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2017-2018学年高中数学 第一章 计数原理阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修2-3

第一章 计数原理

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.小王有 70 元钱,现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡,若他至少买一张,

则不同的买法共有( )

A.7 种

B.8 种

C.6 种

D.9 种

解析:选 A 要完成的一件事是“至少买一张 IC 电话卡”,分 3 类完成:买 1 张 IC 卡,

买 2 张 IC 卡,买 3 张 IC 卡.而每一类都能独立完成“至少买一张 IC 电话卡”这件事.买

1 张 IC 卡有 2 种方法,买 2 张 IC 卡有 3 种方法,买 3 张 IC 卡有 2 种方法,共有 2+3+2

=7 种不同的买法. 2.若 A3m=6C4m,则 m 等于( ) A.9

B.8

C.7

D.6

解析:选 C 由 m(m-1)(m-2)

m =6·

m- m- m- 4×3×2×1

,解得 m=7.

3.已知集合 A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}.现在从这三个集合中取出两个集

合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合,则一共可以组成集

合的个数为( )

A.24

B.36

C.26

D.27

解析:选 C C14C13+C14C12+C13C12=26.

4.(山东高考)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )

A.243

B.252

C.261

D.279

解析:选 B 0,1,2,…,9 共能组成 9×10×10=900 个三位数,其中无重复数字的三

位数的个数共有 9×9×8=648,∴有重复数字的三位数的个数共有 900-648=252.

5.(辽宁高考)使???3x+x 1 x???n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为(

)

A.4

B.5

C.6

D.7

解析:选 B

由二项式定理得,Tk+1=Ckn(3x)n-k·???x

1

x???k=Ckn3n-kx

n-5 2

k

,令

n-52k=0,

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当 k=2 时,n=5,此时 n 最小.

6.五种不同商品在货架上排成一排,其中 A,B 两种必须连排,而 C,D 两种不能连排,

则不同排法共有( )

A.12

B.20

C.24

D.48

解析:选 C 先排除 C,D 外的商品,利用捆绑法,将 A,B 看成一个整体,有 A22A22种排 法,再将 C,D 插空,共有 A22A22A23=24 种排法.
7.从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数,但当三个数字

中有 2 和 3 时,2 必须排在 3 前面(不一定相邻),这样的三位数有( )

A.108 个

B.102 个

C.98 个

D.96 个

解析:选 A 从 1,2,3,4,5,6 这六个数字中,任取三个组成无重复数字的三位数共有 A36 个,3 在 2 前的数字有 C12C14+C14=12,所以满足 2 必须排在 3 前面(不一定相邻)的三位数有 108 个.
8.(浙江高考)在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)

+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)等于( )

A.45

B.60

C.120

D.210

解析:选 C 由题意知,f(3,0)=C36C04,f(2,1)=C26C14,f(1,2)=C16C24,f(0,3)=C06C34, 因此 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=120,选 C.

9.???x2-21x???9 的展开式中的常数项是(

)

A.84

B.1261

C.614

D.-2116

解析:选 B Tr+1=Cr9???-21x???r(x2)9-r=Cr9???-12???rx18-3r,由 18-3r=0,

解得 r=6,因此常数项为 C69???-12???6=1261.

10.形如 45 132 的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的

数字大,则由 1,2,3,4,5 可构成不重复的五位“波浪数”的个数为( )

A.20

B.18

C.16

D.11

解析:选 C 由题可知,十位和千位只能是 4,5 或 3,5,若十位和千位排 4,5,则其他

2
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位置任意排 1,2,3,这样的数的个数有 A22A33=12;若十位和千位排 5,3,这时 4 只能排在 5 的一边且不能和其他数字相邻,1,2 在其余位置上任意排列,则这样的数的个数有 A22A22=4, 综上,共有 16 个.

11.如果????3x-

1 ??n 3 x2??

的展开式中各项系数之和为

1 128,则展开式中x3的系数是(

)

A.7

B.-7

C.21

D.-21

解析:选 C 由题意知 2n=128,∴n=7.

设二项式????3x-

1 ??7 3 x2??

的展开式中第

r+1

1 项为含x3的项.则

Tr+1=Cr7·37-r·(-1)r·x7

-53r,

令 7-53r=-3,得 r=6.

1 ∴x3的系数为

C67·37-6(-1)6=21.

12.如图所示,环形花坛分成 A,B,C,D 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块

地种 1 种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( )

A.96

B.84

C.60

D.48

解析:选 B 分三种情况讨论.①种四种颜色的花:有 A44种种法.②种三种颜色的花: 若 A,C 同色,有(4×A23)种种法;若 B,D 同色,有(4×A23)种种法.③种两种颜色的花:只 能是 A,C 同色,B,D 同色,有(4×3)种种法.综上可知,一共有 A44+4×A23+4×A23+4×3 =84 种不同的种法.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.???x2+1x???9 的展开式中常数项为________.(用数字作答) 解析:∵Tr+1=Cr9x18-3r(r=0,1,2,…,9),令 18-3r=0,得 r=6,∴常数项为 T7=C69
=84.

