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高三数学《函数与导数》测试题(理科)及答案


高三数学《函数与导数》测试题(理科)
一.选择题
1. 设 f :x ? x A. ?
2

是集合 A 到集合 B 的映射, 若 B ? ?1,2? , 则 A? B 为 B.{1} C. ? 或{2} D. ? 或{1}

(

)

2.函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 A. (-1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (1,e)





a 3. 若函数 f ( x) ? loga ( x2 ? ax ? 3) 在区间 (??, ] 上为减函数, 则 a 的取值范围是 2
A.(0,1) 4.若 g ( x) ? ? B.(1,+∞) C.(1,2 3)

(

)

D.(0,1)∪(1,2 3) ( )

?e x ?ln x

x?0 x?0

,则 g ( g ( )) ?

1 2

A.

1 2

1

B.1

C. e 2

D. ? ln 2

5. 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示, 则有 A. b ? 0 B. 0 ? b ? 1 C. 1 ? b ? 2 D. b ? 2 6. 已知函数 f ( x ) 定义域为 R ,则下列命题: ①若 y ? f ( x) 为偶函数,则 y ? f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称. ②若 y ? f ( x ? 2) 为偶函数,则 y ? f ( x) 关于直线 x ? 2 对称. ③若函数 y ? f (2 x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的图象关于直线 x = ④若 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ,则则 y ? f ( x) 关于直线 x ? 2 对称. ⑤函数 y ? f ( x ? 2) 和 y ? f (2 ? x) 的图象关于 x ? 2 对称. 其中正确的命题序号是 A.①②④

(
y

)

o

1

2

x

1 对称. 2

( B.①③④ C.②③⑤ D.②③④

)

7. 设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x>0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f ?

? x?3? ?的 ? x?4?

所有 x 之和为 A. ?3

( B. 3 C. ? 8 D. 8



8.函数 f ( x) 的定义域为(a,b) ,其导函数 y ? f ?( x)在(a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在 区 间 ( a,b ) 内 极 小 值 点 的 个 数 是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知实数 x、y 满足 3x2+2y2≤6,则 P=2x+y 的最大值是 A. ( )

( D. 4



7

B.

11

C. 2 3

10. 函数 f ( x) 在定义域 R 内可导, 若 f ( x) ? f ( 2 ? x) , 且当 x ? (??, 1) 时,( x ? 1) f ?( x) ? 0 , 设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3). 则 A. a ? b ? c C. c ? b ? a B. c ? a ? b D. b ? c ? a

1 2





二.填空题
11. 对任意实数 x ,定义 [ x ] 为不大于 x 的最大整数(例如 [3.4] ? 3,[?3.4] ? ?4 等) ,设函数

f ( x) ? x ? [ x] ,给出下列四个结论:① f ( x) ? 0 ;② f ( x) ? 1 ;③ f ( x) 是周期函数;④ f ( x)
是偶函数.其中正确结论的是 . 12.定义非空集合 A 的真子集的真子集为 A 的“孙集” ,则集合 ?1,3,5,7,9? 的“孙集”的个数有 个. 13.设

f ( x) 是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数,若 f (1) ? 1 , f (2) ?


2a ? 3 ,则实数 a a ?1

的取值范围是

14.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? x ? ln x , h( x) ? x ?

x ? 1 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,则

x1 , x2 , x3 的大小关系是



15. (选做题) (极坐标与参数方程)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 ? y ? ?1 ? 3sin ?

l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为

7 10 的点的个 10

数为 . (几何证明选讲)如图,△ ABC 是⊙ O 的内接三角形, PA 是⊙ O 的切
? 线, PB 交 AC 于点 E ,交⊙ O 于点 D .若 PA ? PE , ?ABC ? 60 ,

PD ? 1 , PB ? 9 ,则 EC ? _____.

