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河南省郑州市2012-2013学年高二下学期期末考试(数学文)扫描版


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参考答案

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一、选择题 1---12 BBCBB DDAAD CC

二、填空题 13. 1 ; 14. i ;

( 15.

4 ? R3) =4? R 2 ? ;16.(4-1)4; 3
(4-5)4.

(4-4) 6? 2 cos2? ? 7? 2 sin 2? ? 8 ;

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(10 分) 解:⑴由题意 ?

?a 2 ? a ? 3b ? 0, ?? a ? 2 ? 0,

解之得 ?

?a ? 2, ?b ? ?2,
-------5 分

所以 z ? 2 ? 2i 为所求. ⑵由⑴得 z ? 所以

m m m(1 ? i ) ? 2 ? 2i ? ? 2 ? 2i ? ?R , z 2 ? 2i 4
-------10 分

m ? 2 ? 0 ,即 m ? 8 为所求. 4

18.(本题满分 12 分) (4-1)(1)证明:在△ADC 和△BEC 中, ∵∠ADC=∠BEC=90°,∠C=∠C,∴△ADC∽△BEC, ∴

AC AD 5 ? ? . BC BE 6

∵AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 的高线, ∴BC=2BD,又 AB=AC, ∴

AC AB 5 AB 5 ? ? , ? . BC 2 BD 6 BD 3

…………………6 分

5 (2)设 BD=x,则 AB= x, 3 在 Rt△ABD 中,∠ADB=90°, 根据勾股定理,得 AB2=BD2+AD2, 5 2 2 2 ∴?3x? =x +10 ,解得 x=7.5. ? ? 5 ∴BC=2x=15,AB=AC= x=12.5, 3 ∴△ABC 的周长为 40cm.
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…………………10 分

…………………12 分
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?? 3 ? (4-4)解∵圆 C 圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 ? ?? 3 ? ∴在 ? sin ? ? ? ? ? ? 中令? =0 ,得 ? ? 1 , …………………3 分 3? 2 ?
∴圆 C 的圆心坐标为(1,0), …………………6 分 ∵圆 C 经过点 P

?

2,

? , 4

?

∴圆 C 的半径为 PC ?

? 2?

2

? 12 ? 2 ? 1 ? 2 cos

?
4

=1 , …………………9 分

∴圆 C 经过极点.∴圆 C 的极坐标方程为 ? =2cos? . …………………12 分 (4-5) 证 : 因为 x, y 皆为正数, 所以原不等式等价于 (

x y ? ) xy ? ( x ? y ) xy , y x

即 x x ? y y ? x y ? y x ,整理得 当 x ? y ? 0 时, x ? y ,则 x ? 当 x ? y ? 0 时, x ? y ,则 x ?

?

x? y

? ? x ? y ? ? 0 .…………4 分

y , x ? y ? 0 ,所以上式成立; y , x ? y ? 0 ,上式也成立.

综上知,原不等式成立.…………12 分 本题可用综合法,分析法,等方法. 19. 解:⑴随机抽查这个班的一名学生,共有 50 种不同的抽查方法, 其中积极参加班级工作的学生有 18+6=24 人,即有 24 种不同的抽法, 由古典概型的计算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是 P ? 1 同理可得,抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的概率是

12 , 25

P2 ?
2

19 . 50

-----4 分

50 ? (18 ?19 ? 6 ? 7) 2 ? 11.538 ,------8 分 ⑵由 K 统计量的计算公式得: K ? 24 ? 26 ? 25 ? 25
2

由于 11.538? 10.828 ,所以有 99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关 系”. --------12 分 20. (1) a1 ? 1, a2 ? (2) an ?

2 ? 1, a3 ? 3 ? 2 ;…………6 分

n ? n ? 1 ;…………8 分
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(3) S n ?

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n ..…………12 分

21. 解:(1)由数据求得, x =12, y =27,…………3 分
? 5 ? ^ 由公式求得: b = , a = y -b x =-3. …………8 分 2

? 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y = x-3. …………9 分 2

^ 5 (2)当 x=10 时,y= ×10-3=22,|22-23|<2; 2 ^ 5 当 x=8 时,y= ×8-3=17,|17-16|<2. 2 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.…………12 分 22.(4-1) (Ⅰ)证明: AB 为直径,? ?ACB ?
P C

?
2

, ?CAB ? ?ABC ?

?
2


A E

? ?PAC ? ?ABC ? ?PAC ? ?CAB ?

?
2

.

.

O

B

? PA ? AB, AB 为直径,? PA 为圆的切线.………… 4 分
D

(Ⅱ) CE ? 6k , ED ? 5k , , AE ? 2m, EB ? 3m ,

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k ,
? ?AEC ∽ ?DEB ?

BD 3m ? ? BD ? 4 5 . 8 6k

? ?CEB ∽ ?AED ?

BC 2 25m 2 ? 64 3k 2 2 5 . ? ? ( ) ? m ? 2, k ? 2 2 m 5 AD 25m ? 80 BD 4 5 2 5 . ? ? AB 10 5

? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB 中 sin ?BAD ?

? ?BCE ? ?BAD ? sin ?BCE ?

2 5 .…………………… 12 分 5

(4-4) 解:设 P(4cos ?1,2sin ?1 ) , Q(4cos ?2 , 2sin ?2 ) ,

? kOP ?kOQ ? ?

1 2sin ?1 2sin ?2 1 ,? ? ?? , 4 4cos ?1 4cos ?2 4

? ? cos(?1 ? ?2 ) ? 0,??1 ? ?2 ? k ? ? , k ? ?, 2 2 2 2 2 ? sin ?1 ? cos ?2 , cos ?1 ? sin ?2 ,
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2 2 2 2 2

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? OP | ? | OQ |? 16cos ?1 ? 4sin ?1 ? 16cos ?2 ? 4sin ?2 ? 20 .………………6 分 |

(2)设线段 PQ 的中点为 ( x, y ) ,则 ?

? x ? 2(cos ?1 ? cos ?2 ), ? y ? sin ?1 ? sin ?2 ,

x2 ? ? y 2 ? (cos ?1 ? cos ?2 ) 2 ? (sin ?1 ? sin ?2 ) 2 ? 2 ? 2cos(?1 ? ?2 ) ? 2. 4

? 线段 PQ 的中点的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ………………12 分 8 2

(4-5) (1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0, ,即 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0, 当 a ? 1 时,不等式的解集是 (??, 2) ? (2, ??). 当 a ? 1 时,不等式的解集为 R ; 当 a ? 1 时,即 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0, 即 x ? a ? 1 或者 x ? 3 ? a, ………………6 分 (2)函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,即 x ? 2 ? ? | x ? 3 | ? m 对任意实数 x 恒成立.即

| x ? 2 | ? | x ? 3 ? m 对任意实数 x 恒成立.
由于 | x ? 2 | ? | x ? 3 ?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 , 故只要 m ? 5. 所以 m 的取值范围是 (??,5). . ………………12 分

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