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立体几何基础题题库一B


立体几何基础题题库一 B(有详细答案)
101. ? A ? B ?C ? 是△ABC 在平面 α 上的射影,那么 ? A ? B ?C ? 和∠ABC 的大小关系是 ( (A) ? A ? B ?C ? <∠ABC (C) ? A ? B ?C ? ≥∠ABC 解析:D 一个直角,当有一条直角边平行于平面时,则射影角可以等于原角大小,但一般情况不等. 102. 已知: 如图, △ABC 中, ?ACB = 90?, CD?平面 ? , AD, BD 和平面 ? 所成的角分别为 30?和 45?, CD = h, 求: D 点到直线 AB 的距离。 解析: 先找出点 D 到直线 AB 的距离, 即过 D 点作 DE?AB, 从图形以及条件可知, 若把 DE 放在△ABD 1、 中不易求解。 2、由于 CD?平面 ? , 把 DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求 DE 在平面 ? 内的射影长。 (B) ? A ? B ?C ? >∠ABC (D) 不能确定 )

解: 连 AC, BC, 过 D 作 DE?AB, 连 CE, 则 DE 为 D 到直线 AB 的距离。 ∵CD? ? ∴AC, BC 分别是 AD, BD 在 ? 内的射影。 ∴?DAC, ?DBC 分别是 AD 和 BD 与平面 ? 所成的角 ∴?DAC = 30?, ?DBC = 45? 在 Rt△ACD 中, ∵CD = h, ?DAC = 30? ∴AC =
3h

在 Rt△BCD 中

∵CD = h, ?DBC = 45?

∴BC = h ∵CD? ? , DE?AB

∴CE?AB 在 Rt△ACB 中
AB ?
1 2

AC

2

? BC

2

? 2h

S ?

AC ? BC ?

1 2

AB· CE

∴CE

?

AC ? BC AB

?

3h · h 2h

?

3 2

h

∴在 Rt△DCE 中,
3 2 7 2

DE ?

DC

2

? CE

2

?

h

2

? (

h)

2

?

h

∴点 D 到直线 AB 的距离为

7 2

h



103. 已知 a、b、c 是平面 α 内相交于一点 O 的三条直线,而直线 l 和 α 相交,并且和 a、b、c 三条直线成 等角. 求证:l⊥α 证法一:分别在 a、b、c 上取点 A、B、C 并使 AO = BO = CO.设 l 经过 O,在 l 上取一点 P,在△POA、 △POB、△POC 中, ∵ PO 公用,AO = BO = CO,∠POA =∠POB=∠POC, ∴ △POA≌△POB≌△POC ∴ PA = PB = PC.取 AB 中点 D.连结 OD、PD,则 OD⊥AB,PD⊥AB, ∵ PD ? OD ? D ∴ AB⊥平面 POD ∵ PO ? 平面 POD. ∴ PO⊥AB. 同理可证 PO⊥BC ∵ AB ? ? , BC ? ? , AB ? BC ? B ∴ PO⊥α,即 l⊥α 若 l 不经过 O 时,可经过 O 作 l ? ∥l.用上述方法证明 l ? ⊥α, ∴ l⊥α.

证法二:采用反证法 假设 l 不和 α 垂直,则 l 和 α 斜交于 O. 同证法一,得到 PA = PB = PC. 过 P 作 P O ? ? ? 于 O ? ,则 A O ? ? B O ? ? C O ? ,O 是△ABC 的外心.因为 O 也是△ABC 的外心,这样,△ ABC 有两个外心,这是不可能的. ∴ 假设 l 不和 α 垂直是不成立的. ∴ l⊥α 若 l 不经过 O 点时,过 O 作 l ? ∥l,用上述同样的方法可证 l ? ⊥α, ∴ l⊥α 评述: (1)证明线面垂直时,一般都采用直接证法(如证法一) ,有时也采用反证法(如证法二)或同一 法. 104. P 是△ABC 所在平面外一点,O 是点 P 在平面 α 上的射影. (1)若 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (2)若点 P 到△ABC 的三边的距离相等,则 O 是△ABC_________心. (3)若 PA 、PB、PC 两两垂直,则 O 是△ABC_________心. (4)若△ABC 是直角三角形,且 PA = PB = PC 则 O 是△ABC 的____________心. (5)若△ABC 是等腰三角形,且 PA = PB = PC,则 O 是△ABC 的____________心. (6)若 PA、PB、PC 与平面 ABC 所成的角相等,则 O 是△ABC 的________心; 解析: (1)外心.∵ PA=PB=PC,∴ OA=OB=OC,∴ O 是△ABC 的外心. (2)内心(或旁心) .作 OD⊥AB 于 D,OE⊥BC 于 E,OF⊥AC 于 F,连结 PD、PE、PF.∵ PO⊥ 平面 ABC,∴ OD、OE、OF 分别为 PD、PE、PF 在平面 ABC 内的射影,由三垂线定理可知,PD⊥AB, PE⊥BC,PF⊥AC.由已知 PD=PE=PF,得 OD=OE=OF,∴ O 是△ABC 的内心. (如图答 9-23) (3)垂心. (4)外心. (5)外心 (6)外心.PA 与平面 ABC 所成的角为∠PAO,在△PAO、△PBO、△PCO 中,PO 是公共边,∠POA=∠ POB=∠POC=90°,∠PAO=∠PBO=∠PCO,∴ △PAO≌△PBO≌△PCO,∴ OA=OB=OC,∴ O 为 △ABC 的外心.

(此外心又在等腰三角形的底边高线上) .

105. 将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折起来,使点 C 的新位置 C ? 在面 ABC 上的射影 E 恰在 AB 上. 求证: A C ? ? B C ? 分析:欲证 A C ? ? B C ? ,只须证 B C ? 与 A C ? 所在平面 A C ?D 垂直;而要证 B C ? ⊥平面 A C ?D ,只须证 B C ? ⊥ C ?D 且 B C ? ⊥AD.因此,如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了. 证明:由题意, B C ? ⊥ C ?D ,又斜线 B C ? 在平面 ABCD 上的射影是 BA, ∵ BA⊥AD,由三垂线定理,得 C ?B ? AD , C ?D ? DA ? D . ∴ B C ? ⊥平面 C ?AD ,而 C ?A ? 平面 C ?AD ∴ BC ? ⊥ AC ? 106. 已知异面直线 l1 和 l2,l1⊥l2,MN 是 l1 和 l2 的公垂线,MN = 4,A∈l1,B∈l2,AM = BN = 2,O 是 MN 中点.① 求 l1 与 OB 的成角.②求 A 点到 OB 距离. 分析:本题若将条件放入立方体的“原型”中,抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直” 的关键性条件,问题就显得简单明了. 解析: (1)如图,画两个相连的正方体,将题目条件一一标 OB 在底面上射影 NB⊥CD,由三垂线定理,OB⊥CD,又 ∴ OB⊥MA 即 OB 与 l1 成 90° (2)连结 BO 并延长交上底面于 E 点. ME = BN, ∥ ∴ ME = 2,又 ON = 2 ∴ OB ? OE ? 2 2 . 作 AQ⊥BE,连结 MQ. 在图中. CD∥MA,

对于平面 EMO 而言,AM、AQ、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影,由三垂线逆定理得 MQ⊥ EO. 在 Rt△MEO 中, MQ ?
ME ? MO EO ? 2?2 2 2 ?

2



评述:又在 Rt△AMQ 中, AQ ?

AM

2

? MQ

2

?

4? 2 ?

6

,本题通过补形法使较困难的问题变得明显 的关键条

易解;求点到直线的距离,仍然是利用直线与平面垂直 件,抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的. 107. 已知各棱长均为 a 的正四面体 ABCD,E 是 AD 边 结 CE.求 CE 与底面 BCD 所成角的正弦值. 解析:作 AH⊥底面 BCD,垂足 H 是正△BCD 中心, 连 DH 延长交 BC 于 F,则平面 AHD⊥平面 BCD, 作 EO⊥HD 于 O,连结 EC, 则∠ECO 是 EC 与底面 BCD 所成的角 则 EO⊥底面 BCD.
HD ? 2 3 DF ? 2 3 ? 3 2 a ? 3 3
2

的中点, 连

a

AH ?

AD

2

? HD

2

?

a

2

?

a

?

6 3

a

3

EO ?

1 2

AH ?

1 2

?

6 3

a ?

6 6

a

, CE ?

3 2

a

6

∴ sin ? ECO ?

EO EC

a ? 3 2 a

?

6

2 3

108. 已知四面体 S-ABC 中,SA⊥底面 ABC,△ABC 是锐角三角形,H 是点 A 在面 SBC 上的射影.求证: H 不可能是△SBC 的垂心. 分析:本题因不易直接证明,故采用反证法. 证明:假设 H 是△SBC 的垂心,连结 BH,并延长交 SC 于 D 点,则 BH⊥SC ∵ AH⊥平面 SBC,
S

∴ BH 是 AB 在平面 SBC 内的射影 ∴ SC⊥AB(三垂线定理)
A

D

H C

B

又∵ SA⊥底面 ABC,AC 是 SC 在面内的射影 ∴ AB⊥AC(三垂线定理的逆定理) ∴ △ABC 是 Rt△与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾,于是假设不成立. 故 H 不可能是△SBC 的垂心. 109. 已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC =2.求点B到平面EFG的距离.

解析:如图,连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、F分 别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点. BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与题设矛盾. 由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距

离. ∵ BD⊥AC, ∴ EF⊥HC. ∵ GC⊥平面ABCD, ∴ EF⊥GC, ∴ EF⊥平面HCG. ∴ 平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

——4分

——6分

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的长就是点B到平面 EFG的距离. ——8分 ∵ 正方形ABCD的边长为4,GC=2, ∴ AC=4 2 ,HO= 2 ,HC=3 2 . ∴ 在Rt△HCG中,HG=

?3 2 ?

2

? 2

2

?

22 .

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的,故Rt△HKO∽△HCG.

∴ OK=

HO ? GC HG

?

2?2 22

?

2 11 11



即点B到平面EFG的距离为

2 11 11



——10分

注:未证明“BD 不在平面 EFG 上”不扣分. 110. 已知:AB 与 CD 为异面直线,AC=BC,AD=BD. 求证:AB⊥CD. 说明: (1)应用判定定理,掌握线线垂直的一般思路. (2)思路:欲证线线垂直,只需证线面垂直,再证线线垂直,而由已知构造线线垂直是关键. (3)教学方法,引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形,找到证明方法. 证明:如图,取 AB 中点 E,连结 CE、DE ∵AC=BC,E 为 AB 中点. ∴CE⊥AB 同理 DE⊥AB,又 CE∩DE=E,

且 CE ? 平面 CDE,DE ? 平面 CDE. ∴AB⊥平面 CDE 又 CD ? 平面 CDE ∴AB⊥CD. 111. 两个相交平面?、??都垂直于第三个平面??,那么它们的交线 a 一定和第三个平面垂直. 证明:在??内取一点 P,过 P 作 PA 垂直??与?? 作 PB 垂直??与??的交线. ∵ ?⊥???且?⊥? ∴ PA⊥?且 PB⊥? ∴ PA⊥a 且 PB⊥a ∴ a⊥? 的交线;过 P

112. 在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,Q 是 PC 中点.