答案:84

14.(浙江高考)将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧,则不

同的排法共有________种.(用数字作答)

解析:“小集团”处理,特殊元素优先,共有 C36C12A22A33=480 种不同的排法. 答案:480

15.5 名大人要带两个小孩排队上山,小孩不排在一起也不排在头、尾,则共有________

3
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种排法.(用数字作答) 解析:先让 5 名大人全排列,有 A55种排法,两个小孩再依条件插空,有 A24种方法,故共
有 A55A24=1 440 种排法. 答案:1 440 16.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=________. 解析:由通项可知,(1-3x)9 的展开式中含 x 的奇次幂的项的系数的符号均为负,所以
|a0|+|a1|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,因而在(1-3x)9=a0+a1x+…+a9x9 中令 x=- 1,可得结果.
答案:49 三、解答题(共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)若???x+1x???n 的展开式中的所有二项式系数之和为 64,求展开式中
二项式系数最大的项.
解:由题意知 2n=64,所以 n=6,所以???x+1x???6 的展开式中二项式系数最大的项为 T4= C36·x3·???1x???3=C36=20.
18.(本小题满分 12 分)有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方 法总数.
(1)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (2)全体站成一排,甲不站排头也不站排尾; (3)全体站成一排,女生必须站在一起; (4)全体站成一排,男生互不相邻. 解:(1)共有 A77=5 040 种方法. (2)甲为特殊元素.先排甲,有 5 种方法,其余 6 人有 A66种方法,故共有 5×A66=3 600 种方法. (3)(捆绑法)将女生看成一个整体,与 3 名男生在一起进行全排列,有 A44种方法,再将 4 名女生进行全排列,有 A44种方法,故共有 A44×A44=576 种方法. (4)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求,所以应先排女生,有 A44种方法,再在女生 之间及首尾空出的 5 个空位中任选 3 个空位排男生,有 A35种方法,故共有 A44×A35=1 440 种 方法.
19.(本小题满分 12 分)已知???2 xi+x12???n,i 是虚数单位,x>0,n∈N*. (1)如果展开式中的倒数第 3 项的系数是-180,求 n 的值; (2)对(1)中的 n,求展开式中系数为正实数的项.
4
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解:(1)由已知得,Cnn-2(2i)2=-180, 即 4C2n=180,所以 n2-n-90=0, 又 n∈N*,解得 n=10.

(2)???2

xi+x12???10 展开式的通项为 Tk+1=Ck10·(2

xi)10-kx-2k=Ck10(2i)10-kx

5-5 k 2

.

因为系数为正实数,且 k∈{0,1,2,…,10},

所以 k=2,6,10.所以所求的项为 T3=11 520,T7=3 360x-10,T11=x-20. 20.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|1<log2x<3,x∈N*},B={4,5,6,7,8}. (1)从 A∪B 中取出 3 个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?

(2)从集合 A 中取出 1 个元素,从集合 B 中取出 3 个元素,可以组成多少个无重复数字

且比 4 000 大的自然数?

解:由 1<log2x<3,得 2<x<8,又 x∈N*, 所以 x 为 3,4,5,6,7,

即 A={3,4,5,6,7},

所以 A∪B={3,4,5,6,7,8}.

(1)从 A∪B 中取出 3 个不同的元素,可以组成 A36=120 个三位数. (2)若从集合 A 中取元素 3,则 3 不能作千位上的数字,有 C35·C13·A33=180 个满足题意

的自然数;

若不从集合 A 中取元素 3,则有 C14·C34·A44=384 个满足题意的自然数. 所以,满足题意的自然数的个数共有 180+384=564.

21.(本小题满分 12 分)已知(1+2 x)n 的展开式中,某一项的系数恰好是它前一项系

5 数的 2 倍,而且是它后一项系数的6,求展开式中二项式系数最大的项.

解:由题意设展开式中第 k+1 项系数是第 k 项系数的 2 倍,是第 k+2 项系数的56,

??Ckn·2k=2Cnk-1·2k-1, ∴???Cnk·2k=56Ckn+1·2k+1.

解得 n=7. ∴展开式中二项式系数最大的项是第 6 项,C5725=672.

22.(本小题满分

12

分)已知二项式??? 3 ?

x- 2

1 3

? ?n x??

的展开式中,前三项系数的绝对值成

等差数列.

(1)求展开式的第 4 项;

5
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(2)求展开式的常数项.

解:因为第 1,2,3 项系数的绝对值分别为 C0n,C21n,C42n,所以 C0n+C42n=C21n×2,

即 n2-9n+8=0,n≥2.解得 n=8.

(1)第

4



T4=C38( 3

x)5????-2

1 3

x????3=-7x23.

(2)通项公式为

Tk+1=Ck8( 3

x)8-k????-2

1 3

x????k=

Ck8???-12???k·(3 x)8-2k=Ck8???-12???kx8-32k.

2k-8 令 3 =0,得

k=4.

所以展开式中的常数项为 T5=C48???-12???4=385.

6
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