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江苏省常州市溧阳市2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高一(上)期中数学试卷
一、填空题(本小题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分)只需在答题卡上直接写出结果 1. (4 分)设 A=(﹣1,3],B=[2,4) ,则 A∩B=.

2. (4 分)函数 f(x)=

的定义域为.

3. (4 分)函数 y=loga(x﹣1)+1(a>0,a≠1)的图象必定经过的点坐标为. 4. (4 分)若幂函数 y=f(x)的图象经过点(9, ) ,则 f(25)的值是.

5. (4 分)已知点(x,y)在映射“f”作用下的对应点是(x+y,2x﹣y) ,若点 P 在映射 f 作用 下的对应点是(5,1) ,则点 P 的坐标为.

6. (4 分)已知函数



,则 x 的值为.

7. (4 分)设 a=0.3 ,b=2 ,c=log

2

0.3

2,则 a,b,c 的大小关系为(用“<”号连结)

8. (4 分)若由表格中的数据可以判定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N) ,则实数 k 的值为. x ﹣1 0 1 2 3 e x+2
x

x

0.37 1

1 2

2.72 3

7.39 4

20.09 5

9. (4 分)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点, 若用 S1, S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程, t 为时间, 则下图与故事情节相吻合的是.

10. (4 分)若函数 y=x ﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为.

2

11. (4 分)已知函数 f(x)= 同的实根,则实数 m 的取值范围是.

,若关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不

12. (4 分)若对任意实数 x,规定[x]是不超过 x 的最大整数,如[﹣1.5]=﹣2,[1.14]=1 等,则 当 x∈(﹣0.5,2.5)时,函数 f(x)=[x]+1 的值域为. 13. (4 分)某市规定:出租车 3 公里内起步价 8 元(即不超过 3 公里,一律收费 8 元) ,若超 过 3 公里,除起步价外,超过部分再按 1.5 元/公里收费计价.假如一乘客与司机约定以元为 单位计费(按四舍五入的原则不找零) ,下车后付了 16 元,则该乘客里程的范围是.

14. (4 分)已知函数 f(x)=

,若当 t∈[0,1]时,f(f(t) )∈[0,1],则

实数 t 的取值范围是.

二.解答题(本大题共 6 小题,满分 64 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (8 分)计算下列各式的值: (1) ﹣ + × ; (2) .

16. (10 分)已知 A={a ,a+1,﹣3},B={a﹣3,3a﹣1,a +1},C={x|mx=1},若 A∩B={﹣ 3} (1)求 a 的值; (2)若 C?(A∩B) ,求 m 的值. 17. (10 分) (1)已知关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两个实根 α,β 满足 0<α<1<β <2,求实数 t 的取值范围; (2)解方程 lg(x+1)﹣lg(1﹣x)=﹣lgx. 18. (12 分)已知某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对 (t,p) ,点(t,p)落在图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q (万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)试根据提供的图象,求出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式;
2

2

2

(2)若 t,Q 满足一次函数关系,试根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的 函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少? [提示:日交易额=日交易量 x 每股的交易价格].

19. (12 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= (1)求实数 a 的值; (2)用定义证明 f(x)在 R 上是减函数;

是奇函数.

(3)已知不等式 f(logm )+f(﹣1)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20. (12 分)已知二次函数 y=f(x)=x +bx+c 的图象过点(1,13) ,且函数 y= 偶函数. (1)求 f(x)的解析式;

2



(2)已知 t<2,g(x)=[f(x)﹣x ﹣13]?|x|,求函数 g(x)在[t,2]上的最大值和最小值; (3)函数 y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方 数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

2

2014-2015 学年江苏省常州市溧阳市高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本小题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分)只需在答题卡上直接写出结果 1. (4 分)设 A=(﹣1,3],B=[2,4) ,则 A∩B=[2,3].

考点: 专题: 分析: 解答:

交集及其运算. 计算题. 结合数轴直接求解. 解:由数轴可得 A∩B=[0,2],

故答案为:[2,3]. 点评: 本题考查集合的运算,基础题.注意数形结合

2. (4 分)函数 f(x)=

的定义域为{x|x≥2 且 x≠3}.

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0,分式的分母不等于 0 求解 x 的取值集合得答案. 解答: 解:由 ,解得:x≥2 且 x≠3.

∴函数 f(x)=

的定义域为{x|x≥2 且 x≠3}.

