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【最新】高一数学上学期期末联考试卷(含解析)

浙江省浙南名校联盟(温州九校)2018-2019 学年高一上学期期末联

考数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,共 40.0 分) 1.

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用诱导公式化简求值.

【详解】



故选:B.

【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值,意在考察学生对该知识的理解掌握水平.

2.下列函数中,即不是奇函数也不是偶函数的是

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】

对四个选项逐一分析,从而得出正确选项.

【详解】对于 A 选项,

,故函数为偶函数.对于 C 选项,



故为奇函数.对于 D 选项,正切函数是奇函数,排除 A,C,D 三个选项,则 B 选项符合题意.对

于 B 选项由

,解得 ,定义域不关于原点对称,即不是奇函数也不是偶函数.故

选 B.∴∴∴。,、 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断,属于基础题.

3.将函数

的图象沿 x 轴向右平移 个单位,得到函数

的图象,则



A.

B.

C.

D.

-1-

【答案】D 【解析】 【分析】
的图象沿 轴向右平移 个单位,即

,化简后求得 的表达式.

【详解】依题意

的图象沿 轴向右平移 个单位,得到

,即



故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换,属于基础题.变换过程中要注意 的系数的影响.

4.已知点



,向量

,则向量

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先求得 的坐标,然后利用减法求得 的坐标.

【详解】依题意

,所以

,故选 A.

【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.

5.若

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据已知确定 位于第二或第四象限,再根据 x 的范围讨论选项三角函数值的符合得解.

【详解】

, 位于第二或第四象限,

若 x 位于第二象限,则



,此时



若 x 位于第四象限,则



,此时



综上



故选:C.

【点睛】本题主要考查三角函数的象限符合,考察二倍角的公式,意在考察学生对这些知识

-2-

的理解掌握水平和分析推理计算能力.、、···¨

6.已知向量



,t 为实数,则

的最小值是

A. 1

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】 先求得 的坐标,利用模的运算列出表达式,用二次函数求最值的方法求得最小值.

【详解】依题意

,故

,当

时,取得最小值为 .故选 B.

【点睛】本小题主要考查向量减法的坐标运算,考查向量模的坐标表示,考查二次函数最值

的求法,属于中档题.

7.若 m 是函数

的零点,则 m 在以下哪个区间

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 【分析】

计算

的值,利用零点的存在性定理判断 所在的区间.

【详解】由于



,根据

零点的存在性定理可知, 在区间 ,故选 C.

【点睛】本小题主要考查零点存在性定理的应用,考查函数零点区间的判断,属于基础题.

8.已知 t 为常数,函数

在区间

上的最大值为 2,则 t 的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

-3-

注意到



上的增函数,按



两类,求得 的最大值

并由此列方程,解方程求得 的值.

【详解】令

,为

上的增函数.



,即

时,



,舍去.



,即

时,由于 单调递增,故函数 的最值在端点处取得.

.



,解得

(舍去).当

时,

符合题意.



,解得

.当 时,

,不符合题意.当

时,

符合题意.故



.所以选 A.

【点睛】本小题主要考查函数的单调性,考查含有绝对值的函数的最值有关的问题,考查分 类讨论的数学思想方法.由于函数 是含有绝对值的,对于绝对值内的函数的符号就是解题 的关键.而绝对值内的函数是单调递增函数,加了绝对值后,最大值会在区间的端点取得,由 此分类讨论求得 的的值.、、···¨

9.在

中,

,若

,则 的最大值是

A.

B.

【答案】B 【解析】 【分析】

利用向量数量积模的表示化简

小值,由此求得 的最大值.

【详解】由



C.

D.

,利用余弦定理求得 的表达式,求得 的最

,故 为钝角,且



.由余弦定理得

,即

,所以 的最大值为 ,故选 B. 【点睛】本小题主要考查向量数量积的表示,考查余弦定理的应用,考查利用基本不等式求

-4-

最小值,考查余弦函数的性质,综合性较强,属于中档题.向量在本题中是一个工具的作用,

由此得到三角形 的边角关系.要求角的最大值,则要求得其余弦值的最小值,利用基本不

等式可以求得这个最小值.、、···¨

10.已知函数 是偶函数,且

,若



,则

下列说法错误的是

A. 函数

的最小正周期是 10

B. 对任意的 ,都有

C. 函数

的图象关于直线 对称

D. 函数

的图象关于 中心对称

【答案】A

【解析】

【分析】

根据 的为偶函数以及

,可得到函数 是周期为 的周期函数,假设出符

合题意的函数 .对四个选项逐一分析,由此得出说法错误的选项.、、···¨

【详解】由于 是偶函数,且

,所以函数 是周期为 的周期函数,不

妨设

.对于 选项,由于

,所

以函数 的最小正周期为 ,故 A 选项说法错误.对于 B 选项,函数

,由于



的周期,故 是 的周期,故

,故 B 选项说法正确.对于 C 选

项,由于

,结合前面分析可知

,故 C 选项判断正确.对于 D 选



.



