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2012-2013-2概率统计试卷答案(内招生)


得分

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一、填空题(共 10 空,每空 2 分,共 20 分)

1. 设 A,B 相互独立,且 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.2 ,则 P ( B ) ? ____0.75______. 2 .设 X 与 Y 相互独立,且 E( X ) ? E(Y ) ? 2 ,则 E ( XY ) ? ___4_____. 3. 设随机变量 X 服从参数为 ? 的指数分布,设 X i , i ? 1,?, n 为样本,则未知参数 ? 的矩法 估计量为___ 1 /

X ___。
4和5
_时概率最大。

4. 设 X ~ B(9, 0.5) 为二项分布,则 X ? 相关系数 ? XY ? ____1__。 6. 设随机变量 ? X , Y ? 的分布律为 Y X -1 1 则 P{X ? ?1 | Y ? 2} ?

5. 设随机变量 X 服从参数为 3 的普哇松分布, Y=2X+1, 则 E (Y ) ? __7___, D(Y ) ? __12____,

1

2 a

1 4
0

1 4


2/3

7. 设 X 1 , X 2 ,? X n 是来自于总体 X 的容量为 n 的随机样本, E ( X ) ? ? , D( X ) ? 8 ,

X?

1 1 n X i ,则由切贝谢夫不等式得到 P{| X ? ? |? 4} ? 1 ? ? n i ?1 2n



8. 一批产品共有 8 个正品和 2 个次品,每次抽一个(不放回) ,则第二次抽到次品的概率为 1/5 。

得分

评阅人

二、单选题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) 请将各题答案填写在相应括弧内。
2
2

1.设总体 X ? N ( ? , ? ) ,其中 ? 已知,则总体均值 ? 的置信区间长度 l 与置信度 1 ? ? 的 关系是( )。 (A)当 1 ? ? 缩小时, l 缩短; (B)当 1 ? ? 缩小时, l 增大; (C)当 1 ? ? 缩小时, l 不变; (D)以上说法均错。 2. n 张彩票中有 m 张是有奖的,今有 k 个人各买一张( n ? m ? k ) ,则其中至少有一人中 奖的概率是( b ) 。 (A)
k 1 k ?1 i k m Cn Cm Cn Cm ?m ?m ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) . 1 ? ? k k k k Cn Cn Cn i ?1 C n

3. 设 E(X),E(Y),D(X),D(Y)及 Cov(X,Y)均存在,则 D(X-Y)= ( (A)D(X)+D(Y) (C)D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) (B) D(X)-D(Y)

c ) 。

(D) D(X)-D(Y)+2Cov(X,Y)

4. 已知随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? 则有( a ) 。

?a ? bx ,0 ? x ? 2 1 , 且 P{ X ? 1} ? , 4 ?0, 其它

(A) a ? 1, b ? ?

1 1 1 1 ; (B) a ? ? , b ? 1 ;(C) a ? 1, b ? ; (D) a ? , b ? 1 2 2 2 2

5. 设 F1 ( x) 与 F2 ( x) 分别为两个随机变量的分布函数,令 F ( x) ? aF 1 ( x) ? bF2 ( x) ,则下列各 组数中能使 F ( x) 为某随机变量的分布函数的有( ( A)a b ) .

? ?

2 2 , b? ; 3 3 3 1 , b? ; 2 2

(B )a

3 2 ? , b? ; 5 5 ? 3 2 , b? . 4 5
) .

(C ) a

(D )a

6. 在假设检验问题中,检验水平 ? 的意义是( d (A) 原假设 H 0 不成立,经检验不能拒绝的概率; (B) 原假设 H 0 成立,经检验不能拒绝的概率; (C)原假设 H 0 不成立,经检验被拒绝的概率; (D)原假设 H 0 成立,经检验被拒绝的概率。

7. 设 A, B 为两个互不相容的事件,且 P ( A) ? 0 , P ( B) ? 0 ,则(

b

)一定成立。

(A)P ( A) ? 1 ? P ( B) ;(B)P ( A | B) ? 0 ; (C)P( A | B ) ? 1 ;(D)P( AB) ? 0 8. 已知随机变量 X 的分布律为 X P (A) 2 -2 1 p (B) 4 ) x

1 4

1 4

,且 E(X)=1,则常数 x=(b (C) 6 (D) 8

) .