故答案为:{x|x≥2 且 x≠3}. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题. 3. (4 分)函数 y=loga(x﹣1)+1(a>0,a≠1)的图象必定经过的点坐标为(2,1) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令对数的真数等于 1,求得 x、y 的值,即可求得函数的图象经过的定点坐标. 解答: 解:令 x﹣1=1,解得 x=2,求得 y=1,故函数的图象经过定点(2,1) , 故答案为 (2,1) . 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.

4. (4 分)若幂函数 y=f(x)的图象经过点(9, ) ,则 f(25)的值是 .

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 计算题;待定系数法. 分析: 设出幂函数 f(x)=x ,α 为常数,把点(9, )代入,求出待定系数 α 的值,得到 幂函数的解析式,进而可 求 f(25)的值.
α

解答: 解:∵幂函数 y=f(x)的图象经过点(9, ) ,设幂函数 f(x)=x ,α 为常数,

α

∴9 = ,∴α=﹣ ,故 f(x)= 故答案为: .

α

,∴f(25)=

= ,

点评: 本题考查幂函数的定义,用待定系数法求函数的解析式,以及求函数值的方法. 5. (4 分)已知点(x,y)在映射“f”作用下的对应点是(x+y,2x﹣y) ,若点 P 在映射 f 作用 下的对应点是(5,1) ,则点 P 的坐标为(3,2) . 考点: 映射. 专题: 集合. 分析: 根据运算的概念得出方程组 求解即可.

解答: 解:点(x,y)在映射“f”作用下的对应点是(x+y,2x﹣y) , ∵点 P 在映射 f 作用下的对应点是(5,1) , ∴ x=2,y=3, 故答案为; (3,2) 点评: 本题考查了映射的概念,方程组的求解属于中档题,关键是理解映射的概念.

6. (4 分)已知函数



,则 x 的值为 3.

考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 当 x<0 时,有 立. 解答: 解:当 x<0 时,有 ,x=2,不成立; ,x=2,不成立;当 x>0 时,有 , ,成

当 x>0 时,有



,成立.

故答案为:3. 点评: 本题考查分段函数函数值的求法,解题时要认真审题,注意对数运算性质的应用.

7. (4 分)设 a=0.3 ,b=2 ,c=log

2

0.3

2,则 a,b,c 的大小关系为 c>b>a(用“<”号连结)

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵0<a=0.3 <1,2>b=2 >1,c=log
2 0.3

2=2,

∴c>b>a. 故答案为:c>b>a. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 8. (4 分)若由表格中的数据可以判定方程 e ﹣x﹣2=0 的一个零点所在的区间为(k,k+1) (k∈N) ,则实数 k 的值为 1. x ﹣1 0 1 2 3 e x+2
x x

0.37 1

1 2

2.72 3

7.39 4

20.09 5

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 f (x) =e ﹣x﹣2 在 R 上连续, 从而判断函数的值的正负以确定函数的零点的位置. x 解答: 解:令 f(x)=e ﹣x﹣2 在 R 上连续, ﹣1 f(﹣1)=e +1﹣2<0, f(0)=1﹣0﹣2=﹣1<0, f(1)=e﹣1﹣2≈2.72﹣3<0, f(2)=e ﹣2﹣2>0; x 故方程 e ﹣x﹣2=0 的一个根在(1,2)之间, 故 k=1, 故答案为:1. 点评: 本题考查了方程的根与函数的零点的应用,属于基础题. 9. (4 分)“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了 一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点,若用 S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的路程,t 为时间,则下图与故事情节相吻合的是 (2) .
2 x

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,S1 的始终是匀速增长,开始时,S2 的增长比较快,但中间有一段时间 S2 停止增长.在最后一段时间里,S2 的增长又较快,但 S2 的值没有超过 S1 的值,由此得到 结论. 解答: 解:由题意可得,S1 的始终是匀速增长,开始时,S2 的增长比较快,但中间有一段 时间 S2 停止增长. 在最后一段时间里,S2 的增长较快,但 S2 的值没有超过 S1 的值. 结合所给的图象可知,应选(2) , 故答案为: (2) . 点评: 本题主要考查函数的图象的应用,关键是根据题意判断关于 t 的函数 S1、S2 的性质 以及其图象特征,属于中档题. 10. (4 分)若函数 y=x ﹣4x 的定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],则实数 a 的取值范围为 2≤a≤8. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 2 分析: 先配方,再计算当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2) ﹣4=32,利用定义 域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32],即可确定实数 a 的取值范围. 2 解答: 解:配方可得:y=(x﹣2) ﹣4 2 当 x=2 时,y=﹣4;当 x=﹣4 时,y=(﹣4﹣2) ﹣4=32; ∵定义域为[﹣4,a],值域为[﹣4,32], ∴2≤a≤8 ∴实数 a 的取值范围为 2≤a≤8 故答案为:2≤a≤8 点评: 本题考查二次函数在闭区间上的最值,考查函数的定义域与值域,正确配方是关键.
2

11. (4 分)已知函数 f(x)= 同的实根,则实数 m 的取值范围是(1,+∞) .

