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北京市朝阳区2013届高三第二次综合练习数学文试题(Word解析版)


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 2013.5

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. (1)已知集合 M ? ?0,1,3? , N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N = A. ?0? 【答案】D B. ?0, 3? C. ?1,3,9? D.

?

?

?0,1,3,9?

【解析】 N ? x x ? 3a, a ? M ? {0,3,9} ,所以 M ? N ? {0,1,3,9} ,选 D. (2)已知 p : ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 , q : log 2 ( x ? 1) ? 1 ,则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

l 【解析】 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 得 1 ? x ? 2 , p : ? x ? 2 。 o 由 即 由 g( 1
即 q : x ? 1。所以 p 是 q 的充分不必要条件,选 A.

2

1x 1 ) ?

? 得 x ?1 ? 2 , 解得 x ? 1,

(3)函数 f ( x) ? sin( x ? ) ( x ?R )的图象的一条对称轴方程是 A. x ? 0 【答案】B B. x ? ?

? 4

π 4

C.

x?

π 4

D. x ?

π 2

? ? ?? ? ? k? , k ? z ,解得所有的对称轴方程为 x ? ? k? , k ? z , 4 2 4 π 所以当 k ? ?1 时,对称轴为 x ? ? ,选 B. 4
【解析】由 x ? (4)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是 16 ,则判断框内的条件是 A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8 ? D. n ? 9 ? 【答案】C 【 解 析 】 第 一 次 循 环 , S ? 1, n ? 3 , 不 满 足 条 件 , 循 环 。 第 二 次 循 环 ,

S ? 1 ? 3 ? 4, n ? 5 ,不满足条件,循环。第三次循环, S ? 4 ? 5 ? 9, n ? 7 ,不满
足条件,循环。第四次循环, S ? 9 ? 7 ? 16, n ? 9 ,满足条件,输出。所以判断框 内的条件是 n ? 8 ,选 C.

(5) 若双曲线 于 A. 2 【答案】B

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 2 相切,则此双曲线的离心率等 2 a b
B. 3 C. 6 D. 9

【解析】双曲线的渐近线为 y ? ?

b b b x , 不 妨 取 y ? x , 代 入 抛 物 线 得 x ? x2 ? 2 , 即 a a a b b x 2 ? x ? 2 ? 0 ,要使渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 2 相切,则 ? ? ( )2 ? 8 ? 0 ,即 b2 ? 8a 2 ,又 a a

b2 ? c 2 ? a 2 ? 8 a 2,所以 c 2 ? 9a 2 ,所以 e2 ? 9, e ? 3 。所以此双曲线的离心率是 3,选 B.

?3 x ? 4 y ? 19, ? (6)将一个质点随机投放在关于 x, y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域内,则该质点 ?y ?1 ?
到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是 A. 【答案】C

? 12

B.

? 6

C. 1 ?

? 12

D. 1 ?

? 6

?3 x ? 4 y ? 19, ? 【解析】 画出关于 x, y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域, 如图. 。 ?y ?1 ?
三角形 ABC 的面积为

1 ? 3 ? 4 ? 6 。离三个顶点距离等于 1 的地方为三个小扇 2

? ,所以该质点到此三角形的三个顶 2 ? ? 点的距离均不小于 1 的概率是 1 ? 2 ? 1 ? ,选。 6 12
形,它们的面积之和为 (7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A.

1 6 1 2

B.

1 3

C.

D. 1

【答案】A 【解析】由题设条件,此几何几何体为一个三棱锥,如图红色

1

的部分.其中高为 1,底面是直角边长为 1 的等腰直角三角形,所以底面积为

1 1 ?1?1 ? ,所以三 2 2

棱锥的体积为 ? ?1 ?