9. 设总体 X , X1 , X 2 , ???, X n 是取自总体 X 的一个样本, X 为样本均值, 则不是总体期望 ? 的 无偏估计量的是 ( (A) X ; (B) X1 ? X 2 ? X 3 ; (C) 0.2 X1 ? 0.3X 2 ? 0.5 X 3 ; (D) (A) A ? B (B) B ? A (C) A ? B ? ?

?X
i ?1

n

i

10. 设 A 和 B 是任意两个随机事件,则与 A ? B ? B 不等价的是( d



(D) A ? B ? ?

得分

评阅人

三、计算题(共 8 小题,共 56 分)
第 2 页 共 6 页

(本试卷的参考数据如下:

?0 (1.285) ? 0.9, ?0 (1.645) ? 0.95, ?0 (1.96) ? 0.975 t0.1 (8) ? 1.86, t0.1 (9) ? 1.833, t0.05 (8) ? 2.306, t0.05 (9) ? 2.262. X1, X 2 ,? X n

?0.05 (8) ? 15.5, ?0.05 (9) ? 16.9, ?0.95 (8) ? 2.73, ?0.95 (9) ? 3.33.
F0.025 (10,10) ? 3.72, F0.025 (9,9) ? 3.96, F0.05 (10,10) ? 2.98, F0.05 (9,9) ? 3.18. )
1. 设总体 X ~ B(100, p) 为二项分布, 0 ? p ? 1 未知,为来自总体的一个样本. 求参数 p 的 极大似然估计量。 (7 分)
Xi L( p) ? ? (C100 p X i (1 ? p)100? )
Xi

n

i ?1

(3 分)

Xi ln L( p) ? ln(? C100 ) ? nX ln p ? n(100 ? X )ln(1 ? p) i ?1

n

(1 分)

0?

d ln L( p ) ? nX / p ? n(100 ? X ) / (1 ? p) (1 分) dp

? ? X / 100 (2 分) p
2. 随机地从一批零件中抽取 9 个,测得平均长度 (cm) 为 2.13,样本方差为 0.0001,设零件长 度分布为正态分布。 (1) 试求总体 ? 的置信度 90%的置信区间。 (5 分) (2)若已知 ? ? 0.01(cm) 。试求总体 ? 的置信度 90%的置信区间。 (5 分)
2

( n ? 1) S 2 ( n ? 1) S 2 (9 ? 1) S 2 (9 ? 1) S 2 , ) =( 2 , )= (1) ( 2 ?? /2 ( n ? 1) ?12?? /2 ( n ? 1) ? 0.1/2 (9 ? 1) ?12?0.1/2 (9 ? 1) 0.0008 0.0008 ( , ) = (0.0000516,0.0002930) (5 分) 15.5 2.73
(2)

(X ?

?
n

u? , X ?

?
n

u? ) = (2.13 ?

0.01 0.01 1.645,2.13 ? 1.645) = 9 9

(2.1245,2.1355) (5 分)
3.一系统是由 n 个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为 0.9 ,且必须至少 有 80% 的部件正常工作,系统才能正常工作,试用中心极限定理计算 n 至少为多大时,才能 使系统正常工作的概率不低于 0.95 ?(6 分)
第 3 页 共 6 页

X ? B(n,0.9)

E X ? 0 . 9n , D X ? 0 . 0( 9 n1 分)
X ? 0.9n ?0.1n 1 ? } ? 1 ? ?( ? n ) (3 分) 3 0.3 n 0.3 n

0.95 ? P { X ? 0.8n} ? P { ?(1.645) ? 0.95 ? ?(

n n ) ? 1.645 ? ? n ? 24.35 ? n取25 (2 分) 3 3

? x, 0 ? x ? 1 ? 4. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?2 ? x,1 ? x ? 2 ,求 X 的分布函数 F(x).(7 分) ? 0, 其他 ?

F ( x ) ? ? 0dt ? 0
??

x

x ? 0; (1 分)
x

F ( x) ? ?

x

??

fdt ? ? tdt ?
0

1 2 x 2

0 ? x ? 1 (2 分)

F ( x) ? ?
F ( x) ? ?

x

??
x

1 x 1 fdt ? ? tdt ? ? 2 ? tdt ? ? x 2 ? 2 x ? 1 0 1 2

1 ? x ? 2 (2 分)

??

fdt ? ?

