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1.2 第3课时 三角形中的几何计算


第3课时 三角形中的几何计算

在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记

为ha,hb,hc,那么它们如何用已知边和角表示?

ha=bsinC=csinB
hb=csinA=asinC

hc=asinB=bsinA

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进

一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积
公式的简单推导和应用.(重点) 2.三角形各种类型的判定方法. (难点)

探究点1 三角形面积公式 1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些? A 在?ABC中,边BC,CA,AB上的高
分别记为h a ,h b ,h c,则有 1 1 1 S ?ABC = ah a = bh b ? ch c 2 2 2

c
hb

hc ha

b

C a D 思考:如何用已知边和角表示三角形的面积?

B

2.已知边角求三角形的面积:
ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinA c ha

A b

B

a D

C

1 根据以前学过的三角形面积公式S ?ABC = ah a 2 1 1 = bh b ? ch c,可以推导出下面的三角形面积公式: 2 2 1 1 1 S= absinC, S= bcsinA,S= acsinB. 2 2 2

例1 在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面 2 cm 积S(精确到0.1 ):

(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为a=41.4cm, b=27.3cm,c=38.7cm. 分析:这是一道在不同的已知条件下求三角形的 面积的问题,与解三角形问题有密切的关系,我 们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么, 尚缺什么,求出需要的元素,就可以求出三角形 的面积.

1 解:(1)应用S = casinB 2 1 S = ×23.5×14.8×sin148.5° ? 90.9(cm 2 ). 2 b c bsinC (2)根据正弦定理, = ,c = , sinB sinC sinB
1 1 2 sinCsinA S = bcsinA = b , 2 2 sinB A = 180° (B + C) = 180° (62.7° + 65.8°) = 51.5°, 1 sin65.8°sin51.5° 2 S = ×3.16 × ? 4.0(cm 2 ). 2 sin62.7°

(3)根据余弦定理的推论,得
c2 + a2 - b2 cosB = 2ca 38.72 + 41.42 - 27.32 = 2×38.7×41.4 ? 0.769 7, sinB = 1- cos2B ? 1- 0.769 72 ? 0.638 4, 1 应用S = casinB,得 2 1 S ? ×38.7×41.4×0.6384 ? 511.4(cm 2 ). 2

例2

如图,某市在进行城市环境建设中,要把一个

三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个
三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这

个区域的面积是多少?(精确到0.1 ㎡)
分析:本题可转化为 已知三角形的三边,

C A B

求角的问题,再利用
三角形的面积公式求 解.

解:设a=68 m,b=88 m,c=127 m, 根据余弦定理的推论,
c2 + a2 - b2 1272 + 682 - 882 cosB = = ? 0.753 2, 2ca 2×127×68

. sinB = 1- cos2B ? 1- 0.753 22 ? 0.657 8.
1 应用S = casinB,得 2 1 S ? ×127×68×0.657 8 ? 2 840.4(m 2 ). 2

答:这个区域的面积是2 840.4 m2 .

探究点2 例3

三角形边角关系应用

在△ABC中,求证:

a 2 + b2 sin 2 A + sin 2 B (1) 2 = . 2 c sin C (2)a 2 + b2 + c2 = 2(bccosA + cacosB + abcosC).

分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的 证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到 用正弦定理和余弦定理来证明.

证明:(1)根据正弦定理,可设
a b c = = =k sinA sinB sinC 显然k≠0,所以 a2 + b2 左边 = c2 k2sin2A + k2sin2B sin 2A + sin 2B = = = 右边. 2 2 2 k sin C sin C

(2)根据余弦定理, 右边=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)
=a2+b2+c2=左边.

探究点3

判断三角形的形状

例4 判断满足下列条件的三角形的形状. (1)acosA = bcosB.
sinA + sinB (2)sinC = . cos A ? cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”

或“化角为边”.

解:(1)由余弦定理得 b2 + c2 - a2 c2 + a2 - b2 a× = b× 2bc 2ca
2 2 2 2 2 2 所以c(a - b) = a4 - b4 = (a2 + b)(a - b),

所以a2 = b2或c2 = a2 + b2 . 根据边的关系得该三角形是等腰三角形或直角三角形.

另解:由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,
所以sin2A=sin2B,

即2A=2B,
所以A=B, 根据边的关系易得是等腰三角形. 思考:为什么两种求解方法答案不同,哪个正确? 哪个错误?为什么?

