 )解: 在式(3)中令 在式(
→ →

B = A
→2





得:

→ → 1 A× ( ? × A ) = ? A ? ( A ? ? ) A 2

得证。 得证。

2、第1章习题3(2) P.34 章习题3 (1 )解:
(a? ?) r
→ →
→ → ? ? ? → ? ? ? → = (ax + ay + az ) r = (ax + ay + az )(x e x + y e y + z e z ) ?x ?y ?z ?x ?y ?z

= ax e x + ay e y + az e z = a









(2 )解:
? → ? → ? ?(a? r ) = ( e x + e y + e z )( xax + ya y + zaz ) ?x ?y ?z
→ →


= ax e x + ay e y + az e z = a









(3 )解:
? ? [E 0 sin(k ? r )] = [? sin(k ? r )]? E 0 = [
→ → → → → → → → → →

d sin(k ? r ) d (k ? r )
→ → → →

→ →

?(k ? r )]? E 0

→ →



= [cos(k ? r ) k ] ? E 0 = cos(k ? r )(k ? E 0 )

→ →

(4 )解:
? × [ E 0 sin(k ? r )] = [?( k ? r )] × [
→ → → → → → →

d [ E 0 sin(k ? r )] d (k ? r )
→ → → → → →



→ →

= k × [ E 0 cos(k ? r )] = ( k × E 0 ) cos(k ? r )

→ →

3、第1章习题9 P.35 章习题9 解:
→ → →

→ ε0 → ε0 ρP = ??? P = ??? (D?ε0 E) = ??? (D? D) = ?(1? )?? D ε ε ε0 = ?(1? )ρ自由 得证。 得证。 ε →

4、第1章习题8 P.35 章习题8 解: →
→ →

→ ?H → ? J M = ?× M = ?× ( ? H ) = ?× ( ? H ) = ( ?1)?× H ?0 ?0 ?0 → ? = ( ?1) J自由 得证。 得证。 ?0

B





4、第2章习题1 P.70 章习题1 (1 )解:






r r 1 极化电荷体密度: 极化电荷体密度: ρP = ??? P = ???(K 2 ) = ?K??( 2 ) = ?K 2 r r r

球面上极化电荷面密度: 球面上极化电荷面密度:
→ r er 1 σ P = n? M = e r ? (K 2 ) R = e r ? (K ) = K r R R













(2 )解:

1 ε0 因为 ρP = ?(1 ? )ρ自由 ρP = ?K r2 ε ε εK 所以 ρ自由 = ? ε ? ε ρP = (ε ? ε )r 2 0 0

(3 )解: 因为
D = ε0 E+ P = ε E














球内电场强度: 球内电场强度:

P Kr E1 = = ε ? ε 0 (ε ? ε 0 )r 2

球内自由电荷为: 球内自由电荷为:
q自由 = ∫
球体

ρ自由dV = ∫

球体

εK 4πεKR dV = 2 (ε ? ε 0 )r (ε ? ε 0 )

由高斯定理得球外电场强度: 由高斯定理得球外电场强度:
ε KR r E2 = ε 0 (ε ? ε 0 ) r 3
→ →

球内电势: 球内电势:
?1 = ∫ E ? d r = ∫ E ? d r + ∫
r r 1 ∞→ → R→ → ∞→ R

K R ε E ?d r = (ln + ) 2 ε ? ε0 r ε0


球外电势: 球外电势:

?2 =



∞ →

r

E?d r =





∞ →

r

ε KR E ?d r = 2 ε 0 (ε ? ε 0 ) r


5、第2章习题2 P.70 章习题2

导体球置于均匀外电场 导体球内 球内、 导体球置于均匀外电场 E 0 中。求导体球内、外 的电势。 的电势。




O

E0

Z

R0

?

1)导体球与地的电势为 Φ 0 )导体球与地的电势为 解: 电势有轴对称性,电势与 φ 无关,得球外 电势有轴对称性, 无关, 的电势为 的电势为

? n bn ? ? = ∑? anR + n+1 ?P (cosθ ) n R ? n ?