1 1 3 2

1 ,选 A. 6
x

(8)已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x ) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有

F ( m) ? F ( n)? 0成立,其中所有正确命题的序号是
A. ② 【答案】C B.①③ C.②③ D.①②

【解析】①因为 f ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? 0 ? f ( x), x ? 0, ,而 F ( x ) ? ? ,两个函数的定义域不同, ?? f ( x), f ( x) ? 0 ?? f ( x), x ? 0.

所 以 ① F ( x) ? f ( x) 不 成 立 。 ② 因 为 f ( x) 是 偶 函 数 。 若 x ? 0 , 则 ? x ? 0 , 所 以

F (? x) ? ? f ( ? x) ? ?f ( x) ? ? .若 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,所以 F (? x) ? f (? x) ? f ( x) ? ?F ( x) , F ( x)
所以函数 F ( x) 是奇函数,正确。③ a ? 0 时,函数 F ( x) ? f ( x) 在 (0, ??) 上减函数,若 mn ? 0 ,

m ? n ? 0 ,则 m ? ?n ? 0 ,所以 F (m) ? F (?n) ? ? F (n) ,即 F (m) ? F (n) ?0 成立,所以正确的
是 ②③,选 C.

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算 【答案】 2 - i 【解析】

3?i ? 1? i



3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 4 ? 2i ? ? ? 2?i 。 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2
.

(10)已知向量 a ? (2,1), b ? (3, x) ,若 (2a ? b) ? b ,则 x 的值为 【答案】 ?1 或 3

【 解 析 】 因 为 ( a ? b ?)b , 所 以 ( a ? b ?) b ? , 即 2a ? b ? b ? 0 , 所 以 2 2 0

? ? ?2

2(2 ? 3 ? x) ? (32 ? x 2 ) ? 0 ,整理得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 或 x ? ?1 。
(11)已知等差数列 ?a n ?的公差为 ?2 , a 3 是 a1 与 a 4 的等比中项,则首项 a1 ? _,前 n 项和 S n ? __. 【答案】8; ? n 2 ? 9n , n ?N? 【 解 析 】 因 为 a 3 是 a1 与 a 4 的 等 比 中 项 , 所 以 a1 a4 ? a3 , 即 a1 ( a1 ? 3 d ) ? (a1 ? 2d ) , 所 以
2
2 2 a1 ( a1 ? 6) ? (a1 ? 4) , 解 得 a1 ? 8 , 所 以 Sn ? na1 ?

n( n ? 1 ) n n ? 1) ( d ? 8n ? ? 2? 9 ? n2 , n 2 2

n ?N? 。
(12)若直线 l 与圆 x ? ( y ? 1) ? 4 相交于 A , B 两点,且线段 AB 的中点坐标是 (1, ?2) ,则直线 l
2 2

的方程为 . 【答案】 x ? y ? 3 ? 0 【解析】圆心为 M (0, ?1) ,半径为 2.因为弦 AB 的中点坐标是 N (1, ?2) ,所以直线垂直 MN 。

?2 ? (?1) ? ?1 ,所以直线 l 的斜率为 1,所以直线 l 的方程为 y ? 2 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 。 1? 0 (13)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨( x 为 600 的约数),运费为 3 万元/次,一 年的总存储费用为 2x 万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购 kMN ?
买 吨. 【答案】30 【解析】设公司一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元.买货物 600 吨,每次都购买 x 吨,

0 ? x ? 600。则需要购买的次数为
万元,所以 y ?

600 600 1800 次, 因为每次的运费为 3 万元, 则总运费为 3 ? ? x x x

1800 1800 1800 ? 2x ? 2 ? 2 x ? 120 ,当且仅当 ? 2x ,即 x 2 ? 900, x ? 30 时取 x x x
?