? ??

fdx ? 1

2 ? x ? ? (2 分)

5. 设随机变量 X 服从 [?2,1] 上的均匀分布, Y ? X ,求 E(Y)和 D(Y).(6 分)
2

EY ? E ( X 2 ) ? DX ? ( EX )2 ?

9 1 ? (? )2 ? 1 (3 分) 12 2

1 1 11 E (Y 2 ) ? E ( X 4 ) ? ? x 4 dx ? ?2 3 5

DY ? E (Y 2 ) ? ( EY )2 ?

6 (3 分) 5

6.某产品整箱出售,每一箱中 5 件产品,若各箱中次品数为 0 件,1 件,2 件的概率分别为 80%,10%,10%,现在从中任取一箱,顾客随意抽查 2 件,如果无次品,则买下该箱 产品,如果有次品,则退货,求: (1) 顾客买下该箱产品的概率; (5 分) (2) 在顾客买下的一箱产品中,确实无次品的概率.(5 分)
第 4 页 共 6 页

(1)

2 2 C3 C4 P ? 0.8 ? 1 ? 0.1 ? 2 ? 0.1 ? 2 ? 0.89 (5 分) C5 C5

(2)

P?

0.8 ? 1 ? 0.898876 (5 分) 0.89
2

7.已知某种产品的某一性能指标 X 服从正态分布 N (72, ? 2 ) ,其中 ? 未知。现从某一天生
2 产的产品中抽取 9 件,其性能指标的样本均值 x ? 67 .4 ,样本方差 s ? 36 。给定检验水平

? ? 0.1 ,从该性能指标抽样结果检验这一天的生产是否正常。 (5 分)
H0 : ? ? 72 H1 : ? ? 72 (1 分)
t? X ?? ~ t ( n ? 1) (1 分) S n

t0.1 (9 ? 1) ? 1.86 (1 分)
| t |?| 67.4 ? 72 |? 2.3 ? 1.86 (1 分) 6 9

不正常(1 分)

8. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,分别以两条流水线上抽取样本: X1 , X 2 , ???, X10
2 及 Y1 , Y2 , ???, Y10 算出 X ? 10.6( g ), Y ? 9.5( g ), S12 ? 2.4, S2 ? 4.8 ,假设这两条流水线上灌

装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 试检验两流水线番茄酱重量的方差有无 显著差异?(显著水平? = 0.05)(5 分)
2 H 0 : ? 12 ? ? 2 2 H 1 : ? 12 ? ? 2 (1 分)

S12 ? 12 F ? 2 2 ? F ( n1 ? 1, n2 ? 1) S2 ? 2
F0.05 2 (10 ? 1,10 ? 1) ? 3.96

(1 分)

F1? 0 . 0 5( 1 ? 1 , 1? 0 2 0

1 ?)

1 / 3? .96

0 253 ( 1. 分)

S12 ? 12 S12 F ? 2 2 ? 2 ? 0.5 S2 ? 2 S2
F1?0.05 2 (10 ? 1,10 ? 1) ? F ? 0.5 ? F0.05 2 (10 ? 1,10 ? 1) (1 分)
无显著差异(1 分)
第 5 页 共 6 页

得分

评阅人

四、证明题(4 分)
?2 X

设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布,证明 Y ? 1 ? e

在区间[0,1]上服从均匀分布。

? 2e ?2 x x ? 0 证:X 的密度为 f X ( x ) ? ? x?0 ?0
x?( 0? , ? ) ? 1 e ?2 x ?
所以 FY ( y ) ?

(0,1)

? 0, y ? 0 P{Y ? y} ? ? ?1, y ? 1


fY ( y ) ? FY' ( y ) ? 0


y ? 0或y ? 1 (1 分)

y ? (0,1) 时,

FY ( y ) ? P {Y ? y } ? P {ln(1 ? y ) ? ?2 x } 1 ? P { X ? ? ln(1 ? y )} 2 1 1 1 fY ( y ) ? FY' ( y ) ? f X ( ? ln(1 ? y )) ?1 2 21? y
证毕。 (3 分)

第 6 页 共 6 页



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