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2013届高考数学一轮复习课件:4.2平面向量的基本定理及向量坐标运算(人教A版)


第二节 平面向量的基本定理及向量 坐标运算

三年8考 1.了解平面向量基本定理及其意义; 2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示;

高考指数:★★★

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

1.平面向量基本定理的应用、坐标表示下向量的线性运算及向

量共线条件的应用是考查重点.
2.题型以客观题为主,与三角、解析几何等知识交汇则以解答

题为主.

1.平面向量基本定理
不共线向量 前提:e1,e2是同一个平面内的两个___________. 有且只有一对 条件:对于这一平面内的任一向量a, _____________实数 λ 1e1+λ 2e2 λ 1,λ 2满足a=___________. 结论:不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.

【即时应用】

判断下列关于基底的说法是否正确(请在括号内打“√”或
“×”). (1)在△ABC中,AB、 可以作为基底.( AC
??? ??? ? ?

) )

(2)能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的.( (3)零向量不能作为基底.( )

【解析】由基底的定义可知(1)(3)正确;(2)只要是同一平面 内两个不共线的向量都可作为一组基底,故(2)错误. 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.平面向量的坐标表示 (1)向量的夹角 非零向量 ①定义:如图,两个_________a和b,
??? ? ??? ? 作 OA=a,OB ? b, 则向量a与b的夹角是

θ 或∠AOB __________.
0°≤θ ≤180° ②范围:向量a与b的夹角的范围是______________.

同向 ③当θ =0°时,a与b_____.
反向 当θ =180°时,a与b_____. 垂直 当θ =90°时,a与b_____.

(2)平面向量的正交分解 互相垂直 向量正交分解是把一个向量分解为两个__________的向量.

(3)平面向量的坐标表示
在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a
可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,因此向量 (x,y) x a的坐标是_____,记作a=(x,y),其中a在x轴上的坐标是__, y a在y轴上的坐标是__.

(4)规定 相同 相同 ①相等的向量坐标_____,坐标_____的向量是相等的向量;

②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位
置无关,只与其相对位置有关系.

【即时应用】

(1)思考:在△ABC中,向量 AB 与 BC 的夹角为∠ABC,是否正
确? 提示:不正确.求两向量的夹角时,两向量起点应相同.向量
??? ? ??? ? AB 与 BC 的夹角为π-∠ABC.

??? ?

??? ?

???? (2)已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a= OA ,O为原点,则

x=______,y=______.
???? 【解析】∵a= OA =(2,0).

∴?x ? 3 ? 2 ? 答案:-1

? x ? 3y ? 5 ? 0

解得 ? x ? ?1 . , ?
? y ? ?2

-2

3.平面向量坐标运算
向量的 若a=(x ,y ),b ? x ,y ),则a ? b (_______________, ( 2 2 ? x1 ? x 2,y1 ? y2) 1 1 加、减 a ? b ? (x1 ? x 2 , y1 ? y2) _____________. 法

实数与 向量的 积
向量的 坐标

若a ? x, y),? ? R,则?a ?(?x,?y) ( _________

??? ? 若起点A(x1,y1),终点B(x 2,y 2),则AB

(x 2 ? x1,y2 ? y1) ? ______________

【即时应用】

(1)已知a=(1,1),b=(1,-1),则 a ? b ? _______ .
??? ? (2)已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3).若 AB =3a,则点B的坐标

1 2

为_______. (3)设a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且c=pa+qb,则实数p、q的 值分别为_______、_______.

1 【解析】(1) 1 a ? b ? ( 1 , ) ? (1, 1) ? ( 3 , 1 ). ? ? 2

(2)设B(x,y),则 AB =(x,y)-(-1,-5)=3(2,3), ∴(x,y)=(-1,-5)+(6,9)=(5,4). (3)∵(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q),
??p ? q ? 3 ?p ? 1 ?? ,? ? . ?2p ? q ? ?2 ?q ? 4 答案:(1)( 3 , 1 ) (2)(5,4) ? 2 2

??? ?

2 2

2

2

(3)1

4

4.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b ? x1y2-x2y1=0 ?___________.