等号,所以要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 30 吨.
n (14) 数列 {2 ? 1} 的前 n 项 1,3, 7,? , 2 ? 1 组成集合 An ? {1,3, 7,?, 2 ? 1}( n ? N ) , 从集合 An 中
n
n

任取 k (k ? 1, 2,3,? , n ) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只取一个数,规定乘 积为此数本身) 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . , 例如当 n ? 1 时, A1 ? {1} ,T1 ? 1 ,S1 ? 1 ; n ? 2 当 时, A2 ? {1,3} , T1 ? 1 ? 3 , T2 ? 1? 3 , S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .则当 n ? 3 时, S 3 ? 试写出 S n ? 【答案】63; 2
n ( n?1) 2





?1

7 【 解 析 】 当 n ? 3 时 , A3 ? { 1 , 3 , , }T1 ? 1 ? 3 ? 7 ? 11 , T2 ? 1? 3 ? 1? 7 ? 3 ? 7 ? 31 ,

1 3 所以 S3 ? 11 ? 31 ? 21 ? 63 。 由于 S1 ? 1 ? 2 ? 1 ,S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 ? 2 ? 1 , T3 ? 1? 3 ? 7 ? 21 ,

S3 ? 11 ? 31 ? 21 ? 63 ? 26 ? 1 ,所以猜想 Sn ? 2

n ( n ?1) 2

? 1。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , f ( A) ? 2cos 角 且 (Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

(16)(本小题满分 13 分) 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况,从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进 行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米(含 6 米不含 8 米)的为及格, 成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得 的所有数据,分成 [2, 4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] 五组,画出的 频率分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目 测试的人数; (Ⅱ) 根据此次测试成绩的结果, 试估计从该市初二年级男生中任
0.150
频率 组距

频率分布直方图

0.200

意选取一人,“掷实心球”成绩为优秀的概率; (Ⅲ)若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取
0.075

2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽 取的 2 名学生来自不同组的概率. (17)(本小题满分 14 分)

a 0.025 2 4 6 8 10 12


如图,已知四边形 ABCD 是正方形,EA ? 平面 ABCD ,PD ? EA , AD ? PD ? 2EA ? 2 ,

F , G , H 分别为 BP , BE , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: FG ? 平面 PDE ; P (Ⅱ)求证:平面 FGH ? 平面 AEB ; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM ? H F E D C

若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.

(18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ax ? a , g ( x) ? a ln x ? x ( a ? 0 ). x ?1
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求证:当 a ? 0 时,对于任意 x1 , x2 ? ? 0, e ? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的右焦点 F (1, 0) ,长轴的左、右端点分别为 A1 , A2 ,且 a 2 b2

???? ???? ? FA1 ? FA2 ? ?1 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过焦点 F 斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 A, B 两点,弦 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 点 D . 试问椭圆 C 上是否存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形?若存在,试求点 E 到 y 轴的 距离;若不存在,请说明理由.

(20)(本小题满分 13 分)
? | 已 知 实 数 x1 , x2 ,? , xn ( n ?N 且 n ? 2 ) 满 足 | xi ?

1

? i ? 1, 2, ???, n ?

, 记

S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ? n

?

xi x j .

(Ⅰ)求 S (?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值;

2 3

(Ⅲ)当 n 为奇数时,求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值. 注:

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ? j ? n )的乘积之和.

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案(文史类)
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 题号 答案 (9) (10) (11) 8; (12) (13) (1) D (2) A (3) B (4) C (5) B (6) C

2013.5

(7) A

(8) C (14) 63 ;
n ( n?1) 2

2-i

?1 或 3

? n ? 9n n ?N?
2

x ? y ?3 ? 0

30
2

?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15)(本小题满分 13 分)

A A A A ? sin ? sin 2 ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 2 2 2 2 4 ? ? ?? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? . 4 4 4 ? ? 3? 则所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 .??7 分 4 2 4 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? . 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 C ? ,所以 A ? B ? ,则 B ? . 12 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ? 3. 由 得, b ? ????????13 分 ? ? ? sin A sin B sin A sin 4
(Ⅰ) f ( A) ? 2cos (16)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05 . 所以此次测试总人数为

4 ? 40 . 0.05 ? 2
????????4 分

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人.