,故函数 关于 对称,D 选项 说法正确.综上所述,本小题选 A.、、···¨ 【点睛】本小题考查函数的奇偶性,考查函数的对称性,考查函数的周期性等知识,属于中 档题.

二、填空题(本大题共 7 小题,共 36.0 分)

-5-

11.已知向量

,则 ______; 的夹角为______.

【答案】 (1).

(2).

【解析】 【分析】 利用数量积的坐标运算取得 限量的夹角.

,利用夹角公式求得 两个向量夹角的余弦值,由此求得两个

【详解】依题意

,而

,所以

,所以两

个向量的夹角为 .

【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算,考查向量的夹角公式,属于基础题.

12.已知

,且

,则

______;

______.

【答案】 (1).

(2).

【解析】 【分析】

先求得 的范围,然后利用同角三角函数关系求得

展开后求得 的值.

【详解】由



的值,利用



,所以

.

.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,属于基础题.

13.已知函数

,则 的最小正周期是______; 的对称中心是______.

【答案】 (1).

(2).



【解析】 【分析】

根据

取得函数的最小正周期,利用

求得 的对称中心.

-6-

【详解】依题意的

,即函数的最小正周期为 .令

,解得



所以函数的对称中心是

.

【点睛】本小题主要考查三角函数的最小正周期,考查三角函数零点的求法,属于基础题.对

于函数

以及函数

,最小正周期的计算公式为

.对于

来求解.、、···¨

,最小正周期的计算公式为

.对称中心的求法是类比

的对称中心

14.已知二次函数

的两个零点为 1 和 n,则 ______;若

,则 a

的取值范围是______.

【答案】 (1). -3 (2).

【解析】

【分析】

利用

求得 ,进而求得另一个零点 .解一元二次不等式求得 的取值范围.

【详解】依题意可知

,即



,所以另

一个零点为 即

.由



,即

,解



.

【点睛】本小题主要考查二次函数零点问题,考查 十字相乘法,考查一元二次不等式的解法,

考查运算求解能力,属于基础题.已知二次函数的一个零点,可以将零点代入函数的表达式,

求出里面未知参数的值,从而求得另一个零点.解一元二次不等式主要步骤是先求零点,然后

根据开口方向写出不等式的解集.、、···¨

15.已知对数函数 的图象过点

,则不等式

的解集______.

【答案】

【解析】 【分析】 设

,利用点

求得 的值,利用对数运算化简不等式后求得不等式的解集.

【详解】设

,代入点



,故 ,即

.故原不等式可

-7-

化为

,即

,解得

,故不

等式的解集为 . 【点睛】本小题主要考查对数函数解析式的求法,考查对数不等式的解法,属于中档题.

16.函数

,若方程

恰有三个不同的解,记为 , , ,



的取值范围是______.

【答案】

【解析】 【分析】 画出函数 的图像,根据图像与
的取值范围.

有三个不同的交点,判断出

【详解】画出函数 的图像如下图所示,由图可知

,由于

关于

对称,即

.所以

.

的位置,由此求得 ,

-8-

【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质,考查指数函数和三角函数图像的画法,考 查三角函数的对称性,属于中档题.、、···¨

17.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E,F 分别为边 AB,DC 上动点,则 围是_____.、、···¨

的取值范

【答案】 【解析】 【分析】 以 为坐标原点建立平面直角坐标系,设出 两点的坐标,利用坐标表示
的取值范围.

,由此求得
-9-

【详解】以 为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示,设



.由于

,故当

时,

取得最大值为 .令

,则

,由于关于 的一元二次方程有解,故

,即

,而

,故

.综上所述,

的取值范围是

.、、···¨

【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标表示,考查最大最小值的求法,考查分析和截距 问题的能力,属于难题.、、···¨

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74.0 分)

18.已知





Ⅰ 当 时,求



Ⅱ若

,求实数 a 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(I)当 是,解一元二次不等式求得 ,解对数不等式求得 ,求得 在求得

.