(R > R0 ) (1)

很大时,球外电场是均匀外电 1、边界条件1:R 很大时,球外电场是均匀外电 边界条件1 场,即 E ( R很大) = E0 。 由第2章§2.1例1得 由第2 2.1例 n ? ( R = 很大) = ∑ an R Pn (cosθ ) = ?0 ? E0 R cosθ
= ?0 ? E0 RP (cosθ ) (a) 1
P1(cosθ)=cosθ
n

系数, 比较式(a)两边的勒德多项式 比较式(a)两边的勒德多项式 Pn (cosθ ) 系数,得 两边的勒德

a0 = ? 0 , a1 = ? E0 , an = 0 (n ≠ 0,1) (2)

将式( 将式(2)代入式(1) 得: 代入式(
? bn ? ? = ?0 ? E0Rcosθ + ∑? n+1 ?P (cosθ ) n ? n ?R

(R > R0 ) (2)

2、边界条件2:导体球球面上 R 0 ,有: 边界条件2 导体球球面上

? ( R 0 ) = Φ 0 (b )
将式( 将式(2)代入式(b) 得: 代入式(
? bn ? ? ( R0 ) = ? 0 ? E0 R0 cos θ + ∑ ? n +1 ? Pn (cos θ ) = Φ 0 ? ? n ? R0 ?

(c )

比较式(c)两边的勒德多项式 Pn (cosθ ) 系数,得 比较式(c)两边的勒德多项式 系数, 两边的勒德

b0 = (Φ0 ??0 )R0 , b1 = E R , bn = 0 (n ≠ 0,1)(3)
3 0 0

将式( 球外电势: 将式(3)代入式(2) 最后得球外电势: 代入式( 最后得球外电势 3 (Φ0 ??0 )R0 E0 cosθR0 (R > R0 ) ? = ?0 ? E0Rcosθ + + 2
R R

2)导体球上带电荷为q )导体球上带电荷为 球上带电荷


O

E0

Z

R0

?

解: 电势有轴对称性,电势与 φ 无关,得球外 电势有轴对称性, 无关, 的电势为 的电势为

? n bn ? ? = ∑? anR + n+1 ?P (cosθ ) n R ? n ?

(R > R0 ) (1)

很大时,球外电场是均匀外电 1、边界条件1:R 很大时,球外电场是均匀外电 边界条件1 场,即 E ( R很大) = E0 。 由第2章§2.1例1得 由第2 2.1例 n ? ( R = 很大) = ∑ an R Pn (cosθ ) = ?0 ? E0 R cosθ
= ?0 ? E0 RP (cosθ ) (a) 1
P1(cosθ)=cosθ
n

系数, 比较式(a)两边的勒德多项式 比较式(a)两边的勒德多项式 Pn (cosθ ) 系数,得 两边的勒德

a0 = ? 0 , a1 = ? E0 , an = 0 (n ≠ 0,1) (2)

将式( 将式(2)代入式(1) 得: 代入式(
? bn ? ? = ?0 ? E0 R cosθ + ∑? n+1 ?Pn (cosθ ) ? n ?R

(R > R0 ) (2)

2、边界条件2:导体球球面上 R 0 ,有: 边界条件2 导体球球面上

? ( R 0 ) = Φ 0 (b )
待定! 因为边界条件 边界条件2 式(b)中 Φ 0 待定! 因为边界条件2式(b)与 题相同,所以球外电势与 球外电势与1 题相同: 1)题相同,所以球外电势与1)题相同:
(Φ0 ??0 )R0 E0 cosθR0 ? = ?0 ? E0Rcosθ + + R R2
3

(R > R0 )(3)

2、边界条件3:导体球面上带电荷为q ,有: 边界条件3 导体球面上带电荷为q 球面上带电荷为
q = ∫D?d S =
S → →



S

D n dS = ? ε 0 ∫

S

?? ?R

R0

dS (c)

将式( 将式(3)代入式(c) 得: 代入式(
(Φ 0 ? ? 0 ) q = ε 0 ∫ [3E0 cos θ + ]dS = 4πε 0 (Φ 0 ? ? 0 ) R0(d) R0 S

将式(d)的 代入式( 最后得球外电势 球外电势: 将式(d)的 (Φ0 ??0) 代入式(3) 最后得球外电势:
E0 cosθR0 + ? = ?0 ? E0 R cosθ + 4πε0 R R2 q
3

(R > R0 )

6、第2章习题9 P.72 章习题9 解:

r′ R θr o aq d

一个镜像电荷
q '
R12 qR1 d= > R1 q′ = ? a a

球内电势: 球内电势: q q' 1 ?= + / = 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0

? q qR 1 ? ? ? ? ? r ar ′ ?