(Ⅱ)由图可知,参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生,成绩优秀的频率为

(0.15 ? 0.05) ? 2 ? 0.4 ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人,“掷实心球”成绩为
优秀的概率为 0.4 . ????????7 分

(Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取 2 名学生来自不同组.

由已知,测试成绩在 ? 2, 4 ? 有 2 人,记为 a, b ;在 ? 4, 6 ? 有 6 人,记为 A, B, C, D, E, F . 从这 8 人中随机抽取 2 人有 ab, aA, aB, aC, aD, aE, aF , bA, bB, bC, bD, bE, bF ,

A B A C A D A,E A F B C B D ,B E , B F , C D C E C F 共,E 种情况. , , , , , , , , , D 28 D F E F
事件 A 包括 aA, aB, aC , aD, aE , aF ,bA,bB ,bC ,bD ,bE ,bF 共 12 种情况. 所以 P( A) ?

12 3 ? . 28 7 3 . 7
???????????13 分

答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为

(17)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG ? PE . 又因为 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED . ?????4 分 F M E D G A 所以 FH ? BC . 则 FH 而 FH B C H P

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? CB . 又因为 CB ? AB , AB ? AE ? A , 所以 CB ? 平面 ABE . 由已知 F , H 分别为线段 PB , PC 的中点,

? 平面 ABE . ? 平面 FGH ,
???????????????????9 分

所以平面 FGH ? 平面 ABE .

(Ⅲ)在线段 PC 上存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM .证明如下: 在直角三角形 AEB 中,因为 AE ? 1 , AB ? 2 ,所以 BE ? 5 . 在直角梯形 EADP 中,因为 AE ? 1 , AD ? PD ? 2 ,所以 PE ? 5 , 所以 PE ? BE .又因为 F 为 PB 的中点,所以 EF ? PB . 要使 PB ? 平面 EFM ,只需使 PB ? FM . 因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? CB ,又因为 CB ? CD , PD ? CD ? D , 所以 CB ? 平面 PCD ,而 PC ? 平面 PCD ,所以 CB ? PC .

若 PB ? FM ,则 ?PFM ∽ ?PCB ,可得

PM PF . ? PB PC
3 2 .??14 分 2

由已知可求得 PB ? 2 3 , PF ? 3 , PC ? 2 2 ,所以 PM ? (18)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 R ,

f ?( x) ?

a(1 ? x2 ) a(1 ? x)(1 ? x) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)
当 a ? 0 时,

(??, ?1)
?


?1
0

(?1,1)

1
0

(1, ??)
?


?


当 x 变化时, f ?( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)
综上所述,

(??, ?1)

?1
0

(?1,1)
?


1
0

(1, ??)

?


?


当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (?1,1) ,单调递减区间为 (??, ?1) , (1, ??) ; 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间为 (?1,1) . ??????????????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当 a ? 0 时,

f ( x) 在 (0,1) 上单调递增, f ( x) ? f (0) ; f ( x) 在 (1, e] 上单调递减,且 f (e) ?
所以 x ? (0, e] 时, f ( x) ? a . 因为 g ( x) ? a ln x ? x ,所以 g ?( x) ?

ae ?a ? a. e ?1
2

a ?1 , x

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ①当 0 ? a ? e 时,由 g ?( x) > 0 ,得 0 ? x ? a ;由 g ?( x) < 0 ,得 x ? a , 所以函数 g ( x) 在 (0, a) 上单调递增,在 (a, e] 上单调递减. 所以 g ( x) max ? g (a) ? a ln a ? a . 因为 a ? (a ln a ? a) ? a(2 ? ln a) ? a(2 ? ln e) ? a ? 0 , 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0, e ? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . ②当 a ? e 时, g ?( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立, 所以函数 g ( x) 在 (0, e] 上单调递增, g ( x)max ? g (e) ? a ? e < a . 所以对于任意 x1 , x2 ? ? 0, e ? ,仍有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . 综上所述,对于任意 x1 , x2 ? ? 0, e ? ,总有 g ( x1 ) ? f ( x2 ) . (19)(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)依题设 A1 (?a, 0) , A2 (a, 0) ,则 FA1 ? (?a ? 1,0) , FA2 ? (a ? 1,0) .
2 2 由 FA1 ? FA2 ? ?1 ,解得 a ? 2 ,所以 b ? 1 .

