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5 三角函数的应用


九年级数学· 下 新课标[北师]

第一章

直角三角形的边角关系

三角函数值的应用

学习新知

检测反馈

《盘点1833年以来重大海难》

学习新知

2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆 的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶 载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5 人、船员47人.仅14人生还. 历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼 克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在 这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间 的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生, 如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客 轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船 只遇难都造成了巨大的人员伤亡.

利用方向角解决实际问题
如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10 n mile 内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西 55°的B处,往东行驶20 n mile后到达该岛的南偏西 25°的C处.之后,货轮继续往东航行.

你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险 吗?你是怎样想的?与同伴进行交流.

解:过A作BC的垂线,交BC于点D. 在Rt△ABD中,易知tan 55°= ∴BD=ADtan 55°.
BD AD



在Rt△ACD中,易知tan 25°=
∴CD=ADtan 25°.

CD , AD

设AD=x,则BD=tan 55°x,CD=tan 25°x. ∵BC=BD-CD,∴tan 55°x-tan 25°x=20, 解得 x ?
20 ? 20.79 ? 海里 ? . tan 55? ? tan 25?

∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.

利用仰角和俯角解决实际问题
【想一想】 如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶, 测得仰角为30°,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60°,那 么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m) 1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别 指哪两个角? 2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一 样吗?它们有什么共同点?

解:在Rt△ACD中,tan 30°=
即 AC ?
CD tan 30?

CD , AC

.
CD BC

在Rt△BCD中,tan 60°=

CD ,即BC= . tan 60?

CD CD ? ? 50, 由AB=AC-BC=50,得 ? ? tan 30 tan 60

解得CD≈43,即塔CD的高度约为43 m.

利用倾斜角解决实际问题 【做一做】 某商场准备改善原有楼梯的安
全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长
为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长 一段地面?(结果精确到0.01 m) 解:如图所示,在Rt△ABC中,sin 40°=
AB , AC

∵AC=4 m,∴AB=4sin 40° m,原楼梯占地长

BC=4cos 40° m.
调整后,在Rt△ADB中,sin 35°=
AB , AD

4sin 40? AB 4sin 40? 则AD= (m),楼梯占地长DB= ? ? ? tan 35? sin 35 sin 35
4sin 40? ∴调整后楼梯加长:AD-AC= sin 35?

m,

-4≈0.48(m).

4sin 40? 楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC= -4cos 40°≈0.61(m). ? tan 35

[知识拓展]

形如“双直角三角形”的图形的解题规律:
设∠C=α,∠ADB=β,CD=a. 1.非特殊角的组合(α和β组合):AB= 2.特殊角的组合(α和β组合):
3 a . 2 3 ?1 a . 2 3 ?3 a. 2

tan ? ?tan ? tan ? ? tan ?

a.

.

(1)30°与60°组合:AB=
(2)30°与45°组合:AB= (3)45°与60°组合:AB=

检测反馈
1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东 方向航行了12 n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方 向上,这时渔船与灯塔C的距离是 ( D ) A.6 n mile B.8 3 n mile

C.2 3 n mile

D.4 3 n mile

解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC 3 中,BC=AB· tan 30°=12× =4 3 (n mile).故选D. 3

2.如图所示,为测量某物体AB的高度, 在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20 m,到达点C,再次测得点A的 仰角为60°,则物体AB的高度为( A ) A.10 3 m B.10 m

C.20 3 m

D.

20 3 3

m

解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°, ∴BD=
AB ? 3 AB .∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°, tan 30? AB 3 3 ? AB . ∵ CD =20, ∴ CD = BD BC = AB AB=20, 3 ? 3 tan 60 3

∴BC=

解得AB=10

3.故选A.

3.长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为 2( 3 ? 2)m. 60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了 解析:由题意知调整前梯高为4· sin 45°=4× 2 ? 2 2 (m),调整后梯高为4· sin
2
3 ?2 3 2

60°=4×

(m),∴梯子升高了
3? 2

2(

3 ? 2 )m.故填2(

).

4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影
响,以30 m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25 min后 到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°, 则小山东西两侧A,B两点间的距离为 750 2 m.

解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC· sin 45°=375 2 (m).在 Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750 2 (m).故填750 2 .

5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与 爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行 200 m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所 在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1 m)?(参 考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, 2 ≈1.41, 3 ≈ 1.73 )

解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示, 在Rt△APC中,AP=200 m,∠ACP=90°,∠PAC=60°, ∴PC=200×sin 60°=200× ∴PB= ∵在Rt△PBC中,sin 37°= PC
PC 100 ? 0.73 ? ≈288(m). sin 37 0.60

3 =100 2

.

PB

,

答:小亮与妈妈相距约288 m.


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