AC,BD 交于 O 点. (Ⅰ)求二面角 Q-BD-C 的大小: (Ⅱ)求二面角 B-QD-C 的大小. 解析: (Ⅰ)解:连 QO,则 QO∥PA 且 QO= ∵ PA⊥面 ABCD ∴ QO⊥面 ABCD 面 QBD 过 QO, ∴ 面 QBD⊥面 ABCD 故二面角 Q-BD-C 等于 90°. (Ⅱ)解:过 O 作 OH⊥QD,垂足为 H,连 CH.
Q

1 2

PA



1 2

AB

∵ 面 QBD⊥面 BCD,
B

H D

又∵ CO⊥BD CO⊥面 QBD CH 在面 QBD 内的射影是 OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC 是二面角的平面角. 设正方形 ABCD 边长 2, 则 OQ=1,OD= 2 ,QD= 3 . ∵ OH·QD=OQ·OD
2 3

O C

∴ OH=



又 OC= 2
OC OH
2 3

在 Rt△COH 中:tan∠OHC=

= 2 ·

= 3

∴ ∠OHC=60°

故二面角 B-QD-C 等于 60°. 113. 如图在Δ ABC 中, AD⊥BC, ED=2AE, 过 E 作 FG∥BC, 且将Δ AFG 沿 FG 折起, 使∠A'ED=60°, 求证:A'E⊥平面 A'BC

解析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关 系。 解: ∵FG∥BC,AD⊥BC ∴A'E⊥FG ∴A'E⊥BC 设 A'E=a,则 ED=2a 由余弦定理得: A'D =A'E +ED -2?A'E?EDcos60° =3a
2 2 2 2 2 2

A' G A E F

C D

B

∴ED =A'D +A'E ∴A'D⊥A'E

2

∴A'E⊥平面 A'BC 114. α、β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m⊥n,②α⊥β, ③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并 证明它. 解析:m⊥α,n⊥β,α⊥β ? m⊥n(或 m⊥n,m⊥α,n⊥β ? α⊥β) 证明如下:过不在 α、β 内的任一点 P,作 PM∥m,PN∥n 过 PM、PN 作平面 r 交 α 于 MQ,交 β 于 NQ.
m ?? ? ? ? PM ? ? ? PM ? MQ , PM // m ?

同理 PN⊥NQ. 因此∠MPN+∠MQN = 180°, 故∠MQN = 90° ? ∠MPN = 90° 即 α⊥β ? m⊥n. 115. 已知: ? ? ? ? a ,α⊥γ ,β⊥γ ,b∥α,b∥β.

求证:a⊥γ 且 b⊥γ .

解析:在 a 上任取一点 P,过 P 作 PQ⊥r. ∵ β⊥r, ∵ α⊥r, ∴ PQ ? ? , ∴ PQ ? ? ,

∴ PQ 与 a 重合,故 a⊥r. 过 b 和点 P 作平面 S, 则 S 和 α 交于 PQ1,S 和 β 交于 PQ2, ∵ b∥α,b∥β ∴ b∥PQ1,且 b∥PQ2. 于是 PQ1 和 PQ2 与 a 重合, 故 b∥a, 而 a⊥r, ∴ b⊥r. 求点 P 到 CD

116. 已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,且 AB=3,BC=4,PA=3, 和 BD 的距离. 解析:∵ PA⊥平面 ABCD,AD⊥CD,且 CD ? 平面 ABCD. ∴ PD⊥CD(三垂线定理) .在 Rt△PAD 中,PD= PA =5.
2

? AD

2

= 3 ?4
2

2

又作 PH⊥BD 于 H,连结 AH,由三垂线定理的逆定理, 有 AH⊥BD.这里,PH 为点 P 到 BD 的距离. 在 Rt△ABD 中,AH=
AB ? AD BD



12 5
2

在 Rt△PAH 中,PH= PA

2

? AH

2



? 12 ? 3 ?? ? ? 5 ?
2



369 5

117. 点 P 在平面 ABC 的射影为 O,且 PA、PB、PC 两两垂直,那么 O 是△ABC 的( (A) 内心 (C) 垂心 (B) 外心 (D) 重心

)

解析:由于 PC⊥PA,PC⊥PB,所以 PC⊥平面 PAB,

∴ PC⊥AB. 又 P 在平面 ABC 的射影为 O,连 CO,则 CO 是 PC 在平面 ABC 三垂线定理的逆定理,得:CO⊥AB, 同理可证 AO⊥BC,O 是△ABC 的垂心,答案选 C. 118. 如图 02,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是棱 AA1、BB1、BC 上的点,PQ∥AB,C1Q ⊥PR,求证:∠D1QR=90°. 证明:∵ PQ∥AB,AB⊥平面 BC1, ∴ PQ⊥平面 BC1,QR 是 PR 在平面 BC1 的射影. 根据三垂线定理的逆定理,由 C1Q⊥PR 得 C1Q⊥QR. 又因 D1C1⊥平面 BC1,则 C1Q 是 D1Q 在平面 B1C 的射影,根据三垂线定理,由 C1Q⊥QR 得 QR⊥D1Q. ∴ ∠D1QR=90° 119. 在空间四边形 ABCD 中, 已知 AC?BD, AD?BC, 求证: AB?CD。 解析: 1、 条件 AC?BD, AD?BC, 可以看作斜线 AD, AC 与平面 BCD 内的直线的位置关系, 从而联想到用 三垂线定理或其逆定理证明命题。 2、如何找斜线在平面内的射影, 显然是过 A 点作直线垂直于平面 BCD, 这样斜线与直线的位置关系, 通过射影与直线的位置关系判定。 证明: 过 A 点作 AO 垂直于平面 BCD 于 O 的射影,根据

连 BO, CO, DO ∵AO?平面 BCD, AC?BD ∴CO?BD

∵AO?平面 BCD, AD?BC

∴DO?BC ∴O 为△BCD 的垂心 ∴BO?CD

∴AB?CD 120. 如图, 在空间四边形 SABC 中, SA?平面 ABC, ?ABC = 90?, AN?SB 于 N, AM?SC 于 M。 求证: ①AN?BC; ②SC?平面 ANM 解析: ①要证 AN?BC, 转证, BC?平面 SAB。 ②要证 SC?平面 ANM, 转证, SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线, 即证 SC?AM, SC?AN。 要证 SC?AN, 转证 AN?平面 SBC, 就可以了。 证明: ①∵SA?平面 ABC ∴SA?BC

又∵BC?AB, 且 AB ? SA = A

∴BC?平面 SAB ∵AN ? 平面 SAB ∴AN?BC ②∵AN?BC, AN?SB, 且 SB ? BC = B ∴AN?平面 SBC ∵SCC 平面 SBC ∴AN?SC 又∵AM?SC, 且 AM ? AN = A ∴SC?平面 ANM 121. 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD 明直线与 可

∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a BC= 2 a
2 2

∴PD= 在Δ ABC 中 AD=
AB
2

a

? BD

2

=

2 2

a

? 2 ? ? 2 ? a? ? ? a? ∵AD +PD = ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2

2

2

=a =AP

2

2

∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 122. 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于这个平面。 已知:β⊥α ,γ ⊥α ,β ? γ =a

求证:a⊥α 解析:利用线面垂直的性质定理 证明:设α ? β =AB,α ? γ =CD 在平面β 内作 L1⊥AB, 在平面γ 内作 L1⊥CD, ∵α ⊥β ∴L1⊥α 同理 L2⊥α ∴L1//L2 ∴L1//β ∴L1//a ∴a⊥α 113. 已知 SA、SB、SC 是共点于 S 的且不共面的三条射线,∠ ∠ASC=45°,∠BSC=60°,求证:平面 BSA⊥平面 SAC 解析:先作二面角 B-SA-C 的平面角,根据给定的条件,在棱 S 点 P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直 证明:在 SA 上取一点 P 过 P 作 PR⊥SA 交 SC 于 R 过 P 作 PQ⊥SA 交 SB 于 Q ∴∠QPR 为二面角 B-SA-C 的平面角设 PS=a ∵∠PSQ=45°,∠SPQ=90° ∴PQ=a,SQ= 2 a 同理 PR= a,SR=
2 a

? a ? ? L ? L2 1 D ? ? A C B

BSA=

上取一

∵∠PSQ=60°,SR=SQ= 2 a ∴Δ RSQ 为正三角形则 RQ= 2 a ∵PR +PQ =2a =QR ∴∠QPQ=90° ∴二面角 B-SA-C 为 90°
2 2 2 2

∴平面 BSA⊥平面 SAC 114. 设 S 为 ? ABC 平面外的一点,SA=SB=SC, ? ASB ? 2? , ? BSC ? 2 ? , ? ASC ? 2 ? ,若
sin
2

? ? sin

2

? ? sin ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。
2

解析: (1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明:设 D 为 AB 的中点
? SA ? SB ? ?AS D ? ?

sin ? ?

AD SA

?

AB 2 SA

同理 sin ? ?

BC 2 SB

, sin ? ?

AC 2 SC

? SA ? SB ? SC 且 sin
? AB
2

2

? ? sin

2

? ? sin ?
2

? BC

2

? AC

2

即 ? ABC 为 Rt ? ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ? ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。
? SO ? 平面 ABC ? SO ? 平面 SAC

? 平面 ASC ? 平面 ABC

115. 两个正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面互相垂直,求异面直线 AC 和 BF 所成角的大小. 解析:作 BP∥AC 交 DC 延长线于 P,则∠FBP(或补角)就是异面直线 BF 和 AC 所成的角,设正方形边长 为 a, PF ?
6 a 在△BPF 中,由余弦定理得 cos ? FBP ?
1 2

,异面直线 AC 和 BF 成 60°角.

116. 二面角α -a-β 的值为θ (0° <180° <θ ),直线 l⊥α ,判断直线 l 与平面β 的位置关系,并证明你的 结论. 解析: 分两种情况,θ =90° ,θ ≠90° .