三.解答题
16.已知函数 f ? x ? ? x ? mx ? n 的图像过点 ?1 , 3? ,且 f ? ?1 ? x ? ? f ? ?1? x ? 对任意实数都成
2

立,函数 y ? g ? x ? 与 y ? f ? x ? 的图像关于原点对称。 (Ⅰ)求 f ? x ? 与 g(x)的解析式; (Ⅱ)若 F (x ) = g(x )— ?

f ? x ? 在[-1,1]上是增函数,求实数λ

的取值范围.

17.对于函数 f ( x ) ) , 若 f ( x) ? x , 则称 x 为 f ( x ) 的 “不动点” .若 f [ f ( x)] ? x , 则称 x 为 f ( x ) ) 的 “稳定点” ; 函数 f ( x ) 的 “不动点” 和 “稳定点” 的集合分别记为 A 和 B , 即 A ?? x |f x () x ?

?,

B ? ?x | f [ f ( x)] ? x? .?
(1)求证: A ? B ;? (2)若 f ( x) ? ax 2 ?1 (a ? R, x ? R) ,且 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围.?

18. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, 已知 PA ? AD ? 2AB ? 4 , PA ? 平面 ABCD , Q 是线段 PD 上一点, PC ? AQ . P ( 1 )求证 AQ ? 面PCD ; (2)求 PC 与平面 ABQ 所成角的正弦值大小. Q A B C
第 18 题图

D

19.设函数 f ( x) ? (1 ? x)2 ? ln(1 ? x)2 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围; (3)关于 x 的方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在 [0, 2] 上恰有两个相异实根,求 a 的取值范围.

1 e

20 .对 1 个单位质量的含污物体进行清洗 , 清洗前其清洁度 ( 含污物体的清洁度定义为 :

1?

污物质量 ) 为 0.8 , 要求清洗完后的清洁度为 0.99 . 有两种方案可供选择, 方 物体质量(含污物)
方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质量变为

案甲: 一次清洗;

a(1 ? a ? 3) . 设用 x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是
的水第二次清洗后的清洁度是

x ? 0.8 ( x ? a ? 1) , 用 y 单位质量 x ?1

y ? ac , 其中 c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度. y?a

(Ⅰ)分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; (Ⅱ)若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最 小? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

21.已知点 F ? 0,1? ,一动圆过点 F 且与圆 x2 ? ? y ? 1? ? 8 内切.
2

(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)设点 A ? a,0 ? ,点 P 为曲线 C 上任意一点,求点 A 到点 P 距离的最大值 d ? a ? ; (3)在(2)的条件下,若 0 ? a ? 1 , △ BOA 的面积为 S1 ( O 是坐标原点, B 是曲线 C 上横坐标

1 为 a 的点) ,以 d ? a ? 为边长的正方形的面积为 S2 .若正数 m 满足 S1 ? mS2 ,问 m 是否存在最小 4 值,若存在,请求出此最小值,若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题 DBCAA CCABB 二、填空题 11. ①②③ 三、解答题 16. (1) f ( x) ? x2 ? 2x , g ( x) ? ? x2 ? 2 x (2) ? ? 0 17. ( 1 ) 若 A = ? , 则 A ? B 显 然 成 立 ; 若 A ≠ ? , 设 t ? A , 并 且 f (t ) ? t , 于 是 12. 26 13. a ? ?1或a ?

2 3

14. x3 ? x2 ? x1

15.

2

, 4

f [ f (t )] ? f (t ) ? t ,即 t ? B ,从而 A ? B .?
(2)A 中元素是方程 f ( x) ? x ,即 ax ? 1 ? x 的实根.
2

由 A≠ ? ,知 a ? 0 或 ?

a?0 1 即a ? ? . 4 ?? ? 1 ? 4a ? 0 ?

B 中元素是方程 a(ax2 ? 1)2 ? 1 ? x ,即 a3 x 4 ? 2a 2 x 2 ? x ? a ? 1 ? 0 的实根.
2 由 A ? B 知 上 方 程 左 边 含 有 一 个 因 式 ax ? x ? 1 , 即 方 程 可 化 为

(ax2 ? x ?1)(a2 x2 ? ax ? a ? 1) ? 0
2 2 2 因此, 要A?B, 即方程 a x ? ax ? a ? 1 ? 0 ? ①没有实根或实根是方程 ax ? x ? 1 ? 0 ?