? q ? 1 R1 / a ? ? = ? ? 2 2 4πε0 ? R2 + a2 ? 2Racosθ R + d ? 2Rd cosθ ? ?

电力线

一个镜像电荷

q感应电荷

o aq

d q '
R12 qR1 d= > R1 q′ = ? a a

导体球内表面的感应电荷为: 导体球内表面的感应电荷为:

q感应电荷 = ?q

7、第2章习题11 P.72 章习题11 解: 电势: 电势: ? =
1 4 πε r1
0

q q′ q′ q ( + ? ? ) r1 r2 r3 r4

q
q'

b d

r2

a

?b

r4

r3
? q′

o
?d ?b

a2 d= b qa q′ = ? b

?q

三个镜像电荷

8、第3章习题2 P.106 、 章习题2 由边界条件: 解:由边界条件:

H 2 t ? H 1t = α 传导 = nI
因为螺线管外磁场为零: 因为螺线管外磁场为零: H 1 t = 0 螺线管外磁场为零 所以有螺线管内磁场为 所以有螺线管内磁场为 螺线管内磁场

H 2 = H 2 t = nI
B2 = ? H 2 = ? nI
H2



n

.........

I n

H1t = 0


H 2t

t

z

×××××××××

9、第3章习题3 P.106 、 章习题3 解: 因为
I =


L

H ? d l = 2 π rH





所以磁场强度: 所以磁场强度: H = 磁场强度 介质中的磁感强度: 介质中的磁感强度: 中的磁感强度
B1 = ? H
→ → 1

I 2π r

?I → = eφ 2π r

z
I
r
L

真空中的磁感强度: 真空中的磁感强度: 中的磁感强度
B2 = ?0 H
→ → 2

?0I → = eφ 2π r

?0

? x

y
I

介质中的磁化强度: 介质中的磁化强度: 中的


M

1

= B1? ?0 H



→ 1

? I → = ( ? 1) eφ ?0 2π r
= 0


真空中的磁化强度: 真空中的磁化强度: 中的


M

2

= B2? ?0 H



→ 2

介质表面的磁化电流面密度: 介质表面的磁化电流面密度:

α m = M1× n? M 2× n = M1× n
I ? =( ? 1) eφ× e z ?0 2πr ? I → =( ? 1) er ?0 2πr
→ →















n

z
r


I

L

?0

? x

αm

y

I

介质表面的磁化电流: 介质表面的磁化电流: I ? ? 2πr = ( ? 1) I I m = α m 2π r = ( ? 1) ?0 2πr ?0

z
I

?0

Im

r
αm


? x

y

I Im

10、第3章习题4 P.107 、 章习题4 解: → → → → 因为 I = ∫LH 1 ? d l + ∫LH 2 ? d l = πrH 1 + πrH 2 (1)
1 2

磁感强度相等: 磁感强度相等: B1 = B2
B1 = ?H1 = B2 = ?0H2 (2)


x
2

将式( 代入式( 将式 ( 2 ) 代入式 ( 1 ) 得 真空 中和磁介质 磁感强度: 磁介质中 中和磁介质中磁感强度:
?? 0 I B1 = B 2 = (3) ( ? + ? 0 )π r

H


L2 L

B2


r
I

?0

B1

z


?
H
1

L1

由式( 真空中磁场强度: 由式(3)得真空中磁场强度:
?I H2 = = ? 0 ( ? + ? 0 )π r
B2

(4)

由式( 由式(3)得磁介质中磁场强度: 磁介质中磁场强度:
?0 I H1 = = ? ( ? + ? 0 )πr
B1
→ → →

(5)

M2 = 0




x
r

介质中的极化强度: 介质中的极化强度:
→ ? M 1 = B1 ? ?0 H 1 = ( ?1) H 1 ?0

H


2

B2


?0

真空中的极化强度: 真空中的极化强度:


M

2

= B2? ?0 H



→ 2

B1

I z
→ →

?
H
1

= 0

M

1

在传导电流的附近作一个闭合圆L。 传导电流的附近作一个闭合圆L 作一个闭合圆 介质表面的磁化电流: 介质表面的磁化电流:
Im = ∫ M ? d l = ∫
L → → L1

M 1? d l + ∫





L2

M 2? d l = ∫





L1

M 1? d l = ∫





L1

→ → ? ( ?1) H 1? d l ?0

→ → ?0 I ? ? ?0 ? ? = ( ?1)∫ H 1? d l = ( ?1)( )= I L ?0 ?0 ? + ?0 ? + ?0
1

另一方法: 另一方法:

∫ B ? d l = B 2πr = ? 0 ( I + I m )
L





M2 = 0




x
L2 L

H


2

B =

??
(? + ?

0

I
0

)π r

B2


I
Im

r

?0

由上二式得介质 ? ? ?0 I 表面的磁化电流: 表面的磁化电流:m = ? + ? I
0

B1

z
→ →

?
H
1

L1

M

1

11、第3章习题6 P.107 、 章习题6 解: 1) 两个电流圆环在 轴上任一点产生的磁场为 两个电流圆环在Z轴上任一点产生的磁场为
Bz = B1 z + B2 z =

? 0 Ia 2
2

{ + } 2 2 3/ 2 2 2 3 / 2 (1) [( L ? z ) + a ] [( L + z ) + a ]

1

1

2) 在中心区域的磁场是均匀磁场的条件为: 中心区域的磁场是均匀磁场的条件为
? Bz ?z 2
2 z=0

= 0 (2)

I

I

将式( 代入式( 将式(1)代入式(2) 得

a
O ? L/ 2

a

z
Bz

L= a / 2

z

L/ 2

§2.5 磁象法
在形状简单的边界面(如平面、圆柱面等)附近,有 一个或几个形状简单的电流(如长直电流、圆电流等) , 求解这类空间磁场时来用磁象法比较简单。
例题 界面为无限大平面的两半空间中,分别充满磁 导率为 ?1 和 ? 2 的均匀介质,在 ?1 中有一长直线电流 I , 平行与界面,与界面相距为 a (如图 1) 。求空间磁场。
z
I

?1

a
0

?2

y

(图1)

z
I
I2

z

?1

a

r0
α

?2
y H1

a
0

r0

?1

0 r a 0

?2

α
H2

y

I1
(图2)

H

(图3)

求下半空间 ( z < 0 ) , 设想有镜像电流 I 2′ = I 2 ? I(如图 3) 这两半磁场要满足边值关系:

解 求上半空间 ( z > 0 ) , 设想有镜像电流 I1(如图 2) ,

?n ? ( B 2 ? B1 ) = 0 ? ? ?n × ( H 2 ? H1 ) = 0 ?

在界面上处处成立,任取一点使其距 I 为 r0 ,可得: ? ? I I1 ? I ? 2 ? ?1 ? ? ? cos α = ? 2 ? 2 cos α + ? ?1 ? ? ?I1 = ? + ? I 2πr0 ? ? 2πr0 2πr0 ? ? 2 1 → ? ? ?? ? I + I 1 ? sin α = ? I 2 sin α ? I = 2 ?1 I ? ? ? ?? 2πr ? 2 ? 2 + ?1 2πr0 ? 2πr0 ? 0 ??

?1 ? Ir I1r′ ? ?2 I 2 B r 由此容易解出两空间的磁场: 1 = ? 2 + ′2 ? , B 2 = 2 2π ? r r ? 2π r 讨论: (1)当 ?1 < ? 2 时, I 1 , I 2 方向同 I;当 ?1 > ? 2 时,
I 1 与 I 相反, I 2 与 I 同向。 (2)介质 1 为真空 (?1 = ? 0 ) ,介质 2 为铁磁质 (? 2 >> ? 0 )
第27页