当θ =90° 时,l∥β 或 l ? β ,这个结论可用反证法证明; 当θ ≠90° 时,l 必与β 相交,也可用反证法证明. 117. 已知平面α ⊥平面β ,交线为 AB,C∈ ? ,D∈ ? ,

AB ? AC ? BC ? 4 3 ,E 为 BC 的中点,AC⊥BD,BD=8.

①求证:BD⊥平面 ? ; ②求证:平面 AED⊥平面 BCD; ③求二面角 B-AC-D 的正切值. 解析:①AB 是 AC 在平面β 上的射影,由 AC⊥BD 得 AB⊥BD.∵ α ⊥β .∴ DB⊥α . ②由 AB=AC,且 E 是 BC 中点,得 AE⊥BC,又 AE⊥DB,故 AE⊥平面 BCD,因此可证得平面 AED⊥平 面 BCD. ③设 F 是 AC 中点,连 BF,DF.由于△ABC 是正三角形,故 BF⊥AC.又由 DB⊥平面α ,则 DF⊥AC, ∠BFD 是二面角 B-AC-D 的平面角, 在 Rt△BFD 中, tg ? BFD ?
BD BF ? 4 3



118. 如图,△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC= ∠DBC=120° ,求 (1) A、D 连线和直线 BC 所成角的大小; (2) 二面角 A-BD-C 的大小
D B C A

解析: 在平面 ADC 内作 AH⊥BC, 是垂足, HD. H 连 因为平面 ABC⊥平面 BDC. 所以 AH⊥平面 BDC. HD 是 AD 在平面 BDC 的射影. 依题设条件可证得 HD⊥BC, 由三垂线定理得 AD⊥BC, 即异面直线 AD 和 BC 形成的角为 90°. 在平面 BDC 内作 HR⊥BD,R 是垂足,连 AR.HR 是 AR 在平面 BDC 的射影,∴ AR⊥BD,∠ARH 是二 面角 A-BD-C 的平面角的补角,设 AB=a,可得,
3 2
AH HR

AH ?

a , HR ?

3 2

BH ?

3 4

a,

∴ tg ? ARH ?

? 2.

∴ 二面角 A-BD-C 的大小为π -arctg2. 119. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1,CC1 的中点,求异面直线 AE 和 BF 所成 角的大小. 解析:取 DD1 的中点 G,可证四边形 ABFG 是平行四边形,得出 BF∥AG, 则∠GAE 是异面直线 AE 与 BF 所成的角.连 GF,设正方体棱长为 a,

GE ? B 1 D 1 ?

2 a , AE ? AG ?

5 2

a.
A1

D1

C1

G

B1 F E C

在△AEG 中,由余弦定理得
D

5 cos ? GAE ? AG
2

? AE

2

? GE

2

?

5 4 5 ?

?2 ? 5 2

2 ? AG ? AE

?

4 2?

1 5

A

B

2

∴ ? GAE ? arccos

1 5



120. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ABD 折起,使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求 二面角 A-BD-C 的大小的余弦值.

在 Rt△AA′O 中,∠AA′O=90°,

121.

已知:如图 12,P 是正方形 ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a.

求:平面 APB 与平面 CPD 相交所成较大的二面角的余弦值.

分析:为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线. 解:因为 AB∥CD,CD 所以 AB∥平面 CPD. 又 P∈平面 APB,且 P∈平面 CPD, 平面 CPD,AB 平面 CPD.

因此 平面 APB∩平面 CPD=l,且 P∈l. 所以 二面角 B-l-C 就是平面 APB 和平面 CPD 相交所得到的一个二面角. 因为 AB∥平面 CPD,AB 所以 AB∥l. 过 P 作 PE⊥AB,PE⊥CD. 因为 l∥AB∥CD, 因此 PE⊥l,PF⊥l, 所以 ∠EPF 是二面角 B-l-C 的平面角. 因为 PE 是正三角形 APB 的一条高线,且 AB=a, 平面 APB,平面 CPD∩平面 APB=l,

因为 E,F 分别是 AB,CD 的中点, 所以 EF=BC=a. 在△EFP 中,

122. 在四面体 ABCD 中,AB=AD=BD=2,BC=DC=4,二面角 A-BD-C 的大小为 60°,求 AC 的长. 解析:作出二面角 A-BD-C 的平面角

在棱 BD 上选取恰当的点

AB=AD,BC=DC 解:取 BD 中点 E,连结 AE,EC ∵ AB=AD,BC=DC ∴ AE⊥BD,EC⊥BD ∴ ∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 ∴ ∠AEC=60° ∵ AD=2,DC=4 ∴ AE= 3 ,EC= 15 ∴ 据余弦定理得:AC= 18 ? 3 5 . 123. 河堤斜面与水平面所成角为 60°,堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线 AB 的夹角为 30°,沿 着这条直道从堤角向上行走到 10 米时,人升高了多少(精确到 0.1 米)? 解析: 已知 所求

河堤斜面与水平面所成角为 60°

E 到地面的距离

利用 E 或 G 构造棱上一点 F

以 EG 为边构造三角形

解:取 CD 上一点 E,设 CE=10 m,过点 E 作直线 AB 所在的水平面的垂线 EG,垂足为 G,则线段 EG 的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作 EF⊥AB.垂足为 F,连接 FG,由三垂线定理的逆定理,知 FG⊥AB.因此,∠EFG 就

是河堤斜面与水平面 ABG 所成的二面角的平面角,∠EFG=60°. 由此得: EG=EFsin60° =CE sin30°sin60°
1 2

=10×

×

3 2

≈4.3(m)

答:沿着直道向上行走到 10 米时,人升高了约 4.3 米. 124. 二面角 α—a—β 是 120°的二面角,P 是该角内的一点.P 到 α、β 的距离分别为 a,b.求:P 到棱 a 的距离. 解析:设 PA⊥α 于 A,PB⊥β 于 B.过 PA 与 PB 作平面 r 与 α 交于 AO,与 β 交于 OB, ∵ PA⊥α,PB⊥β,∴ a⊥PA,且 a⊥PB ∴ a⊥面 r,∴ a⊥PO,PO 的长为 P 到棱 a 的距离. 且∠AOB 是二面角之平面角,∠AOB =120° ∴ ∠APB = 60°,PA = a,PB = b.
AB ? a
2

?b

2

? 2 ab cos 60 ? ?

a

2

? ab ? b

2



AB sin ? APB

? PO ,

∴ PO ?

2 3 3

?

a

2

? ab ? b

2



125. 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 AB、CC1 的中点,则异面直线 A1C 与 EF 所成角的 余弦值是 ( )
3 3 2 3
1 3 1 6

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:选哪一点,如何作平行线是解决本题的关键,显然在 EF 作 AC 的平行线要简单易行,观察图形,看出 F 与 A1C 确定的 恰是正方体的对角面,在这个面内,只要找出 A1C1 的中点 O, 这条平行线就作出了,这样,∠EFO 即为异面直线 A1C 与 EF 角.容易算出这个角的余弦值是
2 3

上选一点 平面 A1CC1 连结 OF, 所成的

,答案选 B. 面 N 的距

126.在 60°的二面角 M-a-N 内有一点 P,P 到平面 M、平

离分别为 1 和 2,求 P 点到直线 a 的距离. 解析:本题涉及点到平面的距离,点到直线的距离,二面角的平面角等概念,图中都没有表示,按怎样的 顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键.可以有不同的作法,下面仅以一个作法为例,说明这些概念 的特点,分别作 PA⊥M,M 是垂足,PB⊥N,N 是垂足,先作了两条垂线,找出 P 点到两个平面的距离, 其余概念要通过推理得出:于是 PA、PB 确定平面α ,设α ∩M=AC,α ∩N=BC,c∈a.由于 PA⊥M,则 PA⊥a,同理 PB⊥a,因此 a⊥平面α ,得 a⊥PC.这样,∠ACB 是二面角的平面角,PC 是 P 点到直线 a 的距离,下面只要在四边形 ACBP 内,利用平面几何的知识在△PAB 中求出 AB,再在△ABC 中利用正弦 定理求外接圆直径 2R=
2 21 3

,即为 P 点到直线 a 的距离,为

2

21 3



127. 已知空间四边形 ABCD 中,AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F 分别为 AB、CD 的中点, (1)求证:EF 为 AB 和 CD 的公垂线 (2)求异面直线 AB 和 CD 的距离 解析:构造等腰三角形证明 EF 与 AB、CD 垂直,然后在等腰三角形中求 EF 解;①连接 BD 和 AC,AF 和 BF,DE 和 CE 设四边形的边长为 a ∵ AD = CD = AC = a ∴ △ABC 为正三角形 ∵ DF = FC
3 2 a

∴ AF ? DC 且 AF =

同理 BF =
? BF ? FA

3 2

A

即△ AFB 为等腰三角形 在△ AFB 中, ∵ AE = BE ∴ FE ? AB 同理在 △ DEC 中 EF ? DC ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的公垂线

②在 △ AFB 中 ∵ EF ? AB 且 AF ?
3 a 1 2 1 2

a , AE ?

AB ?

a

∴ EF ?

AF

2

? AE

2

?

2 2

a

∵ EF ? DC , EF ? AB ∴ EF 为异面直线 AB 和 CD 的距离
2 2 a

∴ AB 和 CD 的距离为

128. 正方形 ABCD 中,以对角线 BD 为折线,把Δ ABD 折起,使二面角 Aˊ-BD-C 为 60°,求二面角 B-Aˊ C-D 的余弦值 解析:要求二面角 B-AˊC-D 的余弦值,先作出二面角的 住图形中 AˊB=BC,AˊD=DC 的关系,采用定义法作出平 (E 为 AC 的中点)然后利用余弦定理求解 解:连 BD、AC 交于 O 点 则 AˊO⊥BD,CO⊥BD ∴∠AˊOC 为二面角 Aˊ-BD-C 的平面角 ∴∠AˊOC=60° 设正方形 ABCD 的边长为 a
2 2

平面角,抓 面角∠BED

∵A′O=OC=1/2AC= ∠A′OC=60°

a

∴Δ A′OC 为正三角形则 A′C=

2 2

a

取 A′C 的中点,连 DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理 DE⊥A′C ∴∠DEB 为二面角 B-A′C-D 的平面角在Δ BA′C 中
2 4 14 4

BE= BA

2

? AE

2

?

a

2

?(

a)

2

?

a

同理 DE=

14 4

a

在Δ BED 中,BD= 2 a
BE
2

∴ cos∠BED=

? DE

2

? BD

2

2 BE ? DE

=

? ? ? ?

14 4

? ? a? ? ? ? ? ? ? 2? 14 4

2

14 4 a?

? a? ? ? ? 14 4 a

2

?

2a

?

