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2018-2019学年最新高中数学人教版A版必修一学案:第一单元 习题课 函数的概念与性质

习题课 学习目标 函数的概念与性质 1.进一步理解函数的概念及其表示方法(重点).2.能够综合应用函数的性质解决 相关问题(重点、难点). 1.若函数 y=x2-3x 的定义域为{-1,0,2,3},则其值域为( A.{-2,0,4} 9? ? C.?y|y≤-4? ? ? ) B.{-2,0,2,4} D.{y|0≤y≤3} 解析 依题意,当 x=-1 时,y=4;当 x=0 时,y=0;当 x=2 时,y=-2;当 x=3 时, y=0.所以函数 y=x2-3x 的值域为{-2,0,4}. 答案 A ) 2.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( A.y= 解析 答案 1 x2 B.y= 1 x C.y=x2 D.y=x3 1 函数 y= 与 y=x3 都是奇函数,y=x2 在(0,+∞)上是增函数,故选 A. x A ) 3.若函数 f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且在[-6,0]上单调递减,则( A.f(3)+f(4)>0 C.f(-2)+f(-5)<0 解析 B.f(-3)+f(-2)<0 D.f(4)-f(-1)>0 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(4)=f(-4), 又 f(x)在[-6,0]上单调递减, 所以 f(-4)>f(- 1),即 f(4)-f(-1)>0. 答案 D 4 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 f(x + 2) = f(x) , 当 x ∈ [ - 1,1) 时 , f(x) = ?-4x2+2,-1≤x<0, ? 3? ? 则 f? ?2?=________. ?x,0≤x<1, ? 解析 答案 3? ? 1 ? ? 1? ? 1?2 f? ?2?=f?-2+2?=f?-2?=-4×?-2? +2=1. 1 类型一 【例 1】 求函数的定义域和解析式 1 (1)函数 f(x)= x+2+ 的定义域为________. x-1 2 ? 2 (2)已知 f? ?x+1?=x +2x-3,则 f(x)=________. 解析 ? ?x+2≥0, (1)由? 解得 x≥-2 且 x≠1,故 f(x)的定义域为{x|x≥-2 且 x≠1}. ?x-1≠0, ? 2 2 4 4 4 4 (2)令 t= +1(t≠1),则 x= ,所以 f(t)= + -3,即 f(x)= + - x t-1 ?t-1?2 t-1 ?x-1?2 x-1 3(x≠1). 答案 (1){x|x≥-2 且 x≠1} 4 4 (2) + -3(x≠1) ?x-1?2 x-1 规律方法 1.求函数的定义域的方法 求已知函数的定义域时要根据函数的解析式构建不等式(组),然后解不等式(组)可得,同 时注意把定义域写成集合的形式. 2.求函数解析式的方法有: (1)待定系数法;(2)换元法;(3)配凑法;(4)消去法. 【训练 1】 (1)函数 f(x)=(x-1)0+ 2 的定义域为________. x+1 (2)已知 f(x)是二次函数,且 f(1-x)=f(1+x),f(2)=1,f(1)=3,则 f(x)=________. x-1≠0, ? ? 解析 (1)由? 2 得 x>-1 且 x≠1,故 f(x)的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}. ≥0, ? ?x+1 (2)由 f(1-x)=f(1+x)且 f(1)=3,可设 f(x)=a(x-1)2+3(a≠0),又 f(2)=a(2-1)2+3=1, 故 a=-2,所以 f(x)=-2x2+4x+1. 答案 类型二 (1){x|x>-1 且 x≠1} (2)-2x2+4x+1 函数的单调性与最值 ax (a≠0),x∈(-1,1). x2-1 【例 2】 已知 f(x)= (1)讨论 f(x)的单调性; 1 1 - , ?上的最大值和最小值. (2)若 a=1,求 f(x)在? ? 2 2? 解 = ax1 ax2 (1)设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1-1 x2-1 2 ax1x2 2-ax1-ax2x1+ax2 a?x2-x1??x1x2+1? = , 2 2 2 ?x1-1??x2-1? ?x2 1-1??x2-1? ∵-1<x1<x2<1, 2 ∴x2-x1>0,x1x2+1>0,(x2 1-1)(x2-1)>0, ∴当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),f(x)在(-1,1)上是减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),f(x)在(-1,1)上是增函数. (2)当 a=1 时,f(x)= 1 1? x ,由(1)知 f(x)在? ?-2,2?上是减函数, x2-1 1? 2 2 ?1? 故 f(x)的最大值为 f? ?-2?=3,最小值为 f?2?=-3. 规律方法 函数单调性的证明及应用 (1)利用定义法证明函数单调性的步骤为:取值、作差或作商、变形、定号、下结论,如 本例中若含有字母,则一般需分类讨论. (2)利用函数单调性求最值的步骤:①确定函数的单调性;②借助最值与单调性的关系写 出函数的最值. 【训练 2】 若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 围是( ) B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1] a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范 x+1 A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) 解析 ∵y= 由 f(x)=-x2+2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]?[a,+∞),∴a≤1. 1 在(-1,+∞)上为减函数, x+1 a 在[1,2]上是减函数可得 a>0, x+1 ∴由 g(x)= 故 0<a≤1. 答案 D 考查方向 类型三 函数性质的综合应用 方向 1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小 【例 3-1】 设偶函数 f(x)的


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