则 I1 ≈ I , I 2 = 0
但下半空间 B 不为零,为

?0 I ?2 I 2 ? 2 2 ?0 (如图) B2 = I= = 2π r 2π r ? 2 + ?0 πr

?0

? >> ? 0

例题 半径为 a 的均匀带电圆盘,电量为 Q,绕通过 圆心垂直于版面的轴以恒定速度 ω 旋转。 求圆盘的磁偶极 矩及远处的磁场。

1 解 将 m = ∫ x′ × JdV ′ 改写成 2 1 1 a m = ∫ r × αdS ′ = ∫ r ? σω r ? 2π rdre z 2 2 02 Qω a 1 4 ez = πσω a e = z 4 4 dI 1 ? σ ? 2π rdr ? O α= = ? ? = σω r dr dr ? 2π ω ? a 1 2 2 或m = ∫ dI ? π r = ∫ σω rdr ? π r = πσω a 4 0 4

z

ω

r

?0m × R ?0σω a 4 A= = sin θ eφ 3 2 4π R 16 R 2 m?R Qω a ?m = = cos θ 3 2 4π R 16π R ??m 1 ??m B = ? ?0??m = ? ?0 ( eR + eθ ) ?R R ?θ
Qω a 2 cos θ Qω a 2 sin θ = ? ?0 [(? eR ? eθ )] 3 3 8π R 16π R ?0Qωa 2 = (2cos θ e R + sin θ eθ ) 3 16π R

*§5 超导体的电磁性质
1、超导体的基本电磁现象。 (1)超导电性

ρ

当物体的温度下降到临界温度 Tc 以下时,其电阻率 = 0 ,这种现象称为超导电性。

T > Tc :正常态;

T < Tc :超导态

超导态时, 外磁场增到 H c(临界值) 超导态被破坏。 , H c (T ) 的经验公式为

? ?T H c (T ) = H c (0)?1 ? ? ?T ? ? c ?

? ? ? ?

2

? ? ? ?

(2)迈斯纳效应

超导体内部 B = 0 ,与其经历无关。 超导体的两种重要电磁性质:理想导电性和完全抗磁 性是彼此独立的。 2、超导体的电磁性质方程

(1)伦敦第一方程

?J s = αE ?t
正常电流: J n = σE

? ns e2 ? ?α = ? m ? ?
J = Js + Jn
(5.4)

推导: 推导 “二流体模型” n = n s + n n ,

超导电流: J s = ? ns ev

& 而 mv = ?eE

?J s ? ? eE ? & = ?n s ev = (? n s e )? 故 (5.5) ? = αE ?t ? m ? 讨论: ?J s (1)恒流: =0 ?t 由(5.5)(5.4)式,可得 J n = 0 ,说明:超导体内 5.5 、 5.4
电流来自超导电子,无电阻效应。

?J s (2)交变: ≠0 ?t 这时, ≠ 0 ,有电阻损耗 J

js = ∫ α Edt =
0

t

αE
f

,

jn = σ E ,

jn σ f ? mσ ? ∴ = = ? 2 ? f = 1012 f js α ? ns e ?
由此可见,对于低频交流电,损耗较小。

(2)伦敦第二方程

? × J s = ?αB

?B 推导:由麦氏方程 ? × E = ? 及伦敦第一方程 ?t

?B ? 1 ?J s ? ?×? 的旋度,得 ?=? ?t ? α ?t ?

? ? ? ?1 ? ?? × ? α J s ? + B ? = 0 ?t ? ? ? ?
Js ? ? 伦敦假设: ? ? × + B ? 与时间无关,则有 α ? ?
? × J s = ?αB
由此可见:电场 E 起着加速超导电子的作用,而磁场 B 起着维持超导电流的作用。

(3)由伦敦方程推导迈斯纳效应。

恒流时: J n = 0 ,有 ? × B = ?J s

? × ? × B = ?? × J s

?(? ? B ) ? ? 2 B = ? (? αB )

∴ ? B=
2

1

λ

2 L

B

? ? λL = ? ?

1 ? ? ?α ? ?

同理,利用 ? × J s = ?αB 可得

? × Js =
2

1

λ

2 L

B

讨论 λ L 的意义:设超导体在 z > 0 上半空间,且 B = B( z )e x
则根据 ? B =
2

1

λ d 2B 1 ? 2 B=0 2 dz λL
2 L

B 有:

∴ B( z ) = B(0 )e ? z λL
由此可见, λ L 标志磁场透入超导体内的深度,称为穿透 ?7 深度。一般 λ L ~ 10 m 。



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