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高考立体几何知识点总结(详细)


高考立体几何知识点总结
(一)空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积 棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和 圆柱的表面积 : S ? 2? rl ? 2? r 2 圆锥的表面积: S 圆台的表面积: S

? ? rl ? ? r 2

? ? rl ? ? r 2 ? ? Rl ? ? R 2
2

球的表面积: S ? 4? R
扇形的面积公式 S扇形 ?

n? R 2 1 1 ? lr = ? r 2 (其中 l 表示弧长,r 表示半径,? 表示弧度) 360 2 2

空间几何体的体积 柱体的体积 : V ? S底 ? h
1 锥体的体积 : V ? S底 ? h 3

台体的体积 :

1 V ? (S ? 3 上

S S ? 下S ) ? h 上 下

球体的体积: V ?

4 3 ?R 3

(四)空间几何体的三视图和直观图 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图。 侧视图:光线从几何体的左边向右边正投影,得到的投影图。 俯视图:光线从几何体的上面向右边正投影,得到的投影图。

3、线面平行:

(1)判定定理:

(2)性质定理:

1

4、线面垂直 (1)如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 判定定理:

性质定理: (2)垂直于同一平面的两直线平行。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理 5、面面平行 (1)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平 面平行。 (2)性质定理:两个平行平面被第三个面所截,两条交线互相平行 6、面面垂直: (1)一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 判定定理: 性质定理: (2)
图 2-7 斜线定理

7、空间角 (1)异面直线所成的角: 0 o ? ? ? 90 o ; (2)线面所成的角:是斜线与它在平面内的射影所成的角。范围 0o ? ? ? 90o (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法; ③垂面法;二面角的平面角的范围: 0o ? ? ? 180o ;

向量法
一、运用法向量求空间角
向量法求空间两条异面直线 a, b 所成角θ , 只要在两条异面直线 a, b 上各任取一个向量

2

???? ???? ???? ???? ???? ???? AA ' ? BB ' AA '和BB ' ,则角< AA ', BB ' >=θ 或π -θ ,因为θ 是锐角,所以 cosθ = ???? ???? , 不需 AA ' ? BB '
要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 A

? 设平面α 的法向量为 n =(x, y, 1),则直线 AB 和平面α
所成的角θ 的正弦值为

n

??? ? ? ??? ? ? AB ? n ? sinθ = cos( -θ ) = |cos< AB , n >| = ??? ? ? 2 AB ? n
2、运用法向量求二面角

α

设二面角的两个面的法向量为 n1 , n2 ,则< n1 , n2 >或π -< n1 , n2 >是所求角。这时要借助 图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定< n1 , n2 >是所求,还是π -< n1 , n2 >是所求角。

?? ?? ?

?? ?? ?

?? ?? ?

?? ?? ?

?? ?? ?

二、运用法向量求空间距离
1、求两条异面直线间的距离 设异面直线 a、b 的公共法向量为 n ? ( x, y, z ) ,在 a、b 上任取一点 A、B,则异面直 线 a、b 的距离

?

??? ? ? | AB ? n | ? d = |n|


2、求点到面的距离 求 A 点到平面α 的距离,设平面α 的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在α 内任取一点 B,则

?

??? ? ? | AB ? n | ? A 点到平面α 的距离为 d = , |n|
3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线 a 到平面α 的距离,设平面α 的法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在直线 a 上任取一点

?

??? ? ? | AB ? n | ? A,在平面α 内任取一点 B,则直线 a 到平面α 的距离 d = |n|

3

4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α 、β 的公共法向量法为 n ? ( x, y,1) ,在平面α 、β 内各任取一点

?

??? ? ? | AB ? n | ? A、B,则平面α 到平面β 的距离 d = |n|

三、证明线面、面面的平行、垂直关系
设平面外的直线 a 和平面α 、β ,两个面α 、β 的法向量为 n1 , n2 ,则

?? ?? ?

?? a//? ? a ? n1

?? ? a ? ? ? a//n1

? // ? ? n1 // n2

?? ?? ?

? ? ? ? n1 ? n2

??

?? ?

4



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