前一种解法正确. 后一种解法遗漏了一种情况; 因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角 互补,即2A+2B=180°,则A+B=90°.

(2)由已知,sinA + sinB = sinC(cosA + cosB), b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 由正、余弦定理得,a + b = c( + ) 2bc 2ac b2 + c2 - a2 a2 + c2 - b2 所以a + b = + , 2b 2a
2 2 所以2a2b + 2ab2 = a(b2 + c2 - a) + b(a2 + c2 - b),

所以a2b + ab2 = ac2 - a3 + bc2 - b3, 所以a2b + ab2 - ac2 + a3 - bc2 + b3 = 0

2 2 所以ab(a + b) - c(a + b) + (a + b)(a2 - ab + b) =0 2 即(a + b)(a2 + b2 - c) = 0,

又a + b≠0, 所以a2 + b2 - c2 = 0, 所以c2 = a2 + b2,

所以此三角形为直角三角形.

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只

含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并
观察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别

是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至
可以两者混用.

1. (2014·新课标全国卷Ⅱ )钝角三角形 ABC 的面积 是 ,AB=1,BC= A.5 B. 5
1 2

2 ,则

AC=

( D.1

)

C.2

1 1 1 【解析】选 B. 因为 S△ ABC= 2 acsinB= 2 ? 2 ?1 ·sinB= 2 ,

所以 sinB=

2 2

,所以 B=

?

3? 4或 4

.当 B= 4 时 ,经计算△ ABC
3? B= 4

?

为等腰直角三角形 , 不符合题意 , 舍去 . 所以 用余弦定理 ,b =a +c -2accosB,解得 b=
2 2 2

,使

5 .故选

B.

2.(2013· 陕西高考)设Δ ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若bcosC + ccosB = asinA,则Δ ABC的形 状为 ( ) B.锐角三角形 D.不确定 A.直角三角形 C.钝角三角形

分析:在含有边角关系式三角函数恒等变形中,
利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式或

利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是
判断三角形形状的两个转化方向.

【解析】选A.因为 bcosC + ccosB = asinA

所以由正弦定理得

sinBcosC +sinCcosB = sin A,所以sin(B + C)= sin A sinA = sin2A sinA = 1
所以三角形ABC是直角三角形.

2

2

【解析】由题知, BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos A ,
2 12 ? AB ? 16 ? 2 ? 4 ? AB ? 即

1 2 ,解得 AB ? 2 ,

所以 S ?

1 AB ? AC ? sin A ? 2 3 . 2

答案 : 2 3

1 4.在Δ ABC中,已知tanB = 3,cosC = ,AC = 3 6, 3 求Δ ABC的面积 解:设AB,BC,CA的长分别为c,a,b

3 1 由tanB = 3得B = 60°,所以sinB = ,cosB = , 2 2 2 2 又sinC = 1- cos C = , 3
2

2 2 3 6× bsinC 3 = 8. 由正弦定理得,c = = sinB 3 2

所以sinA = sin(B + C) = sinBcosC + cosBsinC 3 1 1 2 2 3 2 = × + × = + , 2 3 2 3 6 3 故SΔABC 1 = bcsinA = 6 2 + 8 3. 2

5. ( 2014·山东高考)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的 边分别是 a,b,c .已知 a ? 3,cos A ? (1)求 b 的值. (2)求 ?ABC 的面积 .
2 sin A ? 1 ? cos A? 【解析】(1)由题意知:

6 ? ,B ? A ? . 3 2

3 3 ,

?? ? ? 6 ? sin B ? sin ? A ? ? ? sin A cos ? cos A sin ? cos A ? 2? 2 2 3 , ? a b a ? sin B ? ? b ? ?3 2. 由正弦定理得: sin A sin B sin A

(2)由余弦定理,得
b2 ? c 2 ? a 2 6 cos A ? ? ? c 2 ? 4 3c ? 9 ? 0 ? c1 ? 3, c2 ? 3 3, 2bc 3

? 又因为 B ? A ? 2 为钝角,所以 b ? c ,即 c ? 3 ,

所以

S

ABC

1 3 2 ? ac sin B ? . 2 2

1.三角形面积公式:
1 1 1 S= absinC, S= bcsinA,S= acsinB. 2 2 2

2.确定三角形的形状

利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”或
“化角为边”.

为了向别人,向世界证明自己而努力拼搏,
而一旦你真的取得了成绩,才会明白:人无须

向别人证明什么.只要你能超越自己.


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