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第二章 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程


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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

学 习 目 标

课标要求:1.了解双曲线的定义, 几何图形及标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程. 3.会利用双曲线的定义和标准方 程解决简单的实际问题. 重点难点:重点:双曲线的定义及 其标准方程. 难点:双曲线的标准方程的推导过 程以及利用双曲线解决简单的实际问 题.

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1.平面内与两个定点F1,F2的距离的 和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距. 2.已知椭圆方程为5x2+9y2=45,a、 b、e分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、离 2 心率,则a= 3 ,b= 5 ,e= 3 .
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1.双曲线的定义 平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线 .这 两个定点叫做双曲线的 焦点 ,两焦点间的距离叫 做双曲线的 焦距 . 双曲线的定义可用集合语言表示为 P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}.

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第 二 章 2.双曲线的标准方程 圆 锥 曲 线 与 方 程

标准 方程 焦点 焦距

焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2 y2 y2 x2 - =1 - =1 a2 b2 a2 b2 (a>0,b>0) (a>0,b>0) (±c,0) (0,±c) |F1F2|=2c,c2=a2+b2

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

1.(1)如果去掉“小于|F1F2|”这一条件, 轨迹会有怎样的变化? (2)如果去掉定义中的“的绝对值”,点的 轨迹会变成什么? 提示:(1)当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是 以F1,F2为端点的两条射线;当2a>|F1F2|时, 动点的轨迹不存在. (2)动点的轨迹是双曲线的一支.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

2.若已知双曲线的标准方程,如何判断焦 点在哪一条坐标轴上? 提示:若已知双曲线的标准方程,则x2项和 y2项的系数哪个为正,焦点就在哪条坐标轴上.
y2 x2 比如双曲线 - =1 的焦点在 y 轴上. 4 16
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

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考点一 求双曲线的标准方程
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与求椭圆的标准方程的方法一样,若由 题设条件易于确定方程的类型,可先设出方 程的标准形式,再确定方程中的参数a,b的 值,即“先定形,再定量”.若两种类型都有 可能,则应进行分类讨论.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

例1

求适合下列条件的双曲线的标准方程: 4 10 (1)a=4,经过点 A(1,- ); 3 9 (2)经过点(3,-4 2),( ,5). 4 已知曲线的类型,可用待定

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【思路点拨】 系数法来解.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【解】 (1)若焦点在 x 轴上,设双曲线的标准方程 x2 y2 1 160 为 - 2=1(b>0), 则把点 A 的坐标代入方程, 得 - 2 16 b 16 9b 16 160 2 =1,解得 b =- × <0,可见这样的双曲线不存在; 15 9 y2 x2 若焦点在 y 轴上,设双曲线的标准方程为 - 2= 16 b 160 1 1(b>0),则把点 A 的坐标代入方程,得 - 2=1,解 9×16 b y2 x2 得 b2=9.故所求双曲线的标准方程为 - =1. 16 9

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

(2)设双曲线的方程为 Ax2+By2=1(A· B<0), 则将已知点的坐标代入, 1 ? ?9A+32B=1, A=- , ? ? 9 得?81 解得? ?16A+25B=1, ?B= 1 . ? ? 16 y2 x2 所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 16 9

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【题后点评】 (1)题由于焦点的位置不确 定,因此在设双曲线的标准方程的时候要分两种 情况进行讨论. (2)题也可仿(1)题讨论求解.但是已知两点 的坐标求双曲线方程,一般设方程的形式为Ax2 +By2=1(A· B<0),这样得到方程后自然就知道了 焦点的位置,这种方法不仅避免了分类讨论,而 且运算简便.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

变式训练
1.根据下列条件,分别求双曲线的标 准方程: (1)c= 6, 经过点(-5,2), 焦点在 x 轴上; x2 y2 (2)与双曲线 - =1 有相同的焦点,且 16 4 经过点(3 2,2).

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程
解:(1)∵焦点在 x 轴上,c= 6, x2 y2 ∴设所求双曲线方程为 - =1(其中 λ 6-λ 0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5,2), 25 4 ∴ - =1,∴λ=5 或 λ=30(舍去). λ 6-λ x2 2 ∴所求双曲线方程是 -y =1. 5

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

x2 (2) 设 所 求 双 曲 线 方 程 为 - 16-λ y2 =1(0<λ<16). 4+λ 18 ∵双曲线过点(3 2,2),∴ - 16-λ 4 =1, 4+λ ∴λ=4 或 λ=-14(舍). x2 y2 ∴所求双曲线方程 - =1. 12 8
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

考点二

用定义法求双曲线的标准方程

利用定义法求双曲线的标准方程,首先 找出两个定点(即双曲线的两个焦点);然后再 根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或 差的绝对值)是否为常数,这样确定c和a的 值,再由c2=a2+b2求b2,进而求双曲线的方 程.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

例2

在△ABC 中,已知|AB|=4 2,且三内角 A,B,C 满足 2sin A+sin C=2sin B,建立适 当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程,并指明 它表示什么曲线.