2

=--

1 7 1 7

∴二面角 B-A′C-D 的余弦值为-

129. 如图平面 SAC⊥平面 ACB, SAC 是边长为 4 的等边三角形, Δ 直角三角形,∠ACB=90°,BC= 4 2 ,求二面角 S-AB-C 的余弦 解析:先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直,作 面 ACB,然后利用三垂线定理作出二面角的平面角 解:过 S 点作 SD⊥AC 于 D,过 D 作 DM⊥AB 于 M,连 SM ∵平面 SAC⊥平面 ACB ∴SD⊥平面 ACB ∴SM⊥AB 又∵DM⊥AB

Δ ACB 为 值。 SD⊥平

∴∠DMS 为二面角 S-AB-C 的平面角
3 2

在Δ SAC 中 SD=4×

? 2 3

在Δ ACB 中过 C 作 CH⊥AB 于 H ∵AC=4,BC= 4 2 ∴AB= 4 3 ∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC
AC ? BC AB 4?4 4 3 2 4 2 3

∴CH=

?

?

∵DM∥CH 且 AD=DC
2 2 3

∴DM=1/2CH=

∵SD⊥平面 ACB ∴SD⊥DM 在 RTΔ SDM 中 SM= SD
2

DM?平面 ACB

? DM

2

=

?2 3 ?
11 3

2

?2 2 ?? ? 3 ?

? ? ? ?

2

=2

∴cos∠DMS=

DM SM

2 2

=
2

3 11 3

=

22 11

130. 已知等腰?ABC 中,AC = BC = 2, ? ACB = 120?,?ABC 所在平面外的一点 P 到三角形三顶点的距离 都等于 4,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角。 解析:解:设点 P 在底面上的射影为 O,连 OB、OC, 则 OC 是 PC 在平面 ABC 内的射影,

∴ ? PCO 是 PC 与面 ABC 所成的角。

∵ PA = PB = PC, ∴点 P 在底面的射影是?ABC 的外心, 注意到?ABC 为钝角三角形, ∴点 O 在?ABC 的外部, ∵AC = BC,O 是?ABC 的外心, ∴OC⊥AB 在?OBC 中,OC = OB, ? OCB = 60?, ∴?OBC 为等边三角形,∴OC = 2 在 Rt?POC 中, c o s ? P C O ? ∴ ? PCO = 60? 。 131. 如图在二面角α - l-β 中,A、B∈α ,C、D∈l,ABCD β ,PA⊥α ,且 PA=AD,MN 依次是 AB、PC 的中点 ⑴ 求二面角α - l-β 的大小 ⑵ 求证明:MN⊥AB ⑶ 求异面直线 PA 与 MN 所成角的大小 为矩形,P∈
OC PC ? 1 2

解析:⑴ 用垂线法作二面角的平面角 ⑵ 只要证明 AB 垂直于过 MN 的一个平面即可 ⑶ 过点 A 作 MN 的平行线,转化为平面角求解 解: ⑴ 连 PD ∵PA⊥α ,AD⊥l ∴PD⊥l ∴∠PDA 为二面角α - l-β 的平面角 在 RTΔ PAD 中 ∵PA=PD ∴∠PDA=45° ∴二面角α - l-β 为 45° ⑵ 设 E 是 DC 的中点,连 ME、NE ∵M、N、E 分别为 AB、PC、D 的中点 ∴ME∥AD,NE∥PD ∴ME⊥l,NE⊥l ∴l⊥平面 MEN ∵AB∥l ∴AB⊥平面 MEN ∵MN?平面 MNE ∴MN?AB ⑶ 设 Q 是 DP 听中点,连 NQ、AQ 则 NQ∥DC,且 NQ=1/2DC ∵AM∥DC,且 AM=1/2AB=1/2DC ∴QN∥AM,QN=AM ∴QNMQ 为平行四边形

∴AQ∥MN ∴∠PAQ 为 PA 与 MN 所成的角 ∵Δ PAQ 为等腰直角三角形,AQ 为斜边上的中线 ∴∠PAQ=45° 即 PA 与 MN 所成角的大小为 45° 132. 如图: △ABC 的?ABC= 90?, V 是平面 ABC 外的一点, VA = VB = VC = AC, 求 VB 与平面 ABC 所成的角。 解析:1、要求 VB 与平面 ABC 所成的角, 应作出它们所成的角。 2、要作出 VB 与平面 ABC 所成的角, 只要找出 VB 在平 面 ABC 内的射影就可以了。 3、 作斜线在平面内的射影, 只要在斜线上找一点作直线 垂直于平面, 即找此点在平面内的射影, 显然找 V 点, V 点在平面内的射影在何处?由条件可知, 射影为△ABC 的外心。 解: 作 VO?平面 ABC 于 O, 则 OB 为 VB 在平面 ABC 内的射影, ∴?VBO 为 VB 与平面 ABC 所成的角。 连 OA、OB、OC, 则 OA、OB、OC 分别为斜线段 VA、VB、VC 在平面 ABC 内的射影。 ∵VA = VB = VC ∴OA = OB = OC ∴O 为△ABC 为外心 ∵△ABC 为直角三角形, 且 AC 为斜边 ∴O 为 AC 的中点

设 VA = a, 则 VA = VC = AC = a,

VO ?

3 2

a

3

在 Rt△VOB 中, ∴?VBO = 60?

s in ? V B O ?

VO VB

a ?

?

2 a

3 2

∴VB 与平面 ABC 所成的角为 60?。 133. 已知:平面α ∩平面β =直线 a. α ,β 同垂直于平面γ ,又同平行于直线 b. 求证:(Ⅰ)a⊥γ ; (Ⅱ)b⊥γ .

证明: 证法一(Ⅰ)设α ∩γ =AB,β ∩γ =AC.在γ 内任取一点 P 并于γ 内作直线 PM⊥AB,PN⊥ AC. ——1 分 ∵ γ ⊥α , ∴ PM⊥α . 而 a? α ,

∴ PM⊥a. 同理 PN⊥a. 又 PM ? γ ,PN ? γ , ∴ a⊥γ . ——6 分 ——7 分 ——4 分

(Ⅱ)于 a 上任取点 Q,过 b 与 Q 作一平面交α 于直线 a1,交β 于直线 a2. ∵ b∥α ,∴ b∥a1. 同理 b∥a2. ∵ a1,a2 同过 Q 且平行于 b, ∵ a1,a2 重合. 又 a1 ? α ,a2 ? β ,

——8 分

∴ a1,a2 都是α 、β 的交线,即都重合于 a. ∵ b∥a1,∴ b∥a. 而 a⊥γ , ∴ b⊥γ . 注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分.

——10 分

——12 分

证法二(Ⅰ)在 a 上任取一点 P,过 P 作直线 a′⊥γ . ∵ α ⊥γ ,P∈α , ∴ a′ ? α . 同理 a′ ? β . 可见 a′是α ,β 的交线. 因而 a′重合于 a. 又 a′⊥γ , ——6 分 ——5 分 ——3 分

——1 分

∴ a⊥γ .

(Ⅱ)于α 内任取不在 a 上的一点,过 b 和该点作平面与α 交于直线 c.同法过 b 作平面与β 交于直线 d. ——7 分 ∵ b∥α ,b∥β . ∴ b∥c,b∥d. 又 c ? β ,d ? β ,可见 c 与 d 不重合.因而 c∥d. ——9 分 ——8 分

于是 c∥β . ∵ c∥β ,c ? α ,α ∩β =a, ∴ c∥a. ∵ b∥c,a∥c,b 与 a 不重合(b ? α ,a ? α ), ∴ b∥a. 而 a⊥γ , ∴ b⊥γ . 注:在第Ⅱ部分未证明 b∥a 而直接断定 b⊥γ 的,该部分不给分.

——10 分

——11 分

——12 分

134. 设 S 为 ? ABC 平面外的一点,SA=SB=SC, ? ASB ? 2? , ? BSC ? 2 ? , ? ASC ? 2 ? ,若
sin
2

? ? sin

2

? ? sin ? ,求证:平面 ASC ? 平面 ABC。
2

解析: (1)把角的关系转化为边的关系 (2)利用棱锥的性质(三棱锥的侧棱相等,则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心) 证明:设 D 为 AB 的中点
? SA ? SB ? ?AS D ? ?
sin ? ? AD SA ? AB 2 SA

同理 sin ? ?

BC 2 SB

, sin ? ?

AC 2 SC

? SA ? SB ? SC 且 sin

2

? ? sin

2

? ? sin ?
2

? AB

2

? BC

2

? AC

2

即 ? ABC 为 Rt ? ABC 且 S 在平面上的射影 O 为 ? ABC 的外心 则 O 在斜边 AC 的中点。
? SO ? 平面 ABC

? SO ? 平面 SAC

? 平面 ASC ? 平面 ABC

135. 已知如图,P ? 平面 ABC,PA=PB=PC,∠APB=∠APC=60°,∠BPC=90 °求证:平面 ABC⊥平面 PBC 解析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证 另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D,证明 AD 垂直平 PBC 即 证明: 取 BC 中点 D 连结 AD、PD ∵PA=PB;∠APB=60° ∴Δ PAB 为正三角形 同理Δ PAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔ BPC 中,PB=PC=a BC= 2 a
2 2

明直线与 可

∴PD= 在Δ ABC 中 AD=
AB
2

a

? BD

2

=

2 2

a

? 2 ? ? 2 ? a? ? ? a? ∵AD +PD = ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?
2 2

2

2

=a =AP

2

2

∴Δ APD 为直角三角形 即 AD⊥DP 又∵AD⊥BC ∴AD⊥平面 PBC ∴平面 ABC⊥平面 PBC 136. 如图,正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平 成 60°的二面角,则异面直线 AD 与 BF 所成角的余弦值 是 解析: . 面

? D AF 为 二 面 角 60 ,可 设 AD 长 为 a ,则 D F 长 为 a又 ? AB ? 平 面 C D F ? C D ? 平 面 C D F , C D ? D F ,? C F ? 根据余弦定理可得. 2a,又 在 ? BCF中, BC ? a, BF ? 2a

?

137. 如图,M、N、P 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个侧面 ABCD、CC1D1D、BCC1B1 的中心,则 A1M 与 NP 所成的角是( ) (A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90°

解析:D 如图所示

138. 相交成 90°的两条直线和一个平面所成的角分别是 30°和 45°,则这两条直线在该平面内的射影所 成的锐角是( )
? ? ? 3 ? ? 3 ? ?

(A) arccos ? ?

(B)

?
2

? arcsin

6 3

(C) ? ? arcsin

6 3

(D) arcsin

6 3

解析:分析:设直角顶点到平面的距离是 1,所求的角为 θ,则 cos ? ?