【即时应用】 (1)已知a=(-1,3),b=(x,-1),且a、b共线,则x=______. (2)设a=(1,1),b=(-1,0),若向量λ a+b与向量c=(2,1)共线,则 λ =______. 【解析】(1)∵a∥b,∴(-1)2-3x=0,∴x= . (2)∵λa+b=λ(1,1)+(-1,0)=(λ-1,λ), 又∵(λa+b)∥c,∴(λ-1)·1-2λ=0,∴λ=-1. 答案:(1) 1
3 1 3

(2)-1

平面向量基本定理及其应用

【方法点睛】
用平面向量基本定理解决问题的一般思路

先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形
式,再通过向量的运算来解决. 【提醒】在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带 来方便,另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.

【例1】如图所示,在平行四边形ABCD中, M,N分别为DC,BC的中点,已知 AM ? c,
??? ??? ? ? ??? ? 试用c,d表示 AB AD. , AN ? d,
??? ??? ? ? 【解题指南】直接用c,d表示 AB、 有难度,可换一个角度, AD

???? ?

??? ??? ? ? ??? ???? ? ? ??? ??? ? ? 由 AB AD 表示 AN AM 进而求 AB AD. , , , ,

【规范解答】方法一: 设 AB ? a,AD ? b, 则 a ? AN ? NB ? d ? (? 1 b)
2 ???? ??? ?

??? ?

??? ?



???? ???? ? ? 1 ② b ? AM ? MD ? c ? (? a) 2 将②代入①得 a ? d ? (? 1[c ? (? 1 a)] ) 2 2 4 2 ? a ? d ? c, 代入② 3 3 得 b ? c ? (? 1 )( 4 d ? 2 c) ? 4 c ? 2 d. 2 3 3 3 3 ??? 4 ? ? 2 ??? 4 2 ? AB ? d ? c, ? c ? d. AD 3 3 3 3

方法二: 设 AB ? a,AD ? b. 因为M,N分别为CD,BC的中点, 所以 BN ? 1 b, ? 1 a, DM
2 2 ??? ? ???? ?

??? ?

??? ?

2 1 ? ? a ? (2d ? c) c?b? a ? ? 3 2 ?? 因而 ? ? ? ?d ? a ? 1 b ?b ? 2 (2c ? d) ? ? 2 3 ? ? ??? ? ??? ? 即 AB ? 4 d ? 2 c, AD ? 4 c ? 2 d. 3 3 3 3

【反思·感悟】1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,

该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合,
基底不同,表示也不同. 2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则 或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.

平面向量的坐标运算 【方法点睛】 两向量相等的充要条件

两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)相等的充要条件是它们的对应坐标
分别相等,即 ? ?
x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ,利用向量相等可列出方程组求其中的未

知量,从而解决求字母取值、求点的坐标及向量的坐标等问题.

【例2】(1)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于(

)

(A)(7,3)
(C)(1,7)

(B)(7,7)
(D)(1,3)

(2)已知A(2,3),B(5,4),C(7,10), ①求 AB ; ②若 AB ? mAC ? nBC, 求m,n.
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

【解题指南】(1)由向量的坐标运算法则求解即可. (2)①利用 AB 为点B的坐标减去点A的坐标求解. ②利用向量相等列出关于m,n的方程组求解.
??? ?

【规范解答】(1)选A.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3). (2)① AB =(5,4)-(2,3)=(3,1).
??? ? ②∵AC =(7,10)-(2,3)=(5,7), ??? ? BC =(7,10)-(5,4)=(2,6), ??? ? ??? ? ∴mAC ? nBC =m(5,7)+n(2,6)=(5m+2n,7m+6n)
??? ?

∵AB ? mAC ? nBC ? (3,, 1)
?5m ? 2n ? 3 ?? , ?7m ? 6n ? 1 ?m ? 1 ?? . n ? ?1 ?

??? ?

??? ?

??? ?

【反思·感悟】求解平面向量坐标的加法、减法、数乘运算, 以及求向量的坐标表示等问题,关键是理解平面向量线性运算 和坐标形式的性质与规律.解题过程中要注意方程思想的运用及 正确使用运算法则.

