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2019年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理课件文北师大版_图文

第 章 三角函数、解三角形 正弦定理和余弦定理 第六节 栏目 导航 双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练 [ 考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. (对应学生用书第 50 页) [ 基础知识填充] 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 2 2 2 a b c a = _______________ b + c -2bc· cos A; = = sin A sin B sin C =2R.(R 为△ABC 外 _________________ 2 公式 +a2-2ca· cos B ; b2=c _______________ 接圆半径) a2+b2-2ab· cos C c2=________________ b2+c2-a2 (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C;cos A=__________ 2bc ; 公式 (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; 变形 a b c (3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R c2+a2-b2 2ca cos B=__________ ; a2+b2-c2 2ab cos C=__________ 2. 在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 3. 三角形常用面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示边 a 上的高); 2 a a 1 1 1 bcsin A acsin B=________ 2 (2)S= ab sin C=______ . 2 2 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径). [ 知识拓展] 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A+B+C=π; A+B π C 变形: 2 =2- 2 . 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; A+B A+B C C (2)sin 2 =cos 2 ;(4)cos 2 =sin 2 . 3.在△ABC 中,sin A>sin B?A>B?a>b cosA>cos B?A<B?a<b [ 基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC 中,若 A>B,则必有 sin A>sin B.( ) ) ) (2)在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则△ABC 为锐角三角形.( (3)在△ABC 中,若 A=60° ,a=4 3,b=4 2,则 B=45° 或 135° .( a+b-c a (4)在△ABC 中,sin A= .( sin A+sin B-sin C ) [ 解析] (1)正确.A>B?a>b?sin A>sin B. b2+c2-a2 (2)错误.由 cos A= 2bc >0 知,A 为锐角,但△ABC 不一定是锐角三 角形. (3)错误.由 b<a 知,B<A. (4)正确.利用 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知结论正确. [ 答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2.(教材改编)在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 ) a b c C [由正弦定理,得2R=sin A,2R=sin B,2R=sin C,代入得到 a2+b2<c2, a2+b2-c2 由余弦定理得 cos C= 2ab <0,所以 C 为钝角,所以该三角形为钝角 三角形.] 3.(2016· 全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 5, 2 c=2,cos A=3,则 b=( A. 2 C.2 2 ) B. 3 D.3 2 D [由余弦定理得 5=b +4-2×b×2×3, 1 解得 b=3 或 b=-3(舍去),故选 D.] 4. (2017· 全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, C. 已知 C=60° , b= 6,c=3,则 A=________. 3 6 2 75° [如图,由正弦定理,得sin 60° =sin B,∴sin B= 2 . 又 c>b,∴B=45° , ∴A=180° -60° -45° =75° .] 5.在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于________. 【导学号:00090109】 2 3 b2+c2-a2 c2+16-12 1 [由题意及余弦定理得 cos A= 2bc = =2,解得 c=2, 2×4×c 1 1 所以 S=2bcsin A=2×4×2×sin 60° =2 3.] (对应学生用书第 51 页) 利用正、余弦定理解三角形 (1)(2017· 全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,C.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= 2,则 C=( π A.12 π C.4 π B.6 π D.3 ) 3π (2)在△ABC 中,∠BAC= 4 ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上,AD=BD, 求 AD 的长. B [(1)因为 a=2,c= 2, 2 2 所以由正弦定理可知,sin A=sin C, 故 sin A= 2sin C.又 B=π-(A+C), 故 sin B+sin A(sin C-cos C) =sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C =sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Aco


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