1

2

?

? 3?
2?

2

? 3

? 6?

2



139. 在三棱锥 P-ABC 中, ? APB= ? BPC= ? CPA=600, 求二面角 A-PB-C 的余弦 解析:在二面角的棱 PB 上任取一点 Q,在半平面 PBA PBC 上作 QM ? PB,QN ? PB,则由定义可知 ? MQN 即 平面角。 设 PM=a,则在 Rt ? PQM 和 Rt ? PQN 中可求得 QM=QN=
3 2

P Q N B A

值。 和半平面 为二面角的

M

a; C
?

又由 ? PQN ? ? PQM 得 PN=a,故在正 ? PMN 中 MN=a, 由余弦定理得 cos ? MQN=
1 3

在 ? MQN 中

,即二面角的余弦值为

1 3



A G A1 Q 面面垂直的性 C C1 直线 B1C 与平

B1

140. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? BAC=900,AB=BB1=1, 面 ABC 成 300 角,求二面角 B-B1C-A 的正弦值。
?

H

解析:可以知道,平面 ABC 与平面 BCC1B1 垂直,故可由 B N

A

质来寻找从一个半平面到另一个半平面的垂线。 解:由直三棱柱性质得平面 ABC ? 平面 BCC1B1,过 A 作 AN ? 平面 BCC1B1,垂足为 N,则 AN ? 平面 BCC1B1, (AN 即为我们要找的垂线)在平面 BCB1 内过 N 作 NQ ? 棱 B1C,垂足为 Q,连 QA,则 ? NQA 即为二面角的平面角。 ∵AB1 在平面 ABC 内的射影为 AB,CA ? AB,∴CA ? B1A,AB=BB1=1,得 AB1= 2 。∵直线 B1C 与 平面 ABC 成 300 角,∴ ? B1CB=300,B1C=2,Rt△B1AC 中,由勾股定理得 AC= 2 ,∴AQ=1。在 Rt△ BAC 中,AB=1,AC= 2 ,得 AN=
6 3 6 3 6 3



sin ? AQN= AN

AQ

=

。即二面角 B-B1C-A 的正弦值为



141. 已知菱形 ABCD 边长为 a,且其一条对角线 BD=a,沿对角线 BD 将 ? A B D 折起 与 ? B C D 所在平面 成直二面角,点 E、F 分别是 BC、CD 的中点。 (1)求 AC 与平面 AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角 A-EF-B 的正切值。 (1) 解析: :菱形 ABCD 的对角线 A C ? B D , 因 此 B D ? A O , B D ? O C ? B D ? 面 A O C ,中位线 EF//BD,可知 E F ? 面 AOC, E F ? 面 A E F ,故面 A E F ? 面 A O C ,这样 AC 在面 AEF 内的射 影就是 AG, ? C A G 就是 AC 与平面 AEF 的成角,解三角形 AOC 可得
AC ? 6 2 a, C G ? 3 4 3 10 10 a, AG ? 15 4 a 。

? c o s C A G? ?

(2)分析:由前一小问的分析可知 E F ? 平 面 A O C ,? E F ? A G , E F ? O G , 故 ? A G O
3 2 3 4

就是二面角 A-EF-B 的平面角,在 R t ? A O G 中, ? A O G ? 9 0 ? , A O ?

a ,OG ?

a 。

3 ? tg ? A G O ? AO OG ? 2 3 4

a ? 2 a

142. 如图,ABCD-A1B1C1D1 是正方体,E 是 CC1 的中点,求二面角 B-B1E-D 的余弦值。 解析: 图中二面角的二个半平面分别为△DEB1 所在的半平面和△BEB1 所在的半平面, 即正方体的右侧面, 它们的交线即二面角的棱 B1E。不难找到 DC 即为从其中的一个半平面出发,并且垂直于另一个半平面的 直线。 解: 由题意可得直线 DC ? 平面 BEB1, 且垂足为 C, C 作 CF ? B1E 于 F 过 (如图, 在 B1E 的延长线上) F , 连 DF,则由三垂线定理可得 ? DFC 即二面角的平面角。
B 1 C 1 ? CE B1 E 5 5

△B1C1E~△CFE,∴CF= DF= a ?
2

?

a;

B1 D1 A1 B D B1 C1 E

C1 E F F C C B

1 5

a

2

?

30 5

a.

5

a ? 30 5 a

∴cos ? DFC= 5

6 6

。 A

即二面角的平面角的余弦值为

6 6



143. 如图,在平面角为 600 的二面角 ? -l- ? 内有一点 P,P 到 ? 、 ? 分别为 PC=2cm,PD=3cm,则垂足的连 线 CD 等于多少?(2)P 到棱 l 的距离为多少? 解析: 对于本题若这么做: C 在平面 ? 内作棱 l 的垂线, 过 则 ? CED 即为二面角的平面角。这么作辅助线看似简单, ? CED 为二面角的平面角时会有一个很麻烦的问题,需 C 四点共面。这儿,可以通过作垂面的方法来作二面角的 解:∵PC、PD 是两条相交直线, ∴PC、PD 确定一个平面 ? ,设 ? 交棱 l 于 E,连 CE、DE。 ∵PC⊥ ? , ∴PC⊥l,
?

?

P

C

垂足为 E,连 DE, 实际上在证明 要证明 P、D、E、 平面角。 E l

D

又∵PD⊥ ? ,∴PD⊥l。 ∴l⊥平面 ? ,则 l⊥CE、DE,故 ? CED 即为二面角的平面角,即 ? CED=600。

∴ ? CPD=1200,△PCD 中,PD=3,PC=2,由余弦定理得 CD= 19 cm。由 PD⊥DE,PC⊥CE 可得 P、D、 E、C 四点共圆,且 PE 为直径,由正弦定理得 PE=2R=
CD sin ? CED

=

19 sin 60
0

=

2 3

57 cm。

说明:三垂线定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法,要引起重视。 144. 如图,梯形 ABCD 中,BA⊥AD,CD⊥AD,AB=2,CD=4,P 为平面 ABCD 外一点,平面 PAD⊥平面 ABCD, △PBC 是边长为 10 的正三角形,求平面 PAD 与面 PBC 所成的角. 解法一:如图,延长 DA、CB 交于 E,
AB CD



2 4



1 2

,∴AB 是△ECD 的中位线,CB=BE=10.又△PCB 为正

△,易证△PCE 为直角三角形,PE⊥PC.又平面 PDA⊥平面 ABCD,且 CD⊥交线 DA,∴CD⊥平面 PDE.PE 是 PC 在平面 PDE 内的射影,∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD 是 D-PE-C 的平面角.在 Rt△CDP 中, sin∠DPC=
4 10



2 5

,故二面角大小为 arcsin

2 5

.

解法二:利用 Scosθ =S′.如右图, 平面 PAD⊥平面 ABCD
?

CD⊥AD,BA⊥AD BA⊥平面 PAD
?

CD⊥平面 PAD △PAD 是△PBC 在平面 PDA 内的射影.设面 PDA 与面 PCB 所成的二面角为θ , S△PDA=S△PCB· 则 cosθ .Rt△PAB 中,PA=4 6 =AD;Rt△PDC 中,PD=2 21 . ∴△PAD 为等腰三角形且 S△PAD=
1 2

PD·AH=15 7 .

cosθ =

S ? PAD S ? PBC



15 25

7 3



21 5



θ =arccos=

21 5

. D1 C A1
1

145. 如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面为正方形,点 的射影 O 在 AB 上,已知侧棱 A1A 与底面 ABCD 成 450 角, 二面角 A1-AC-B 的平面角的正切值。 (答案: 2 ) D

B1 C P A O
1

A1 在底面 A1A=a。求

B

A A B B C

D

作 O E ? A C , 连 接 A1 E , 根 据 三 垂 线 定 理 E O ? A C , A1 E ? A C , ? ? A 1 E O 为 A 1 -A C -B 的 平 面 角 .

146. 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC, ? ABC=900,AB=a,AD=3a,sin ? ADC= PA=a,求二面角 P-CD-A 的大小。 (答案:arctg
5 3

5 5

,又 PA⊥平面 ABCD,



作 A E ? C D , 连 接 P E , 则 ? P E A 为 P -C D -A 的 平 面 角 , 又 ? sin ? A D C = 5 5 又 PA ? a,可 求 出 二 面 角 ? PEA的 正 切 值 来 . , 在 R T ? A D E 中 , sin ? A D C = AE AD ,可 求 AE.

147. 已知 Rt△ ABC 的两直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边上一 点,沿 CP 将此直角三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB=71/2 时,求二面角 P—AC—B 的大小。

作法一:∵A—CP—B 为直角二面角, ∴过 B 作 BD⊥CP 交 CP 的延长线于 D,则 BD⊥DM APC。 ∴过 D 作 DE ⊥AC,垂足为 E,连 BE。 ∴∠DEB 为二面角 A—CP—B 的平面角。 作法二:过 P 点作 PD′⊥PC 交 BC 于 D′,则 PD′⊥面 APC。 ∴过 D′作 D′E′⊥AC,垂足为 E′,边 PE′, ∴∠D′E′P 为二面角 P—AC—B 的平面角。

148. 矩形 ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线 BD 把△ ABD 折起, 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A′落在 BC 上,求二面角 A—BC-—C 的大小。

这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在 于搞清折叠前后“变”与“不变”。结果在平面图形中过 A 作 AE⊥BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E,则折叠 后 OA、OE 与 BD 的垂直关系不变。但 OA 与 OE 此时变成相交两线段并确定一平面,此平面必与棱 垂直。由特征Ⅱ可知,面 AOE 与面 ABD、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角,即为所求二面角的平 面角。另外,A 在面 BCD 上的射影必在 OE 所在的直线上,又题设射影落在 BC 上,所以 E 点就是 A′, 这样的定位给下面的定量提供了优质服务。事实上,AO=AB· AD/BD=3*4/5=12/5, OA′=OE=BO·tgc∠CBD, BO=AB2/BD=9/5, tg∠CBD, OA′=27/20。 Rt△ AA′O 中, 而 故 在 ∠AA′O=90° 所以 cos∠AOA′=A′O/AO=9/16,ty∠AOA′=arccos9/16 即所求的二面 arccos9/16。 149. 将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使得 BD ? a ,则三棱锥 D — ABC 的体积为 ( )
a
3

A. D

B.

a

3

C.

3 12

a

3

D.

2 12

a

3

6

12

解析:取 BD 的中点为 O,BD⊥平面 OAC, S ? A O C ?
V D ? A B C ? 2V B ? A O C =
2 12 a 。选 D
3

1 2

?

2a ?

1 2

a ?