平面向量共线的坐标表示 【方法点睛】 利用两向量共线解题的技巧 (1)一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向

量为λ a(λ ∈R),然后结合其他条件列出关于λ 的方程,求出
λ 的值后代入λ a即可得到所求的向量.

(2)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较

方便.
【提醒】1.注意0的方向是任意的.

2.若a、b为非零向量,当a∥b时,a,b的夹角为0°或180°,求
解时容易忽视其中一种情形而导致出错.

【例3】已知a=(1,0),b=(2,1), (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线.

(2)若 AB ? 2a ? 3b,BC ? a ? mb 且A、B、C三点共线,求m的值.
【解题指南】(1)利用向量共线的充要条件列出关于k的方程求解

??? ?

??? ?

即可.
(2)可引入参数λ使 AB ? ?BC求m,或利用 AB BC 的坐标形式求m. ∥
??? ? ??? ?

??? ??? ? ?

【规范解答】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).
a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).

∵ka-b与a+2b共线,
∴2(k-2)-(-1)×5=0, 即2k-4+5=0,得k= ? 1 .
2

(2)方法一:∵A、B、C三点共线,
??? ? ??? ? ? AB ? ?BC.

即2a+3b=λ(a+mb), ∴?
?2 ? ? 3 , 解得m= . 2 ?3 ? m?

方法二:AB ? 2a ? 3b ? 2(1,0)+3(2,1)=(8,3),
??? ? BC =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),

??? ?

??? ??? ? ? ∵A、B、C三点共线,∴ AB BC ∥ ,

∴8m-3(2m+1)=0,

即2m-3=0,∴m= 3 .
2

【反思·感悟】1.利用已知列方程求解参数是解该类问题的关 键.
??? ??? ? ? 2.若 AB ? AC 则A、B、C三点共线,注意这一结论的应用. ,

【易错误区】忽视向量平行的充要条件致误 【典例】(2011·湖南高考)设向量a,b满足|a|= 2 5,b=(2,1), 且a与b的方向相反,则a的坐标为_______. 【解题指南】设a=λb(λ<0),利用|a|= 2 5 列出关于λ的方程

求解即可.

【规范解答】∵a与b方向相反,∴可设a=λb(λ<0),
∴a=λ(2,1)=(2λ,λ).由|a|= 5? 2 ? 2 5, 解得λ=-2,或 λ=2(舍),故a=(-4,-2). 答案:(-4,-2)

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以

得到以下误区警示和备考建议:
误 在解答本题时有两点容易出错: (1)误认为“a与b的方向相反 ?a∥b”致使设a=λb ? 出现增解(4,2) (2)知识性错误,向量共线的条件掌握不准而导致错


警 示

解或无法解题.

备 考 建

解决平面向量基本定理与坐标表示问题时还有以下 几点易错,在备考时要高度关注: (1)遗漏零向量,零向量与任一向量平行



(2)混淆向量共线与向量垂直的充要条件

1.(2012·广州模拟)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则 向量a+b平行于( (A)x轴 (B)第一、三象限的角平分线 (C)y轴 )

(D)第二、四象限的角平分线
【解析】选C.∵a+b=(0,1+x2),∴a+b平行于y轴.

2.(2012·梅州模拟)已知向量|a|=3,b=(1,2)且a⊥b,则a的坐 标是_______. 【解析】设向量a=(x,y),
? ? 6 5 6 5 x?? ? ?x ? ? x 2 ? y2 ? 3 ? ? 5 5 则? 或? ,∴ ? , ? ? x ? 2y ? 0 ?y ? 3 5 ? ?y ? ? 3 5 ? ? 5 ? 5 ?

∴a的坐标是( 6 5 , ? 3 5 )或 (? 6 5 , 3 5 ).
5 5 5 5

答案:6 5 , ? 3 5 )或 (? 6 5 , 3 5 ) (
5 5 5 5

3.(2011·北京高考)已知向量a=( 3 ,1),b=(0,-1),c=(k, 3 ), 若a-2b与c共线,则k=_______.

【解析】a-2b ?

?

3,1 ? 2 ? 0, ?1? ?

?

?

3,3 ,

?

又∵a-2b与c共线,

∴(a-2b)∥c, ? 3 ? 3 ? 3 ? k ? 0, 解得k=1.
答案:1



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