(II)构造函数

,根据 是集合 的子集,可知

,解不等式组求得

的取值范围.、、···¨

【详解】解:(Ⅰ)

当 时,由

得:



所以 (Ⅱ)若 令

,则当

时,

恒成立



所以

.

- 10 -

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合补集和交集的概念,考查子集的 概念,属于中档题.

19.已知向量



Ⅰ 求 的取值范围;

Ⅱ若

,求

的值.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(I)将

两边平方后,利用辅助角公式,化简合并,由此求得

求得

的取值范围.(II)利用

求得 的值,进而求得

的正弦公式,求得

的值.、、···¨

【详解】解:(Ⅰ)

的取值范围,进而 的值,利用两角和





(Ⅱ)若









【点睛】本小题主要考查向量模的运算,考查三角函数辅助角公式,考查两角和的正弦公式, 属于中档题.

20.已知函数

为偶函数,

Ⅰ 求实数 t 的值;

Ⅱ 是否存在实数

,使得当

时,函数 的值域为

?若存在请求出

实数 a,b 的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)不存在

- 11 -

【解析】

【分析】

(I)利用偶函数的定义,通过

列方程,由此求得 的值.(II)由(I)求得 的

解析式,并判断出函数在 上为增函数,根据函数的值域列方程组,求得 的值,由此判

断出不存在符合题意的 的值.、、···¨

【详解】解:(Ⅰ)函数

为偶函数,



,∴

(Ⅱ)

,∴ 在 上是增函数

若 的值域为



解得

又∵ ,所以不存在满足要求的实数 ,

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性,考查函数的单调性以及函数的值域,属于中档题.

21.已知函数

Ⅰ 当 时,求 的值域;

Ⅱ 若方程

有解,求实数 a 的取值范围.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)



【解析】

【分析】

(I)当 时,利用降次公式化简 ,然后利用换元法将函数转化为二次函数,结合二次

函数的知识求得 的值域.(II)解法一:同(I)将函数转化为二次函数的形式.对 分成

三类,讨论函数的

是否有解,由此求得 的取值范围.解法二:

化简

的表达式,换元后分离常数 ,再由此求得 的取值范围.、、···¨

【详解】解:(Ⅰ)当 时,



,令



- 12 -



,所以 的值域为

(Ⅱ)法一:



,令



①当 ,即 时,

,且

,解得



,即

时,

,无解

③当

,即

综上所述



法二:

时,



,解得





当 ,不合题意,∴









, 递减









【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式,考查利用换元法转化函数,考查二次函数求最

值,考查方程有解的问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,考查分类讨论的数

学思想,属于难题.解决含有参数的方程有解问题,可以考虑分离常数法将参数分离出来,然

后根据表达式的范围,求得参数的范围.、、···¨

22.已知函数

在 上是减函数,在

上是增函数 若函数

,利用上述性质,

Ⅰ 当 时,求 Ⅱ 设 在区间 Ⅲ 若方程

的单调递增区间 只需判定单调区间,不需要证明 ;

上最大值为 ,求

的解析式;

恰有四解,求实数 a 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)单调递增区间为



(Ⅱ)

(Ⅲ)

- 13 -

【解析】 【分析】

(I)当 时,将函数 写为分段函数的形式,结合

的单调性,写出函数的单调

递增区间.(II)对 分成

三种情况,结合函数 的解析式,讨论函数的

最大值,由此求得 的解析式.(III)分成

两种情况,去掉

的绝对值,

根据解的个数,求得 的取值范围.、、···¨

【详解】解:(Ⅰ)当 时,

的单调递增区间为



(Ⅱ)∵

①当 时,



②当 时,





③当

时,









,即

时,



,即

时,

综上所述

(Ⅲ) 时,方程为

,且

,其中



,即 时,由于

为增函数,故



,即 时,由于

为增函数,故

所以 时,方程

有且只有两正解.

. 有且只有两正解. 无解.

- 14 -

时,方程为



,只需 ,可使

有且只有两解.

综上所述 时,

恰有四解

【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断,考查含有绝对值函数的最值的求

法,考查含有绝对值的方程的求解策略,考查分类讨论的数学思想,考查化归与转化的数学

思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数,主要是对自变量分类,去绝对值,将函数转化

为分段函数来求解.、、···¨

- 15 -

- 16 -



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