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2019年高中数学第一章空间几何体1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积课件新人教A版必修2_图文

1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

课标要求:1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积的 求法.2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台的表面 积公式进行计算和解决有关实际问题.3.培养空间想象能力和思维能力.

自主学习
知识探究
1.柱体、锥体、台体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各 个面的 面积 和. (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式

几何体 圆柱

侧面展开图

表面积公式 rS为圆柱=底2π面r半(r径+l),, l为_侧__面__母__线__长____

圆锥 圆台

S圆锥=π r(r+l), r为 底面半径 ,
l为__侧__面__母__线__长____

S圆台=π (r′2+r2+r′l+rl) r′为 上底面半径 ,

r为

下底面半径 ,

l为____侧__面__母__线__长_____

2.柱体、锥体与台体的体积公式

几何体 柱体 锥体
台体

体积 V 柱体=Sh V = 锥体 1 Sh
3 V = 台体 1 (S′+
3 S?S +S)h

说明 S 为柱体的 底面积 ,h 为柱体的 高 S 为锥体的 底面积 ,h 为锥体的 高
S′,S 分别为台体的 上、下底面面积 ,h 为台体的 高

自我检测(教师备用)

1.已知圆锥的母线长为5,底面周长为6π ,则它的体积为( D ) (A)36π (B)30π (C)24π (D)12π

2.若圆台的高为4,母线长为5,侧面积为45π ,则圆台的上、下底面的面积

之和为( C )

(A)9π

(B)36π

(C)45π (D)81π

3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )

(A)12π
(C)8π
3

(B)8π
(D) 20π
3

4.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积是( B )

(A)32 (C)48

(B)16+16 2 (D)16+32 2

5.已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开扇形的圆心角



.

答案:180°

课堂探究

题型一 空间几何体的表面积

【例1-1】 将圆心角为120°,面积为3π 的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的

表面积为

.

解析:设圆锥的母线长为 l,半径为 r,因为 120°= 360o ,所以 1 πl2=3π,所以 l=3,

3

3

又 2πr= 1 ×2πl,所以 r= l =1,所以 S 圆锥表=πr2+3π=4π.

3

3

答案:4π

【1-2】 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )

(A)1+ 3 (C)2+ 3

(B)1+2 2 (D)2 2

解析:在长,宽,高分别为 2,1,1 的长方体中,所求四面体即为如图所示的三棱锥

P-ABC,其表面积为 1 ×2×1×2+ 3 ×( 2 )2×2=2+ 3 .故选 C.

2

4

方法技巧 (1)多面体的表面积转化为各面面积之和. (2)解决有关棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角 梯形中去解决;二是把棱台还原成棱锥,利用棱锥的有关知识来解决. (3)旋转体中,求面积应注意侧面展开图,上下面圆的周长是展开图的弧长. 圆台通常还要还原为圆锥.

即时训练1-1:(1)圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆

柱的侧面积是( )

(A)4π S (B)2π S (C)π S

(D)2 3 π S
3

解析:(1)设圆柱的底面半径为 r,则 S=πr2,于是 r= S ,底面周长为 2π· S ,

π

π

又因为侧面展开图为正方形,所以母线长 l=2π· S ,故圆柱侧面积 S 侧=2π π

rl=2π· S ·2π S =4πS.故选 A.

π

π

(2)一个几何体的三视图及尺寸如图所示,其中正视图、侧视图都是等腰三 角形,俯视图是圆,则该几何体的表面积是( ) (A)12π (B)14π (C)16π (D)28π
解析:(2)由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径为 2,高为 4 2 ,从而
? ? 母线长 l= 4 2 2 ? 22 =6,于是圆锥的表面积 S=π×2×6+π×22=16π,选 C.

题型二 空间几何体的体积 【例2-1】 (12分)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16 2π ,求 圆锥的体积.

规范解答:设圆锥的底面半径是 r,母线为 l. ………………1 分

因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形.

所以 2r= l2 ? l2 ,即 l= 2 r. ………………………………3 分 由题意得,侧面积 S 侧=πrl= 2 πr2=16 2 π, 解得 r=4.………………………………………………………5 分

所以 l=4 2 ,圆锥的高 h= l2 ? r2 =4. ………………………9 分

所以圆锥的体积 V= 1 Sh= 1 ×π×42×4= 64π .…………12 分

33

3

变式探究:例 2-1 中将条件“侧面积是 16 2 π ”改为“若其体积为 3 π ”,求此 圆锥的侧面积是多少?

解:设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h,则由题意得 l= 2 r,h=r,

因为 V 圆锥= 1 πr2·h= 1 πr2·r= 3 π,

3

3

所以 r= 3 ,l= 6 , 所以 S 圆锥侧=πrl=π× 3 × 6 =3 2 π.

【2-2】 如图,圆台高为3,轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°, 轴截面中一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.

