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高一数学必修一竞赛题答案

2014 年华容一中高一数学竞赛试题
班级 一.选择题:(每题 5 分,共 40 分) 姓名 成绩

n 1 1 设集合 A ? {x | x ? , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} ,则下列图形能表示 A 与 B 关系的是( 2 2
A B
B A

)A

A

B

A

B

A. ( C )

B.

C.

D.

2. 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 单 调 递 减 的 奇 函 数 . 若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 则 A. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 C. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 B.

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0

D. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ?

3.对函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 作 x ? h(t ) 的代换,则总不改变函数 f ( x) 的值域的是(A ) A. h(t ) ? log2 t B. h(t ) ? t 2 C. h(t ) ?

1 t

D. h(t ) ? 10 t )B

4. 已知函数 f ( x) 满足 f (ab) ? f (a) ? f (b) ,且 f (2) ? p , f (3) ? q ,那么 f (12) 等于(
A. p ? q B. 2 p ? q C. p ? 2q D. p ? q
2

5.设 M, P 是两个非空集合, 定义 M 与 P 的差集为 M ? P ? x x ? M且x ? P , 则 M ? (M ? P) 等于 (B A. P A. ( 0,3) B. M ? P B.(1,3)
x

?

?



C. M ? P C.(2, 2 3 )

D. M D.(1, 2 3 ) y/m2 8

6 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m 2 )与时间

t (月)的关系: y ? a ,有以下叙述: ① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4 m 2 蔓延到 12m2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等. 其中正确的是( ) D A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②
7.已知 log4 [log3 (log2 x)] ? 0 ,那么 x A.
? 1 2

4 2 1 0 1 2 3 C D.
1 3 3

t/月

等于( C.



1 3

B.

1 2 3

1 2 2

8. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成传输信息,设定原 信息为 a0 a1a2 , ai ? ?0,1? ( i ? 0,1,2 ) ,传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ,其中 h0 ? a0 ? a1 , h1 ? h0 ? a2 , ? 运算 规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 ,1 ? 0 ? 1 ,1 ? 1 ? 0 ,例如原信息为 111,则传输信息为 01111;传输信息在 传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错,则下列接受信息一定有误的是( C ) A. 11010 B.01100 C.10111 D. 01111

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)
9、设集合 ? 1, a ? b, a? ? ?0,

b ? b ? , b? ,则 ? a ? a ?
x ? (??,1) x ? (1, ??)

-1

.

3 ? ? x3 ? 2 x ? 2 10 已知 f(x)= ? 3 ?3 ? ?x ? x

,f[f(0)]= ___

______.

5 2

2 11.若方程 x ? 4 x ? 3 ? x ? a 有三个不相等的实数根,则 a=

? 1或 ?

3 _ 4

12.集合 M

? {x | x ? a x
3

2

?( a ?1) x ? a

, a ? 1} , M

中元素的个数为____2______ -2 93 . .

13. 函数 f(x)=ax +bx+4(a,b 不为零),且 f(5)=10,则 f(-5)等于 3 5 14.已知 a,b,c,d 均为正整数,且 logab= ,logcd= ,若 a-c=9,则 b-d= 2 4

解:a3=b2,c5=d4,设 a=x2,b=x3;c=y4,d=y5,x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9. ∴ x+y2=9,x-y2=1,x=5,y2=4.b-d=53-25=125-32=93.

三、解答题(本大题共 3 小题,各 10 分,满分 30 分)
15 记函数 f ( x) ?
2

1

2x ? 3 数 h( x) ? x ? 2 x ? 4 的值域为集合 C.
(1) 求集合 A, B, C; (2) 求集合 A ? ?C R B ?,

的定义域为集合 A,函数 g ( x) ?

k ?1 在 ?0,?? ? 为增函数时 k 的取值集合为 B,函 x

A∩(B∪C)

3 3 解:(1)由 2x-3>0,得 x> ,∴ A={x|x> };…………2 分 2 2 又由 k ? 1 ? 0 ,得 k ? 1 ,? B ? ?? ?,1? ,…………4 分 而 h( x) ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ? x ? 1? ? 3 ? 3 ,? C ? ?3,?? ? …………6 分
2

(2) A ? ?C R B ? ? ?1,?? ? …………9 分

A∩(B∪C)= ?3,?? ? …………12 分

16, 设函数 f(x)=ax2+bx+1(a≠0,b?R),若 f(-1)=0,且对任 意实数 x(x?R)不等式 f(x)≥0 恒成立。[来源:学 *科*网 Z*X*X*K] (1)求实数 a、b 的值; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值 范围 19. 答案:(1)当 a=0 时,f(x)是一次函数,对后面的条件不成立了。 所以 f(x)是二次函数且和 x 轴只有 一个交点,就是 x=-1 的时候。 a-b+1=0 和(b 的平方-4a) =0 解出来就是答案了。 a=1 b=2

(2)g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,对称轴为 x=-

,

因 g(x)在[-2,2]上单调,故 ∴k 的取值范围为 k≤-2 或 k≥6.

≤-2 或

≥2,

17 已知函数 y ? x ? (1)已知 f ( x) ?

t 有如下性质:如果常数 t ? 0 ,那么该函数 0, t 上是减函数,在 t ,?? 上是增函数。 x

?

?

?

?

4 x 2 ? 12x ? 3 , x ? ?0,1? ,利用上述性质,求函数 f ( x) 的单调区间和值域。 2x ?1

(2)对于( 1 )中的函数 f ( x) 和函数 g ( x) ? ? x ? 2a ,若对于任意的 x1 ? ?0,1? ,总存在 x2 ? ?0,1? ,使得

g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的值。

解析:(1) y ? f ( x) ? 4 x ? 12x ? 3 ? 2 x ? 1 ?
2

2x ?1

4 ?8, 2x ?1

设 u ? 2 x ? 1, x ? ?0,1?,1 ? u ? 3 ,则 y ? u ? 当 1 ? u ? 2, 即0 ? x ?

4 ? 8, u ? ?1,3? ,由已知性质得, u

1 ? 1? 时, f ( x) 单调递减,所以递减区间为 ?0, ? 2 ? 2?

当 2 ? u ? 3, 即

1 ?1 ? ? x ? 1 时, f ( x) 单调递增,所以递增区间为 ? ,1? 2 ?2 ?

由 f (0) ? ?3, f ( ) ? ?4, f (1) ? ?

1 2

11 ,得 f ( x) 的值域为 ?? 4,?3? 3

(2)由于 g ( x) ? ? x ? 2a 为减函数,故 g ( x) ? ??1 ? 2a,?2a?, x ? ?0,1? 由题意, f ( x) 的值域为 g ( x) 的值域的子集,从而有

?? 1 ? 2a ? ?4 ? ?? 2a ? ?3

所以 a ?

3 2



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