2 4

a ,则

2

150. 在矩形 ABCD 中,AB=a,AD=2b,a<b,E、F 分别是 AD、BC 的中点,以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起, 当 ? CEB ? 90 时,二面角 C—EF—B 的平面角的余
E a
?

D

C

b F

弦值等于
a b
2 2


a b
2 2


B A

A.0

B.

C. ?

D. ?

a b

解析:由图可知

CE=BE= a ? b
2

2

当 ? CEB ? 90 时,CB= 2 ( a ? b ) 。 ? CFB
2 2

?

为所求

平面角,由余弦定理得 cos ? CFB ?

2b

2

? 2(a 2b
2

2

?b )
2

? ?

a b

2 2

。 选(C) 。

151. . 已知 E、 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BC, 1 的中点, F CC 则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是 ( )

A.

2 3

B.

2 3

C. 解析:C

5 3

D.

2 3

2

D ?

C

G

如图,? D 1G D 为所求的二面角的平面角。
co s ? 求出 DG 的长度,则所求函数值可求。

A

?

B

可利用求

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________. 解析:如图中,截面 ACD1 和截面 ACB1 均符合题意要求,这样的截面共有 8 个; D1 A1 B1 C1

D A B

C

153. 已知矩形 ABCD 的边 AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,PA=1,问 BC 边上是否存在点 Q,使得 PQ⊥QD,并说明理由.
P

A

D

B

Q

C

解析:连接 AQ,因 PA⊥平面 ABCD,所以 PQ⊥QD ?

AQ⊥QD,即以 AD 为直经的圆与 BC 有交点.

当 AD=BC=a ? AB=1,即 a ? 1 时,在 BC 边上存在点 Q,使得 PQ⊥QD;.... 分 .....5 当 0<a<1 时,在 BC 边上不存在点 Q,使得 PQ⊥QD.. .
3 3 2
C1

154. 如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长的 3,侧棱 AA1= (Ⅰ)求证:直线 BC1//平面 AB1D; (Ⅱ)求二面角 B1—AD—B 的大小; (Ⅲ)求三棱锥 C1—ABB1 的体积.

, D 是 CB 延长线上一点,且 BD=BC.

A1

B1

C

A

B

D

(Ⅰ)证明:CD//C1B1,又 BD=BC=B1C1, ∴ 四边形 BDB1C1 是平行四边形, ∴BC1//DB1. 又 DB1 ? 平面 AB1D,BC1 ? 平面 AB1D,∴直线 BC1//平面 AB1D...........5 分 ......... (Ⅱ)解:过 B 作 BE⊥AD 于 E,连结 EB1, ∵B1B⊥平面 ABD,∴B1E⊥AD ,

∴∠B1EB 是二面角 B1—AD—B 的平面角, ∵BD=BC=AB, ∴E 是 AD 的中点,

BE ?

1 2

AC ?

3 2

.

3

在 Rt△B1BE 中, tg ? B 60°????10 分

BE ? 1

B1 B BE

3 3 2 ?

?

2

3 . ∴∠B1EB=60°。即二面角

B1—AD—B 的大小为

(Ⅲ)解法一:过 A 作 AF⊥BC 于 F,∵B1B⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 BB1C1C,
3 2 ?3 ? 3 2 3 ,? V C
1 3

∴AF⊥平面 BB1C1C,且 AF=

1

? ABB

1

? VA

1

? BB 1 C 1

?

S?B

1 B1C 1

? AF

?

1 1 3 3 3 3 27 即三棱锥 ( ? ? 3) ? ? . 3 2 2 2 8

C1—ABB1 的体积为 27 . ????15 分
8

解法二:在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,? S ? ABB ? S ? AA
1

1 B1

? VC

1

? ABB

1

? VC

1

? AA 1 B 1

? V A? A B C
1 1

1

?

1 3

S ?A

1 B1C 1

? AA 1 ?

1 3

(4 ?

3 4

?3 )?
2

3 3 2

?

27 8

. 即为三棱锥

C1—ABB1 的体积.

155. 已知空间四边形 ABCD 的边长都是 1,又 BD= 3 ,当三棱锥 A—BCD 的体积最大时,求二面角 B—AC—D 的余弦值. 解析:如图,取 AC 中点 E,BD 中点 F,由题设条件知道 (1) ? BED 即二面角 B—AC—D 的平面角.............. 分 ..............3 (2)当 AF ? 面 BCD 时,VA—BCD 达到最大...............6 分 .............. 这时 ED2=AD2-AE2=1-AE2=1- (
AC 2
2

) =1-

AF

2

? FC 4

2

=1-

AF 2

2

?1?

1 2

( AD

2

? FD

2

) ?1?

1 2

(1 ?

BD 4

2

) ?1?

1 2

(1 ?

3 4

) ?

7 8



又 BE2=ED2, ∴ cos ? BED ?
2 ED
2

? BD

2

2 ED ? BE

? ?

5 7

................. .................12 分

A

E

B

F C

D

156. 有一矩形纸片 ABCD,AB=5,BC=2,E,F 分别是 AB,CD 上的点,且 BE=CF=1,把纸片沿 EF 折成直二 面角. (1)求 BD 的距离; (2)求证 AC,BD 交于一点且被这点平分.

解析:将平面 BF 折起后所补形成长方体 AEFD-A1BCD1,则 BD 恰好是长方体的一条对角线. (1)解:因为 AE,EF,EB 两两垂直, 所以 BD 恰好是以 AE,EF,EB 为长、宽、高的长方体的对角线,

........ 分 ........6 (2)证明:因为 AD EF,EF BC,所以 AD BC.

所以 ACBD 在同一平面内, 且四边形 ABCD 为平行四边形. 所以 AC、BD 交于一点且被这点平分

157.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD, ∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且
AE AC ? AF AD ? ? ( 0 ? ? ? 1 ).

(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

证明: (Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B, ∴CD⊥平面 ABC.????????????3 分 又?
AE AC ? AF AD ? ? ( 0 ? ? ? 1),

∴不论λ 为何值,恒有 EF∥CD,∴EF⊥平面 ABC,EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC (Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD, ∴BE⊥平面 ACD,∴BE⊥AC.??????8 分 ∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, ∴ BD ?
2 , AB ? 2 tan 60
? BC ?
?

?

6,

? AC ?

AB

2

2

7,由

AB2=AE·AC 得 AE

?

6 7

,? ? ?

AE AC

?

6 7

,

故当 ? ?

6 7

时,平面 BEF⊥平面 ACD.??????????????????12 分

158. 设△ABC 内接于⊙O,其中 AB 为⊙O 的直径,PA⊥平面 ABC。 如图 cos ? ABC ?
5 6
设 PA ? 4 x , AB ? 3 x , 则 PB ? 5 x , BC ? 3 x cos ? ABC ? ? AB 是 ? O 的直径 ? ? ACB ? 90 , 即 BC ? AC 又 ? PA ? 面 ABC ,? PA ? BC ? BC ? 面 PAC ? ? BPC 是 PB 和面 PAC 所成的角 5x 在 Rt ? BPC 中 , sin ? BPC ? 2 ? 1 ,? ? BPC ? 30 ? 5x 2 30
? ?

, PA : PB ? 4 : 3 , 求直线 PB 和平面 PAC 所成角的大小

5 2

x

即直线 PB 和平面 PAC 所成的角为

159. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 P,Q,R,S 分别为棱 A1D1,A1B1,AB,BB1 的中 点,求证:平面 PQS⊥平面 B1RC.(12 分) 证明:连结 BC1 交 B1C 于 O,则 O 为 BC1 的中点 连结 RO,AC1,∵R 是 AB 的中点 ∴RO∥AC1 ∵P,Q 分别为 A1D1,A1B1 的中点,易知 A1C1⊥PQ ∴AC1⊥PQ(三垂线定理)
同理证 OS ? AC ? AC
1 1

? 面 PQS

? RO ? 面 PQS 又 ? RO ? 面 B 1 RC ? 面 PQS ? 面 B 1 RC

160. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角 B—AC—D,E、F 分别为 AD、BC 的中点,O 为正方形 的中心,求折起后∠EOF 的大小 证明:过 F 作 FM⊥AC 于 M,过 E 作 EN⊥AC 于 N,则 M,N 分别为 OC、AO 的中点 解析:
? AN ? FM ? 1 4 2 4 在 ? EOF 中 , EF
2

AC ?

2 4

a ? EN ( 设正方形的边长为 2 2
2

a)
2

a , MN ?

a , EF
2

? EN
2

2

? FM

? MN

2

?

3 4

a

2

? EO 1 2

? FO

? 2 EO ? FO cos ? EOF
?

? cos ? EOF ? ?

, ? EOF ? 120

另证 :? EO // CD , 延长 FO 交 A D ?于 G , OG // C D ? ? ? EOG ? ? DC D ? ? B ? AC ? D 为直二面角 ? DO ? 平面 ABC ? DC ? D D ? ? C D ? ? a 即 ? DC D ?为正三角形 ? ? EOF ? 180
?

, DO ? AC

,? ? DC D ? ? 60
?

?

? ? EDG ? 120

161. 如图,正方体 AC1 中,已知 O 为 AC 与 BD 的交点,M 为 DD1 的中点。 (1)求异面直线 B1O 与 AM 所成角的大小。 (2)求二面角 B1—MA—C 的正切值。 (14 分) 解析:
方法一 B 1O ?
2

: BO ? AC , ? B 1O ? AC , 设正方体的棱长为 6 2
2 2

a, 则

a , MO ?

3 2

a , MB 1 ?

3 2

a

MB 1 ? B 1 D ? MO , ? MO ? B 1O ? B 1O ? 面 MAO ? B 1O ? AM

方法二:取 AD 中点 N,连结 A1N,则 A1N 是 B1O 在侧面 ADD1A1 上的射影. 易证 AM⊥A1N ∴AM⊥B1O(三垂线定理) (2)连结 MB1,AB1,MC,过 O 作 OH⊥AM 于 H 点,连结 B1H, ∵B1O 平面 MAC,∴∠B1HO 就是所求二面角 B1—MA—C 的平面角.
? 2 HO ? AM ? AC ? MO ,? HO ? 在 Rt ? BHO 中 ,? tan ? B 1 HO ? B1O HO 30 10 ? 5

162. 在正方体 AC1 中,E 为 BC 中点(1)求证:BD1∥平面 C1DE; (2)在棱 CC1 上求一点 P,使平面 A1B1P⊥平面 C1DE; (3)求二面角 B—C1D—E 的余弦值。 (14 分) 解析:
(1 ) 连 C 1 D 交 CD 1于 F , 则 EF // BD 1 , ? BD 1 ? 面 C 1 DE , EF ? 面 C 1 DE , ? BD 1 // 面 C 1 DE . ( 2 ) ? A1 B 1 ? 面 BCC 1 B 1 , C 1 E ? 平面 BCC 1 B 1 , ? A1 B 1 ? C 1 E 故保要过 B 1作 B 1 P ? C 1 E 交 C 1C 于 P 点即可

此时 P 为 CC 1的中点 . 事实上 , 当 P 为 CC 1的中点时
从而 C 1 E ? 平面 A 1 B 1 P , ? 平面 A 1 B 1 P ? 平面 C 1 DE . ( 3 ) 连结 BD , BC 1 , 则 BD ? BC 1 , ED ? EC 1 , 连结 BF , 则 BF ? DC 1 , EF ? DC ? ? EFB 即为二面角 在 ? BEF 中 ,? EF ? BE ? 1 2 由余弦定理 : cos ? EFB ? 2 3 2 即为所求
1

, B1 P ? C 1 E

B ? C 1 D ? E 的平面角 . CE
2

? CF

2

?

