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《高考调研》2015人教版高中数学必修5课件3-3-2-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题_图文

第三章 不等式

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题(第二课时) 线性规划的实际应用

授人以渔 课后巩固 课时作业

授人以渔

题型一 最值问题
例1 某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超 过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的 广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个 电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别 为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的 广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?

【解析】

设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y 分钟,总收益为z元.由题意得
?? x+y≤300, ?500x+200y≤90 000, ??x≥0,y≥0,
目标函数为z=3 000x+2 000y. 二元一次不等式组等价于

?? x+y≤300, ?5x+2y≤900, ??x≥0,y≥0,
作出二元一次不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图所示. 作直线l:3 000x+2 000y=0,即3x+2y=0. 平移直线l,从图中可知,

当直线l过M点时,目标函数取得最大值. 联立?????x5+x+y=2y3=009,00. 解得x=100,y=200. ∴点M的坐标为(100,200) ∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元). 该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广 告,公司的收益最大,最大收益是70万元.

探究1 解线性规划应用题的步骤:①审题(需要时可列表分 析);②设相关变元,列出目标函数和线性约束条件(不等式 组);③作图,确定可行域;④找最优解,求出目标函数的最 值;⑤回答实际问题.

思考题1 某企业生产A、B两种产品,每生产一吨产品所需

要的劳动力和煤、电如下表:

产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(度)

A产品

3

9

4

B产品

10

4

5

已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润

是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360

吨,并且供电局只能供电200度,试问该企业生产A、B两种产品

各多少吨时,才能获得最大利润?最大利润为多少?

【解析】 设生产A、B两种产品各为x,y吨,利润为z万 元.

??3x+10y≤300, ?9x+4y≤360, 由题意得??4x+5y≤200, ??x≥0,y≥0,
z=7x+12y. 作出不等式组表示的平面区域(如图). 将目标函数z=7x+12y转化为直线l:y=-172x+1z2. 这是一条斜率为-172,在y轴上的截距为1z2的直线,

当z变化时,可以得到一族平行直线.

直线与阴影部分的交点满足不等式组,且当截距

z 12

最大时,

目标函数取得最大值.

由图可知,当直线l经过M点时,

在y轴上的截距最大,此时z取最大值.

由?????34xx++150y=y=203000,, 得?????xy==2204,, 即A(20,24). 故zmax=20×7+12×24=428(万元).

答:该企业生产A产品20吨,B产品24吨时,可以获得最大利 润,最大利润为428万元.

【讲评】 解线性规划应用题,要认真审清题意,获得准 确的线性约束条件,准确作图,利用图解法求得结论.

题型二 最优整数解问题

例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每

张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:

钢板类型

规格类型 A规格 B规格 C规格

第一种钢板

2

1

1

第二种钢板

1

2

3

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各 截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品,且使所用钢板张 数最少?
【思路分析】 设变量,列出线性约束条件,画出可行域, 可用不同的方法求整点最优解.

【解析】 设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张.

??2x+y≥15, 可得???xx+ +23yy≥ ≥1287, ,
??x≥0,y≥0,

且x、y都是整数.

求目标函数z=x+y取最小值时的x、y.

作可行域如图所示,平移直线z=x+y可知直线经过点(

18 5



39 5

),此时x+y=

57 5

,但

18 5



39 5

都不是整数,所以可行域内的点

(158,359)不是最优解,如何求整点最优解呢?

方法一 平移求解法

首先在可行域内打网格,其次描出A(

18 5



39 5

)附近的所有整

点,接着平移直线l:x+y=0,会发现当移至B(3,9)、C(4,8)时,

即z的最小值为12.

方法二 特值验证法

由方法一知,目标函数取得最小值的整点应分布在可行域的

左下侧靠近边界的整点,依次满足条件的整点A0(0,15), A1(1,13),A2(2,11),A3(3,9),A4(4,8),A5(5,8),A6(6,7),A7(7,7), A8(8,7),A9(9,6),A10(10,6),…,A27(27,0).

将这些点的坐标分别代入z=x+y,求出各个对应值,经验 证可知,在整点A3(3,9)和A4(4,8)处z取得最小值,
其解法的思路是找整点、验证算、选优解. 方法三 调整优值法 由非整点最优解(158,359),z=557,∴z≥12. 令x+y=12,y=12-x代入约束条件整理得3≤x≤92,∴x=3 和x=4,这时最优整点为(3,9)和(4,8).

调整优值法的解法思路是先求非整点最优解,再借助不定方 程的知识调整最优解,最后筛选出整点最优解.
答:本例有两种截法. 第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张; 第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张. 两种方法最少要截两种钢板共12张.

探究2 对于线性规划中的最优整数解问题,当解方程得到 的解不是整数解时,常用下面的一些方法求解:
(1)平移直线法:先在可行域中画网格,再描整点,平移直 线l,最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解.
(2)检验优值法:当可行域中整点个数较少时,可将整点坐 标逐一代入目标函数求值,经过比较得出最优解.
(3)调整优值法:先求非整点最优解,再借助于不定方程知 识调整最优值,最后筛选出整点最优解.

思考题2 配制两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配剂 A种药需要甲料3毫克,乙料5毫克;配剂B种药需甲料5毫克,乙 料4毫克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若A、B两种药至少各 配一剂,问最多能各配几剂?

【解析】 设A、B两种药分别能配x,y剂,x,y∈N+,

??x≥1, ?y≥1, 则有不等式组??3x+5y≤20, ??5x+4y≤25

??x≥1, ?y≥1, ????y≤-35x+4, ???y≤-54x+245.

符合条件的解集是以直线x=1,y=1,y=-35x+4,y=-54x



25 4

为边界所围成的区域(如图中的阴影部分),这个区域内的整

数点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).

所以,在保证A,B两种药至少各配一剂的条件下,A种药最 多配四剂,B种药最多配三剂.

【讲评】 正确画出可行域,从可行域中找出整数点解, 可知当B种药保证一剂时,A种药可最多配4剂,同理B种药最多 配3剂,应正确理解整数点解的含义.

课后巩固

1.配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料,用料要求如 下表所示(单位:kg)
原料 甲乙
药剂

A

2

5

B

5

4

药剂A、B至少各配一剂,且药剂A、B每剂售价分别为100

元、200元,现有原料甲20 kg,原料乙33 kg,那么可以获得的

最大销售额为( )

A.600元

B.700元

C.800元

D.900元

答案 D

2.某电视台每周播放甲、乙两部连续剧,播放连续剧甲一

次需80分钟,有60万观众收看,播放连续剧乙一次需40分钟,

有20万观众收看.已知电视台每周至少播出电视剧6次,总时间

不超过320分钟,则电视台最高收视率为每周观众有( )

A.300万人

B.200万人

C.210万人

D.220万人

答案 B

3.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量 为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运 往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次.派 用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派 用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该 公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润为 ()

A.4 650元 C.4 900元
答案 C

B.4 700元 D.5 000元

4.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设 备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产 A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200 元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产 品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为________元.
答案 2 300

5.某验室至少需要某种化学药品10 kg,现在市场上出售的 该药品有两种包装,一种是每袋3 kg,价格为12元;另一种是每 袋2 kg,价格为10元.由于保质期的限制,每一种包装购买的数 量都不能超过5袋,则在满足需要的条件下,花费最少为 ________元.
答案 44

课时作业(二十八)



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