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【小初高学习]2016-2017学年高中数学 第1讲 坐标系 1 平面直角坐标系学案 新人教A版选修

教育精品学习资源 一 平面直角坐标系 1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用并领会坐标法的 应用. 2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况,掌握平面直角坐标系中的伸缩变换.(重 点、难点) 3.能够建立适当的直角坐标系解决数学问题. [基础·初探] 教材整理 1 平面直角坐标系 阅读教材 P2~P4“探究”及以上部分,完成下列问题. 1.平面直角坐标系的作用:使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联 系,从而实现了数与形的结合. 2.坐标法:根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究 它的性质及与其他几何图形的关系. 3.坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当坐标系,用坐标和方程表示 问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步:通过代数运算,解决代数问 题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论. 点 P(-1,2)关于点 A(1,-2)的对称点坐标为( ) A.(3,6) B.(3,-6) C.(2,-4) D.(-2,4) 【解析】 设对称点的坐标为(x,y), 则 x-1=2,且 y+2=-4, ∴x=3,且 y=-6. 【答案】 B 教材整理 2 平面直角坐标系中的伸缩变换 阅读教材 P4~P8“习题”以上部分,完成下列问题. 教育精品学习资源 教育精品学习资源 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :?????xy′ ′= =λμ ·x ·y λ μ , 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A.椭圆 B.比原来大的圆 C.比原来小的圆 D.双曲线 【解析】 由伸缩变换的意义可得. 【答案】 D 2.y=cos x 经过伸缩变换?????xy′ ′= =23xy, 后,曲线方程变为( ) A.y′=3cosx2′ B.y′=3cos 2x′ C.y′=13cosx2′ D.y′=13cos2x′ 【解析】 由?????xy′ ′= =23xy ??x=12x′ ,得???y=13y′ ,又∵y=cos x, ∴13y′=cosx2′,即 y′=3cosx2′. 【答案】 A [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: 教育精品学习资源 [小组合作型] 教育精品学习资源 运用坐标法解决平面几何问题 已知?ABCD,求证:|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2). 【导学号:91060000】 【思路探究】 从要证的结论,联想到两点间的距离公式(或向量模的平方),因此首先 建立坐标系,设出 A,B,C,D 点的坐标,通过计算,证明几何结论. 【自主解答】 法一 (坐标法) 以 A 为坐标原点 O,AB 所在的直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy,则 A(0,0), 设 B(a,0),C(b,c), 则 AC 的中点 E???b2,c2???,由对称性知 D(b-a,c), 所以|AB|2=a2,|AD|2=(b-a)2+c2, |AC|2=b2+c2,|BD|2=(b-2a)2+c2, |AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab =2(2a2+b2+c2-2ab), |AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab, ∴|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2). 法二 (向量法) 在?ABCD 中,→AC=→AB+→AD, 两边平方得A→C2=|→AC|2=A→B2+A→D2+2→AB·→AD, 同理得B→D2=|→BD|2=B→A2+B→C2+2→BA·→BC, 以上两式相加,得 |A→C|2+|→BD|2 =2(|A→B|2+|→AD|2)+2→BC·(→AB+→BA) =2(|A→B|2+|→AD|2), 即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2). 1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理:平行四边形的两条对角线的平方和等于 其四边的平方和.法一是运用代数方法,即用解析法实现几何结论的证明.这种“以算代证” 的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算,更显言简意赅, 给人以简捷明快之感. 教育精品学习资源 教育精品学习资源 2.建立平面直角坐标系的方法步骤: (1)建系——建立平面直角坐标系.建系原则是 利于运用已知条件,使运算简便,表达式简明; (2)设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程; (3)运算——通过运算,得到所需要的结果. [再练一题] 1.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且满足|BD|=|CD|. 求证:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|BD|2). 【证明】 法一 以 A(O)为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系 xOy. 则 A(0,0),设 B(a,0),C(b,c),则 D???a+2 b,c2???, 所以|AD|2+|BD|2= a+b 4 c 2 2 +4+ a-b 4 2+c42=12(a2+ b2+c2), |AB|2+|AC|2=a2+b2+c2=2(|AD|2+|BD|2). 法二 延长 AD 到 E,使 DE=AD,连接 BE,CE, 则四边形 ABEC 为平行四边形,由平行四边形的两条对角线的平方 和等于四条边的平方和得 |AE|2+|BC|2=2(|AB|2+|AC|2), 即(2|AD|)2+(2|BD|)2=2(|AB|2+|AC|2),所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|BD|2). 用坐标法解决实际问题 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙


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