3 2

, BF ?

CF

2

? BC

2

?

6 2

163.如图,立体图形 V-ABCD 中,底面是正方形 ABCD,其他四个侧面都是全等的正三角形,画出二面角 V-AB-C 的平面角,并求它的度数.

解:设底面边长为 a,则侧面三角形的边长也为 a. 取 AB 的中点 E,DC 中点 F,连 VE、EF. ∵ 侧面△VAB 是正三角形, ∴ VE⊥AB. 又 EF∥BC,BC⊥AB,∴ EF⊥AB. ∠VEF 就是 V-AB-C 的平面角.

a ?(
2

3 2

a) ? (
2

3 2

a)

2

?

3 3

2a ?

3 2

a

cos∠VEF=



164. 已知二面角?-l-?是 45° 角,点 P 在半平面?内,点 P 到半平面?的距离是 h,求点 P 到棱 l 的距离.

解:经 P 作 PB⊥?于 B, 经 P 在平面?内作 PA⊥l 于 A. 连 AB,则 AB⊥l. ∠PAB 就是二面角的平面角,∠PAB=45° . 那么在 Rt△PAB 中,PB=h,PA= 2 h. 165. 自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线, 求证: 它们所成的角与这个二面角的平面角互补.

证明:如图 PQ⊥?,PQ⊥AB, PR⊥?,PR⊥AB, 则 AB⊥面 PQR. 经 PQR 的平面交?、?于 SR、SQ, 那么 AB⊥SR,AB⊥SQ. ∠QSR 就是二面角的平面角. 因四边形 SRPQ 中,∠PQS=∠PRS=90° , 因此∠P+∠QSR=180° .

166. 一张菱形硬纸板 ABCD 的中心是点 O, 沿它的一条对角线 AC 对折, BO⊥DO, 使 这时二面角 B-AC-D 是多少度?要使二面角 B-AC-D 为 60° ,点 B 和 D 间的距离应是线段 BO 的几倍?

解:因 ABCD 是菱形,故 AC⊥BD. 沿对角线 AC 折为空间图形后 BO⊥AC,DO⊥AC. ∠BOD 就是二面角 B-AC-D 的平面角. 因 BO⊥OD,故∠BOD=90° , 即二面角 B-AC-D 是 90° . 要使二面角 B-AC-D 为 60° . 因 BO=OD,故△BOD 是等边三角形, 此时 BD=BO. 167.四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,PB 垂直面 ABCD,证明无论四棱锥的高怎样变化,面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90° . 解析::注意到题目中所给的二面角,面 PAD 与面 PCD 的棱为 PD,围绕 PD 而考虑问题解决途径.

证法一:利用定义法 经 A 在 PDA 平面内作 AE⊥PD 于 E,连 CE. 因底是正方形,故 CD=DA. △CED≌△AED,AE=EC,∠CED=∠AED=90° , 则 CE⊥PD. 故∠CEA 是面 PAD 与面 PCD 所成二面角的平面角.

设 AC 与 BD 交于 O,连 EO,则 EO⊥AC.
2

因 2 OA= 2 × 2 =a,AE<AD<a.
AE
2

? EC

2

? ( 2 OA )

2

( AE ?

2 OA )( AE ? AE
2

2 OA )

cos∠AEC=

2 AE ? EC



<0.

所以面 PAD 与面 PCD 所成的二面角恒大于 90° . 证法二:运用三垂线法 ∵ PB⊥面 ABCD,则 PB⊥AD,又 AD⊥AB, ∴ AD⊥面 PAB,即面 PAB⊥面 PAD. 过 B 作 BE⊥PA,则 BE⊥面 PAD. 在面 PBC 内作 PG BC,连 GD.

经 C 作 CF⊥面 PAD 于 F, 那么连结 EF,有 EF AD.

经 F 作 FH⊥PD 于 H,连 CH, 则∠FHC 是所求二面角平面角的补角. 因 CF⊥FH,故∠FHC 是锐角. 则面 PAD 与面 PCD 所成二面角大于 90° . 此结论证明过程中与棱锥高无关. 证法三:利用垂面法找平面角. 在证法一所给图形中 连 AC、BD,因 AC⊥BD,PB⊥面 ABCD, ∴ AC⊥PD. 经 A 作 AE⊥PD 于 E,那么有 PD⊥面 AEC,连 CE,

即 PD⊥CE. 故 PD 与平面 AEC 垂直后,面 AEC 与面 ADC 及面 ADP 的交线 EA、EC 构成角∠CEA 就是二面角的 平面角. 以下同证法一. 168. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,求平面 EB1C 和平面 ABCD 所成二面角的大小. 解:△EB1C 在底面 ABCD 内的射影三角形为 Rt△ABC. 因 E 点射影为 A,B1 点射影为 B.

设正方体棱长为 a,
1

则 S△ABC= 2 a2. 又在△EB1C 中,
5
3

B1E= 2 a,B1C= 2 a,EC= 2 a,
5 4 a ?
2

9 4 5 2

a ? 2a
2

2

? a? 3 2 a

5 5

故 cos∠B1EC=

2?



2 5

∴ sin∠B1EC= 5
1
1


3

5

2 5

3

2 ∴ S ? B EC = 2 × 2 a· a· 5

= 4 a2.

设面EB1C 和面 ABCD 所成的二面角为?,
a S ? ABC S ?B ? 3 4
2

2 a
2

则 cos?=

1 EC

2

=3 .

2

那么所求二面角的大小为 arccos 3 . 评述:此题属无棱二面角问题,图中没有二面角的棱,我们也可以去找到棱来解决,但这里通过射影 而直接求角更方便.S′=S△ABC,S=
S ?B
1 EC



169. 一个平面将空间分成几部分?二个平面将空间分成几部分?三个平面将空间分成几部分? 解析:2 部分,3或4部分,4或6或7或8部分

170. 如图:已知直线 l 与平行直线 a、b、c 都相交, 求证:l 与 a、b、c 共面。 设 L∩a=A, α l c

b

a

l∩b=A,L∩c=C,∵a∥b,∴a、b可确定一个平面α ,∵A∈a,B∈b,∴A∈α ,B∈α ,∴ AB ? α ,即 L ? α .∵b∥c,∴b、c可确定一个平面β , 同理l ? β .∵α 、β 均过相交直线b、l,∴α 、β 重合,∴a、b、c、l共面; 7.提示:只需证明 P、Q、R 为平面 ABC 与α 的公共点; 171. 如图:已知△ABC 在平面α 外,AB∩α =P,AC∩α =R,BC∩α =Q。 求证:P、Q、R 三点共线。 A B

C 解析:点在线上,线在面内,可得点在面内,证明 P,Q,R 三个点是平面

? 与平面 ABC 的公共点,即可。

Q

R

P

α

172. 如图:已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 各边 AB、AD、CB、CD 上的点,且直线 EF 和 HG 交于 点 P,求证:点 B、D、P 在同一条直线上。 A 解析:∵直线EF∩直线,HG=P,∴P∈直线 EF,又 EF ? 平面 ABD, E ∴P∈平面 ABD,同理 P∈平面 CBD,由公理2,点 B、D、P D 在同一条直线上。 B H G C F

P

173. 如果把两条异面直线称作“一对” ,则在正方体十二条棱中,共有异面直线( )对 A.12 解析:B
D' A' B' C'

B.24

C.36

D.48

D A B

C

如图,棱 A A ' 有 4 条与之异面,所有所有棱能组成 4 ? 12=48 对,但每一对都重复计
1 2

算一次,所以有 48 对 ?

=24 对。

174. 已知正方形 ABCD 所在的平面和正方形 ABEF 所在的平面相交于 AB, N 分别是对角线 AC、 上的点, M、 BF 且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE. 解析:作 NP∥AB 交 BE 于点 P,作 MQ∥AB 交 BC 于点 Q, 证 MNPQ 是平行四边形,再证 MN∥面 BCE. F A D M C N E B

175. 棱长为1的的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求证:平面 A1BD∥平面 CB1D1.
a 解析: 过a和直线b上任意一点 P 作一平面γ 和平面β 交于 a , ∵α ∥β , ∴a∥ a , a ? ? , ? ? , ∵
' '
'
'

a ? ? ,∴ a ? ? ,∵ a ? b ? P , b ? ? ,b∥β ,
'

'

∴α ∥β ;8.∵A1B∥D1C,∴A1B∥平面 CD1B1,同理 BD∥平面 CD1B1, ∵A1B ? 面 A1BD,BD ? 面 A1BD,∴面 A1BD∥面 CD1B1. 176. 已知(如图) :平面α ∥平面β , A、C∈α ,B、D∈β ,AB 与 CD 是异面直线,E、F 分别是线段 AB、CD 的中点,求证:EF∥β . α A C α F αE β B D

D 解析:
0

如图作辅助线,可得中线平行。 A D1

C B C1 B1

177. 如图:在△ABC 中,∠ACB=90 ,M 是 AB 的中点,PM⊥平面 ABC, 求证:PA=PB=PC. 解析:连结 MC,由∠ACB= 90 ,M 为 AB 的中点,MB=MC=MA, ∴PM⊥面 ABC,∴∠PMA=∠PMB=∠PMC= 90 ,又 PM 公用,∴△PMA≌△PMB≌△PMC,∴PA=PB=PC; 178. 四边形 ABCD 是距形,AB=2,BC=1,PC⊥平面 AC,PC=2,求点 P 到 BD 的距离.
2 30 5
0 0

A1

解析:作 CE⊥BD 于 E,连结 PE,

179. 如图:在斜边为 AB 的 Rt△ABC 中,过点 A 作 PA⊥平面 ABC,AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F, (1)求证: BC⊥平面 PAC; (2)求证:PB⊥平面 AEF. P E F A C B