???????13 分

????

????

???? ????

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

????????????????4 分

(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?

? y ? k ( x ? 1), 2 2 2 2 得 ? 2k ? 1? x ? 4k x ? 2k ? 2 ? 0 . x2 ? 2 y2 ? 2 ?

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,弦 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ?

4k 2 2(k 2 ? 1) 2k 2 ?k , x1 x2 ? , x0 ? , y0 ? , 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1

2k 2 ?k , 2 ). 所以 M ( 2 2k ? 1 2 k ? 1
直线 MD 的方程为 y ?

1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) , 2k 2 ? 1 k 2k ? 1 k

令 y ? 0 ,得 xD ?

k2 k2 ,则 D( 2 ,0) . 2k 2 ? 1 2k ? 1

若四边形 ADBE 为菱形,则 xE ? xD ? 2 x0 , yE ? yD ? 2 y0 .

所以 E (

3k 2 ?2k , 2 ). 2 2k ? 1 2 k ? 1

3k 2 2 ?2k 若点 E 在椭圆 C 上,则 ( 2 ) ? 2( 2 ) 2 ? 2 . 2k ? 1 2k ? 1
整理得 k ? 2 ,解得 k ?
4
2

2 .所以椭圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形.

此时点 E 到 y 的距离为

12 ? 3 2 . ??????????????????14 分 7

(20)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

2 3

2 2 ? ? ?1 . 3 3
?????????3 分

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ?2 .
(Ⅱ) n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?
1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 .

固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,那么 S 是 x1 的一次函数或常函数, 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} . 同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可以被某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到,于是

S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,3 )时,

1 2 2 S ? [( x1 ? x2 ? x3 )2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] 2 1 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? . 2 2
因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 ,

所以 S ?

1 3 ? ? ?1 ,且当 x1 ? x2 ? 1 , x3 ? ?1 ,时 S ? ?1 , 2 2
?????????????????7 分

因此 Smin ? ?1 . (Ⅲ) S ? S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ? n

?

xi x j

? x1 x2 ? x1 x3 ? ? ? x1 xn ? x2 x3 ? ? ? x2 xn ? ? ? xn?1 xn .
固定 x2 , x3 ,? , xn ,仅让 x1 变动,那么 S 是 x1 的一次函数或常函数, 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ,?, xn ), S ( ?1, x2 , x3 ,?, xn )} . 同理 S (1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,?, xn ), S (1, ?1, x3 , ?, xn )} .

S (?1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,?, xn ), S (?1, ?1, x3 ,?, xn )} .
以此类推,我们可以看出, S 的最小值必定可以被某一组取值 ?1 的 x1 , x2 ,? , xn 所达到,于是

S ? min {S ( x1 , x2 ,?, xn )} .
xk ??1 k ?1,2,?, n

当 xk ? ?1 ( k ? 1, 2,?, n )时,

1 2 2 S ? [( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn )] 2 1 n ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn )2 ? . 2 2
当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? ? ? xn |? 1 , 所以 S ? ?

1 (n ? 1) ,另一方面,若取 x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? 1 , 2 2

1 1 xn?1 ? xn?1 ? ? ? xn ? ?1 ,那么 S ? ? (n ? 1) ,因此 Smin ? ? (n ? 1) . ?1 ?2 2 2 2 2
??????????????????????13 分



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