②的实根.? 若①没有实根,则 a ? 0 或 ?

?
2

a?0
2

??1 ? a ? 4a (1 ? a) ? 0

,由此解得 a ?

3 . 4

若①有实根,则①的实根是②的实根。 当a ? 当a ?

3 2 时①有唯一根 x ? ? ,检验发现是②的根。 4 3 3 3 a 2 a ?a ? 1 ? ? 时,方程①②同解,由此解得 ,由此解得 a ? .舍去。 4 4 a ?1 ?1

1 3 故 a 的取值范围是[- , ] 4 4 18. (2)解:如图,以 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,则 A ? 0,0,0 ? , B ? 2,0,0 ? , C ? 2, 4,0 ? ,

??? ? ???? D ? 0, 4,0 ? , P ? 0,0, 4 ? .设 Q ? 0, a, 4 ? a ?? 0 ? a ? 4? ,则 PC ? ? 2,4, ?4? , AQ ? ? 0, a,4 ? a ?

??? ? ???? ? PC ? AQ ? PC ? AQ ? 0 ? a ? 2

? 设平面 ABQ 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ?
???? ? ?x ? 0 ? ? ? AQ ? n ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? ? ? ??? ?? ? ? y ? ?1 ? n ? ? 0, ?1,1? ? ? ? ?z ? 1 ? AB ? n ? 0 ?2 x ? 0 ?
??? ? ? PC ? n 2 2 设 PC 与平面 ABQ 所成角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? ? 3 PC ? n
? PC 与平面 ABQ 所成角的大小为 arcsin

2 2 3

19. (1)函数定义域为 (??,?1) ? (?1,??) ,? f ?( x) ? 2[( x ? 1) ?

1 2 x( x ? 2) ]? , x ?1 x ?1

由 f ?( x) ? 0, 得 ?2 ? x ? ?1或x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?2或 ? 1 ? x ? 0. 则递增区间是 (?2, ?1), (0, ??) 递减区间是 (??, ?2), (?1, 0) 。 (2)由(1)知, f ( x) 在 [ ? 1,0] 上递减,在 [0, e ? 1] 上递增.又 f ( ? 1) ?

1 e

1 e

1 1 ? 2, f (e ? 1) ? e 2 ? 2, 且e 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 2 e e

1 ? x ? [ ? 1, e ? 1] 时, [ f ( x)]max ? e 2 ? 2, 故 m ? e 2 ? 2 时,不等式 f ( x) ? m 恒成立. e
(3)方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a, 即 x ? a ? 1 ? ln( 1 ? x) 2 ? 0 .记 g ( x) ? x ? a ? 1 ? ln(1 ? x) ,
2

则g ?( x) ? 1 ?

2 x ?1 .由 g ?( x) ? 0, 得 x ? ?1或x ? 1, ? 1? x x ?1
2

由 g ?( x) ? 0, 得 ? 1 ? x ? 1. ? g ( x) 在 [0,1] 上递减,

在 [1,2] 上递增. 为使 f ( x) ? x ? x ? a 在 [0,2] 上恰好有两个相异的实根,只须 g ( x) ? 0 在[0,1)和(1,2]上各有一个实根,于是 ? g (1) ? 0 .
? ? g (2) ? 0 ? ? g (0) ? 0

解得 2 ? 2ln 2 ? a ? 3 ? 2ln 2

20. 解(1)设方案甲与乙的用水量分别为 x 与 z , 由题设

x ? 0.1 ? 0.99 ,解得 x ? 19 。 x ?1

由 c ? 0.95 得方案乙初次用水量为 3, 第二次用水量 y 满足 故 z ? 3 ? 4a.

y ? 0.95a ? 0.99 , 解得 y ? 4a , y?a

即两种方案的用水量分别为 19 和 4a ? 3 。 因为 1 ? a ? 3 时, x ? z ? 4(4 ? a) ? 0 ,即 x ? z 。故方案乙的用水量较少。 (2)设初次和第二次的用水量分别为 x 与 y 。类似(1)得 x ?