解:作轴截面 A1ABB1,设上、下底面半径,母线长分别为 r,R,l,作 A1D⊥AB 于点 D.



A1D=3,∠A1AB=60°,所以

AD=

A1D tan 60o

=

3,

所以 R-r= 3 ,BD=A1D·tan 60°=3 3 , 所以 R+r=3 3 ,所以 R=2 3 ,r= 3 ,h=3.

所以 V = 圆台 1 π(R2+Rr+r2)h= 1 π×[(2 3 )2+2 3 × 3 +( 3 )2]×3=21π.

3

3

方法技巧 (1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法:直接代入公式求解. ②等积法:如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和 高都易求的形式即可. ③分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积. (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算,一般要找出相应的底面和高,要充分利用截 面、轴截面,求出所需要的量,最后代入公式计算.

即时训练2-1:一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A) π
2

(B)π

(C)2π (D)2π

3

解析:由三视图可知,该几何体是一个半圆柱,其中该圆柱的底面半径为 1,高为 2,于是其体积 V= 1 ×π×12×2=π,选 B.
2

2-2:(1)在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱的中点的平面

截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是

.

(1)解析:截去的 8 个三棱锥的体积相等,由正方体的体积为 1,截去的 8 个三棱 锥的体积之和为 8× 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1 ,故剩下的凸多面体的体积为
3 2 2 2 26
1- 1 = 5 . 66
答案: 5 6

(2) 如 图 所 示 , 梯 形 ABCD 中 ,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a, BC=2a,∠DCB= 60°,在平面ABCD内过点C作l⊥CB,以l为轴旋转一周.求旋转体的表面 积和体积.

(2)解:在梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,

所以 CD= BC ? AD =2a,AB=CDsin 60°= cos 60o

3 a,

所以 DD′=AA′-2AD=2BC-2AD=2a,

所以 DO= 1 DD′=a. 2

由题易知以 l 为轴将梯形 ABCD 旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置 的且与圆柱等高的圆锥.由上述计算知,圆柱的母线长为 3 a,底面半径为 2a; 圆锥的母线长为 2a,底面半径为 a. 所以圆柱的侧面积 S1=2π·2a· 3 a=4 3 πa2, 圆锥的侧面积 S2=π·a·2a=2πa2,圆柱的底面积 S3=π(2a)2=4πa2, 圆锥的底面积 S4=πa2,所以组合体上底面面积 S5=S3-S4=3πa2, 所以旋转体的表面积 S=S1+S2+S3+S5=(4 3 +9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积,且 V 柱

=π·(2a)2· 3 a=4 3 πa3,V 锥= 1 ·π·a2· 3 a= 3 πa3,

3

3

所以旋转体的体积 V=V 柱-V 锥=4 3 πa3- 3 πa3= 11 3 πa3.

3

3

题型三 组合体的表面积与体积 【例3】 如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm). (1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
解:(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)求这个几何体的表面积及体积.
解:(2)这个几何体可看成是正方体 AC1 及三棱柱 B1C1Q-A1D1P 的组合体. 由 PA1=PD1= 2 ,A1D1=AD=2, 可得 PA1⊥PD1. 故所求几何体的表面积 S=5×22+2× 1 ×2×1+2× 2 ×2=22+4 2 (cm2),
2 所求几何体的体积 V=23+ 1 ×( 2 )2×2=10(cm3).
2

方法技巧 求组合体表面积与体积时应注意的问题 (1)首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求其 面积,然后把这些面的面积相加或相减;求体积时也要先弄清组成,求出 各简单几何体的体积,然后再相加或相减. (2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)” 与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义,以确保不重复、不遗漏.

即时训练3-1:一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积



m3.

解析:由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底 面半径和圆柱的底面半径均为 1,两个圆锥的高均为 1,圆柱的高为 2.因此该几

何体的体积为 V=2× 1 π×12×1+π×12×2= 8 π(m3).

3

3

答案: 8 π

3

3-2:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F是BD上的动点,P是AD1上的动点,则 ()

(A) VC ?C1EF = VA?C1EF = VP?C1EF (C) VC ?C1EF = VA?C1EF > VP?C1EF

(B) VC ?C1EF = VA?C1EF < VP?C1EF (D) VC ?C1EF < VA?C1EF < VP?C1EF

解析:如图(1), VC?C1EF

= VC1?CEF

=1 3

S△CEF·AA1.

如图(2),在平面 ABCD 中,点 A 到 BD 的距离与点 C 到 BD 的距离相等.S△AEF=S△CEF.

VA?C1EF

= VC1? AEF

=

1 3

S△AEF·AA1.如图(3),点

P



AD1 上的点,当点

P



A

重合时, VP?C1EF

= VA?C1EF

.

由于 A 到平面 C1EF 的距离等于 P 到平面 C1EF 的距离 所以 VP?C1EF = VA?C1EF ,选 A.

(1) (2) (3)



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