解析: (1)PA⊥面 ACB,∴PA⊥BC,BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC.(2)(1)知 BC⊥AF,

又 AF⊥PC,∴AF⊥面 PBC,∴AF⊥PB,又 PB⊥AE,∴PB⊥面 AEF. 180. 如图:ABCD—A1B1C1D1 是正方体.求证: (1)A1C⊥D1B1; (2)A1C⊥BC1 解析: (1)连 A1C1,则 A1C1⊥B1D1, 又 CC1⊥面 A1C1,由三垂线定理可知 A1C⊥B1D1, (2)连 B1C, 仿(1)可证; D A B C A1 D1 B1 C1

181. 如图:PA⊥平面 PBC,AB=AC,M 是 BC 的中点,求证:BC⊥PM. 解析:由 AB=AC 得AAM⊥BC,又 PA⊥面 PBC,BC ? 面 PBC,∴BC⊥AP, ∴BC⊥面 AMP,∴BC⊥PM A

P

C M B

182. 如图:Rt△ABC 中,∠B=90 ,P 为三角形所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,指出四面体 P—ABC 中有哪些三角形是直角三角形,说明理由. P 由 PA⊥面 ABC 得 PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC;又 BC⊥AB, ∴BC⊥面 PBA,∴△PAB,△PBC,△PAC,△ABC 都是直角三角形 A B C

0

183. 已知直线 a∥直线 b,a⊥平面α ,求证 b⊥α . 解析:过a与α 的交点作两相交直线m、n,由a⊥α ,则a⊥m,a⊥n,又b∥a,∴b⊥m, b⊥n, ∴b⊥α

184. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 CC1 中点,F 为 AC 和 BD 的交点. 求证:A1F⊥平面 BED. 解析:∵AA1⊥面 ABCD,AF 是 A1F 在 ABCD 上的射影,由 AC⊥BD 得 A1F⊥BD,取 BC 的中点 G,连 FG,B1G,由 AB⊥BC1,∴FG⊥面 BC1, ∴B1G 是 A1F 在面 BC1 上的射影,又 B1G⊥BE,∴BE⊥A1F,∴A1F⊥面 BED; 185. P 是 ? A B C 所在平面外一点,若 ? P B C 和 ? A B C 都是边长为 2 的正三角形,PA= 6 ,求二面角 P-BC-A 的大小。
90 解析:取BC的中点D,连结 PD、AD,易证∠PDA 为二面角的平面角
0

186. 如图, ? A B C 是等腰直角三角形,AC=BC=a,P 是 ? A B C 所在平面外一点,PA=PB=PC= 2 a 。 (1) 求证:平面 P A B ? 平面 ABC; (2)求 PC 与 ? A B C 所在平面所成的角。 P
A A

A
A A


A A

解析: (1)取 AB 的中点O,连 PO,证明 PO⊥面 ABC,(2) 60
0


A A

187. 如图,A 是直二面角 ? ? E F ? ? 的棱 EF 上的点,AB、CD 分别是 ? 、 ? 内的射线,
? E A B ? ? E A C ? 4 5 ,求 ? B A C 的大小.
?

B 解析: 60
0

α A C F
A A

E β
A A A A

作 BO ? DF,可得 BO ? 平面 ? ,解三角形 ABC,根据余弦定理可得。 188. (如图)已知正方形 ABCD 的边长为 1,过 D 作 PD ? 平面 ABCD,且 PD=1,E、F 分别是 AB 和 CD 的 中点。 (1)求 D 点到平面 PEF 的距离; (2)求直线 AC 到平面 PEF 的距离。

P

D F A 解析: ?1 ?
3 17 17 , ?2 ? 17 17

C

E

B

1.作 DG ? 直线 PF,则可得 AC ? 平面 PDB,所以 EF ? 平面 PDB? E F ? D G ? DG ? 平面 PEF。DG 为 D 点到平面 PEF 的距离 2.过点 O 作平行于 DG 的直线,则为所求。 189. 在三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,AB⊥BC,DE 垂直平分 SC,且分别交 AC 和 SC 于 D 和 E,又 SA=AB,SB=BC.求以 BD 为棱,以 BDE 与 BDC 为面的二面角度数. ∵E 为 SC 的中点 ∴BE⊥SC ∴SC⊥面 BDE SC⊥BD 面 SA⊥BD ∴BD⊥面 SAC 即 BD⊥AC ∴∠EDC 为所求. 设 SA=a 则 AB=a SB=BC= 2 a SC=2a ∠ASC=60° ∠SCA=30° ∠EDC=60° BD⊥DE

190. P 是△ABC 所在平面外一点,PA、PB、PC 两两垂直,G 为△PAB 的重 心,E、F 分别是 BC、PB 上的点,且 BE∶EC=PF∶FB= ⊥平面 PBC 解析:∵G 为△PAB 的重心,∴
GB GN ? 2 1 ? BF PF 1 2

,求证:平面 GEF

∴GF∥PA.

∵PA⊥PB PA⊥PC,∴PA⊥面 PBC.∴GF⊥面 PBC,∴面 GFE⊥面 PBC. 191. 如图 1 所示,边长 AC=3,BC=4,AB=5 的三角形简易遮阳棚,其 A、B 是地面上南北方向两个 定点,正西方向射出的太阳光线与地面成 30°角,试问:遮阳棚 ABC 与地面成多大角度时,才能保证

所遮影面 ABD 面积最大?

解析: 易知,Δ ABC 为直角三角形,由 C 点引 AB 的垂线,垂足为 Q,则应有 DQ 为 CQ 在地面上的斜射 影,且 AB 垂直于平面 CQD,如图 2 所示. 因太阳光与地面成 30°角,所以∠CDQ=30°,又知在Δ CQD 中,CQ=
12 5 CQ sin 30 ?

,由正弦定理,有



QD sin ? QCD

,

即 QD=

6 5

sin∠QCD. 60°.

为使面 ABD 的面积最大,需 QD 最大,这只有当∠QCD=90°时才可达到,从而∠CQD= 故当遮阳棚 ABC 与地面成 60°角时,才能保证所遮影面 ABD 面积最大.

192. 如图所示,已知三棱锥 S—ABC 中,SA=SB=SC,且 AC +BC =AB ,由此可推出怎样的结论? 解析: 引 SO⊥平面 ABC(O 为垂足),连结 OC. ∵SA=SB=SC,∴OA=OB=OC, ∴O 是Δ ABC 的外心,(结论 1) 又∵AC +BC =AB ,
2 2 2

2

2

2

∴Δ ABC 是直角三角形,且 AB 是斜边,故 O 是斜边 AB 的中点.因而 SO ? 平面 SAB(结论 2) ∴平面 SAB⊥平面 ABC(结论 3) 193. 正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长均为 2,M 为 AA1 中点,N 为 BC 的中点,则在棱柱的表面上从点

M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.

解析:(1)从侧面到 N, 如图 1, 沿棱柱的侧棱 AA1 剪开, 并展开, MN= 则 = 10 (2)从底面到 N 点,沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开,如图 2. 则 MN=
AM
2

AM

2

? AN

2

= 1 ? ( 2 ? 1)
2

2

? AN

2

? 2 AM ? AN cos 120 ?

= 1 ? ( 3 ) ? 2 ?1?
2 2

3?

1 2

= 4?

3

∵ 4? ∴ MN

3 < 10

min

= 4?

3 .

194. 已知二面角 A—BC—D 为 150°, ABC 是边长为 a 的等边三角形, BCD 是斜边为 BC 的等腰直角 Δ Δ 三角形.求两个顶点 A 和 D 间的距离.
7 2

解析:.取 BC 的中点 E,连 DE 和 AE,利用余弦定理 AD=

a

195. .如图,ABCDEF 为正六边形,将此正六边形沿对角线 AD 折叠.

(1)求证:AD⊥EC,且与二面角 F—AD—C 的大小无关; (2)FC 与 FE 所成的角为 30°时,求二面角 F—AD—C 的余弦值. 解析:(1)正六边形 ABCDEF,在折叠前有 AD⊥EC,设 AD 与 EC 交于 M,折叠后即有 AD⊥ME,AD⊥MC.则

AD⊥平面 EMC,无论∠EMC 的大小如何,总有 AD⊥EC.(2)利用余弦定理,有 cos∠EMC=

7 9

196. 在直角 BVC 的角顶点 V,作直角所在平面的斜线 VA,使二面角 A—VB—C 与二面角 A—VC— B 都等于 45°,求二面角 B—VA—C 的度数. 解析:在 VA 上取 A′作平面 VCB 的垂线,垂足为 O,作 OC′⊥VC,OB′⊥VB,连 A′C′、A′ B′,则∠A′C′O 和∠A′B′O 分别为二面角 A-VC—B 与二面角 A—VB—C 的平面角.易证 VB′ OC′为正方形.设 VB′=a,可求得 A′B′= 2 a.VA′= 3 a.过 B′作 B′D⊥VA,
6 3

连结 C′D.则∠B′DC′为二面角 B—VA—C 的平面角.在 RtΔ B′VA′中, 可求 B′D= C′,B′E=
2 2

a, DE⊥B′ 又

a,则在 RtΔ B′DE 中可求得∠B′DE=60°.二面角 B—VA—C 为 120°.

197. 已知直线 l 与平面α 内交于一点 O 的三条直线 OA、 OC 成等角, OB、 求证: l⊥α 解析:若 l 过 O 点,在 l 上任取一点 P,作 PH⊥α ,垂足 H,则 H 即在∠AOB 的平分线上,又在∠BOC 的平分线上,∴H 是它们的公共点,故 H 与 O 重合;若 l 不过 O 点,可作过 O 的直线 l′,使 l′∥l 即可证明.

198. 空间四边形 ABCD 的各边与两条对角线的长都为 1,点 P 在 AD 上移动,点 Q 在 CB 上移动,求点 P 与点 Q 的最短距离。 A
2 2

P B Q C D

解析: 可求得。

如图作辅助线,可得 PQ 为 AD,BC 的公垂线。在直角三角形 BQP 中

199. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( A.三棱锥 解析:D
A



B.四棱锥

C.五棱锥

D.六棱锥

B O C

? A B C 是正三角形,所以 OC=AC,而 ? AOC 是直角三角形,OC 为直角边,AC 为斜边,矛盾,所以正棱锥不是六棱锥。

200. A、B 为球面上相异的两点,则通过 A、B 可作大圆( A.一个 解析:D B.无穷多个 C.零个



D.一个或无穷多个

当 A,B 点在球直径上, ,这样的大圆有无数个,当不在球直径上,与球心 O 三个点唯一确定一个平面。


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