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【思路点拨】 将2sin A+sin C=2sin B转化为边的关系,进而构建动点C满足的 几何等式,由此得到动点C的轨迹方程.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【解】 如图所示,以AB边 所在的直线为x轴,AB的垂直平分 线为y轴,建立平面直角坐标系,
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则 A(-2 2,0),B(2 2,0). 由正弦定理得 |CB| |CA| sin A= ,sin B= ,sin 2R 2R |AB| C= . 2R

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

∵2sin A+sin C=2sin B, ∴2|CB|+|AB|=2|CA|. 1 从而有|CA|-|CB|= |AB|=2 2<|AB|. 2 由双曲线的定义知, C 的轨迹为双曲线的右支. 点 ∵a= 2,c=2 2, ∴b2=c2-a2=6. x2 y2 ∴顶点 C 的轨迹方程为 - =1(x≠ 2). 2 6 故点 C 的轨迹为双曲线的右支且除去点( 2,0).

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【题后点评】 寻找动点C的约束条件很关 键.解答本题时应注意:
(1)将角的关系 2sin A+sin C=2 sin B 转换 1 为三角形边的关系|CA|-|CB|= |AB|,联想双曲 2 线的定义使问题简化. (2)不可忽视三角形的条件,由点 A,B,C 不共线,知所得轨迹除去点( 2,0).
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

变式训练
9 2.已知圆 C1:(x+3) +y = 和圆 C2:(x 4 -3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外 切,求动圆圆心的轨迹方程. 解:如图所示,设动 圆M与圆C1及圆C2分别外 切于点A、B,根据两圆外 切的条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. ∵|MA|=|MB|,
2 2
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

∴|MC1|-|AC1 |=|MC2|-|BC2|, 3 3 ∴|MC2|-|MC1 |=|BC2|-|AC1|=3- = . 2 2 这表明动点 M 与两定点 C2,C1 的距离的差 3 是常数 .根据双曲线的定义, 动点 M 的轨迹为双 2 曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离 3 135 2 小),这里 a= ,c=3,则 b = .设点 M 的坐 4 16 16 16 2 标 为 (x, y) , 则 其 轨 迹 方 程 为 x2 - y = 9 135 1(x<0).

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

考点三

双曲线定义的应用

利用双曲线的定义解决与焦点有关的问 题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的 变形使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|· 2| |PF 间的关系;二是要与三角形知识相结合,经常 利用余弦定理、正弦定理等知识,同时要注意 整体思想的应用.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

例3

x2 y2 已知双曲线 - =1 的左、右焦点分别 9 16 是 F1、F2,若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2 =90° ,求△F1PF2 的面积.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

x2 y2 【解】 由 - =1,得 a=3,b=4,∴c=5. 9 16 由双曲线定义及勾股定理得|PF1|-|PF2|=± 6, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=102. ∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|· 2|=100, |PF 100-36 ∴|PF1|· 2|= |PF =32, 2 1 ∴S△F1PF2= |PF1 |· 2|=16. |PF 2

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【题后点评】 本题是典型的利用双曲线的 定义解决有关三角形问题的例子,利用|PF1|- |PF2|=±2a,再结合余弦定理或勾股定理,是解 决此类问题常用的方法.

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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

互动探究
3.把本例中的“∠F1PF2=90°”改为 “∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积. x2 y2 解:由 - =1,得 a=3,b=4,c=5. 9 16 由定义和余弦定理得 |PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF2|2+|PF1|2-2|PF1||PF2|· cos60°. ∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|· 2|, |PF ∴|PF1|· 2|=64, |PF 1 ∴S△F1PF2= |PF1 |· 2|· |PF sin∠F1PF2 2 1 3 = ×64× =16 3. 2 2
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

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1.理解双曲线定义时应注意什么 (1)注意定义中的条件2a<|F1F2|不可缺少.若 2a=|F1F2|,则动点的轨迹是以F1或F2为端点的 射线;若2a>|F1F2|,则动点的轨迹不存在. (2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0 的实数.若a=0,则动点的轨迹是线段F1F2的中 垂线. (3)注意定义中的关键词“绝对值”.若去掉定 义中的“绝对值”三个字,则动点的轨迹只能是双 曲线的一支.
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第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

2.待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)作判断:根据条件判断双曲线的焦点在x 轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能.
x2 y2 (2)设方程: 根据上述判断设方程为 2- 2=1 a b y2 x2 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b
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(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c 的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c代入所设 方程即为所求.
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