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几个常用函数的导数


高二数学选修 1—1 NO:34 使用时间:2015.11 编制:张丽伟 审核:

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3.2.1
【学习目标】

几个常用函数的导数

【合作探究】 探究一、 下列结论不正确的是 A. 若y ? 3,则y? ? 0 C. 若y ? ? x,则y? ? ? ( B. 若y ? 3x,则y? |x?1 ? 3 )

1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2.学会利用公式,求一些函数的导数; 3.理解变化率的概念,解决一些物理上的简单问题. 【重难点】 教学难点 :推导几个常用函数的导数;教学重点 :利用公式求基本初等函数的导数 【温故知新】 1、导数的几何意义是:曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程为 2、求函数 y ? f ( x) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? (2)求平均变化率 . . .因此,如果 y ? f ( x) .

1 2 x

D. 若y ?

3 3 ,则y? ? ? x 2 x

探究二、求下列函数的导数 (1) y ? x12 (2) y ?

1 x4

(3) y ? 5 x3

?y ? ?x

/ (3)取极限,得导数 y = f ?( x) ? lim

?y = ?x ?0 ?x

.

探究三、求切线的方程 (1)求曲线在点 P(1,1)处的切线方程 (2)求曲线在点 Q(1,0)处的切线方程

【自主学习】 1.几个常用函数的导数 (1) 若y ? f ( x) ? c, 则f ?( x) ? (2) 若y ? f ( x) ? x, 则f ?( x) ? (3) 若y ? f ( x) ? x 2 , 则f ?( x) ? (4) 若y ? f ( x) ? (5) 若y ? f ( x) ? . . . . .

1 , 则f ?( x) ? x

x , 则f ?( x) ?

2.常用函数及其导数的共同特征 除常数函数外的其他四种函数实质上都是特殊的幂函数型函数, 它们导函数的系数为幂函数的指数, 指数为幂函数的指数减 1 所得.

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的. (1)如果已知点是切点,那么该点处切线的斜率是该点处导数; (2)如果已知点不是切点,那么应先设出切点,再借助两点的连线的斜率等于在切点处的导数值进 行求解.
我想我能行,即使现在不行, 通过自己的努力,将来也一定能行 。

高二数学选修 1—1 NO:34 使用时间:2015.11 编制:张丽伟 审核:

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探究四、求曲线 y ? x 在点(1,1)处的切线与 x 轴,直线 x=2 所围成的三角形的面积.
3

A. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 1 ? 0或2 x ? y ?1 ? 0 D. 2 x ? y ? 0

y

B

2.过曲线 y ? ( )

1 上一点 P 的切线的斜率为 ? 4 ,则点 P 的坐标为 x 1 2

A. ( , 2 )

1 2

B. ( , 2 ) 或 ( ?

1 , ?2) 2

C. ( ?

1 , ?2) 2

D. ( ,?2)

1 2

o
y ? x3

A

x

3.质点沿直线运动的路程和时间关系是 s ? 5 t ,则质点在 t=4 时的速度是 ( A. )

1 2 2
5 3

B.

1 10 2
5 3

C.

x?2
【检测反馈】 1. f ( x) ? 0 的导数是 ( ) A.0 B.1 C.不存在 D.不确定 ( A.

1 25 3 2 5

D.

1 15 3 2 10

4. y ?

3 3 2 x 在点 (?1, ) 处切线的倾斜角为 2 2


?
3

B.
3

?
4

C.

2.已知 f ( x) ? x2 ,则 f ?(3) ? ( ) A.0 B.2 x C.6 D.9

2? 3

D.

3? 4
( )

5.已知函数 f ( x) ? x 的切线的斜率为 3, 则切线有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.不确定

3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 ( ) A. (0, 0) 4. 过曲线 y ? B. (2, 4)

? 的点为 4

【小结】这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?

1 1 C. ( , ) 4 16

1 1 D. ( , ) 2 4
学习评价 , 在 t ? 4 时的速度为 . ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 ). D. 较差

1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x

5. 物体的运动方程为 s ? t 3 , 则物体在 t ? 1 时的速度为

【能力提升】 1. y ? x 的斜率等于 2的切线方程为
2

(
我想我能行,即使现在不行,

)

通过自己的努力,将来也一定能行 。


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