5c ? 4 , y ? a(99 ? 100c) ?(*) 5(1 ? c)

于是 x ? y ?

5c ? 4 1 ? a(99 ? 100c) ? ? 100a(1 ? c) ? a ? 1. 5(1 ? c) 5(1 ? c)

当 a 为定值时, x ? y ? 2

1 ?100a(1 ? c) ? a ? 1 ? ?a ? 4 5a ? 1. 5(1 ? c)

当且仅当

1 1 ? 100a (1? c )时等号成立,此时 c ? 1 ? (不合题意,舍去)或 5(1? c ) 10 5a

c ? 1?

1 ? (0.8, 0.99) 。 10 5a 1 代入(*)式得 x ? 2 5a ?1, y ? 2 5a ? a. 10 5a

将 c ? 1?

故 c ? 1?

1 时 总 用 水 量 最 少 , 此 时 第 一 次 与 第 二 次 的 用 水 量 分 别 为 2 5a ? 1与 10 5a

2 5a ? a. 最少总用水量是 T (a) ? ?a ? 4 5a ?1.
当 1 ? a ? 3 时, T ' (a) ? 量增加。 21.解: (1)设动圆圆心 ? x, y ? ,则动圆的半径 r ? x 2 ? ? y ? 1?
2
2
2

2 5 ? 1 ? 0 ,故 T (a) 是增函数,这说明随着 a 的值的增加,最少总水 a

又动圆与 x2 ? ? y ? 1? ? 8 内切 ? x2 ? ? y ? 1? ? 2 2 ? r 化简得 x2 ?

y2 y2 ? 1 即所求轨迹方程为 x2 ? ?1 2 2
2 2 2

(2)设 P ? x, y ? ,则 PA ? ? x ? a ? ? 2 ? 2x2 ? ? ? x ? a ? ? 2a2 ? 2 令 f ? x ? ? ? ? x ? a ? ? 2a2 ? 2 ,又 x ? ? ?1,1?
2

? ? a ? ?1 即 a ? 1 时, f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调减

? f ? x ?max ? f ? ?1? ? ? a ? 1?

2

?1 ? ? a ? 1 即 ?1 ? a ? 1 时, f ? x ? 在 ? ?1, ?a ? 上单调增,在 ? ? a,1? 上单调减

? f ? x ?max ? f ? ?a ? ? 2a2 ? 2
? a ? 1 即 a ? ?1 时, f ? x ? 在 ? ?1,1? 上单调增

? f ? x ?max ? f ?1? ? ? a ? 1?

2

? 1? a ? ? ? 综上所述, d ? a ? ? ? 2a 2 ? 2 ? 1? a ? ?

a ? ?1 ?1 ? a ? 1 a ?1

1 (3) 0 ? a ? 1 时, P a, ? 2 ? 2a2 ? S1 ? a 2 ?1 ? a2 ? , S2 ? 2a2 ? 2 2
a 2 ?1 ? a ? 1 1 若正数 m 满足条件,则 a 2 ?1 ? a2 ? ? m ? 2a2 ? 2? 即 m ? a2 ? 1 2 4
? m2 ? 2a 2 ?1 ? a 2 ?
2

?

?

?1 ? a ?

2 2

,令 f ? a ? ?

2a 2 ?1 ? a 2 ?

?1 ? a ?
2

2 2

,设 t ? 1 ? a2 ? ?1, 2?

则 f ?a? ?

2 ? t ? 1?? 2 ? t ? t2

?1 3 ? 1 ? ?4 ? ? ? ? ?t 4? 4

1 3 4 1 1 1 ? ? 即 t ? ? ?1,2? 时, f ? a ?max ? 即 m2 ? ? m ? 3 4 4 2 t 4

? 综上所述, m 存在最小值

1 2



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