,若关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不

考点: 根的存在性及根的个数判断;对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象,图象交点的个数即为方程根的个数, 由图象可得答案. 解答: 解:由题意作出函数 f(x)= 的图象,

关于 x 的方程 f(x)=m 有两个不同的实根等价于 函数 f(x)= 与 y=m 有两个不同的公共点,

由图象可知当 k∈(1,+∞)时,满足题意, 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查方程根的个数,数形结合是解决问题的关键,属基础题. 12. (4 分)若对任意实数 x,规定[x]是不超过 x 的最大整数,如[﹣1.5]=﹣2,[1.14]=1 等,则 当 x∈(﹣0.5,2.5)时,函数 f(x)=[x]+1 的值域为{0,1,2,3}. 考点: 函数的值域. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意知,当 x∈(﹣0.5,2.5)时可求得[x]=﹣1,0,1,2;从而解得. 解答: 解:当 x∈(﹣0.5,2.5)时, [x]=﹣1,0,1,2; [x]+1=0,1,2,3; 故函数 f(x)=[x]+1 的值域为{0,1,2,3}; 故答案为:{0,1,2,3}. 点评: 本题考查了函数的值域求法的应用,属于基础题. 13. (4 分)某市规定:出租车 3 公里内起步价 8 元(即不超过 3 公里,一律收费 8 元) ,若超 过 3 公里,除起步价外,超过部分再按 1.5 元/公里收费计价.假如一乘客与司机约定以元为 单位计费(按四舍五入的原则不找零) ,下车后付了 16 元,则该乘客里程的范围是[8, ) .

考点: 分段函数的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 求出符合题意的函数关系式,其形式是一个分段函数,再利用函数根据车费,即可 计算乘坐里程. 解答: 解:由题意,乘车费用关于乘车里程的函数关系为

f(x)=

则由 15.5≤8+1.5(x﹣3)<16.5,可得 8≤x< 即有乘车里程的范围是[8, 故答案为:[8, ) . ) .



点评: 本题考查分段函数的应用,分段模型是解决实际问题的很重要的函数模型,其特点 是在不同的自变量取值范围内,函数解析式不同.

14. (4 分)已知函数 f(x)=

,若当 t∈[0,1]时,f(f(t) )∈[0,1],则

实数 t 的取值范围是[log3 ,1].

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 通过 t 的范围,求出 f(t)的表达式,判断 f(t)的范围,然后代入已知函数,通过 函数的值域求出 t 的范围即可. t 解答: 解:因为 t∈[0,1],所以 f(t)=3 ∈[1,3],

又函数 f(x)=



所以 f(f(t) )=3(不成立)或 f(f(t)= ﹣ ?3 , 因为 f(f(t) )∈[0,1], 所以 0≤ ﹣ ?3 ≤1,即 ≤3 ≤3, 解得:log3 ≤t≤1,又 t∈[0,1], 所以实数 t 的取值范围[log3 ,1]. 故答案为:[log3 ,1]. 点评: 本题考查函数与方程的综合应用,指数与对数不等式的解法,函数的定义域与函数 的值域,函数值的求法,考查计算能力. 二.解答题(本大题共 6 小题,满分 64 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15. (8 分)计算下列各式的值:
t t

t

(1)



+

×



(2)



考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1) 由指数幂的含义以及根式定义, = =﹣4, =1,

×

= ×

,即可求出结果.

(2)利用对数的运算法则直接化简即可. . 解答: 解: (1) ﹣

+ (2)

×

=



=

=

=

=1

点评: 本题考查指数和对数的运算法则,解题过程中要细心,确保正确性,属于基础题. 16. (10 分)已知 A={a ,a+1,﹣3},B={a﹣3,3a﹣1,a +1},C={x|mx=1},若 A∩B={﹣ 3} (1)求 a 的值; (2)若 C?(A∩B) ,求 m 的值. 考点: 集合关系中的参数取值问题;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: (1)利用集合与元素之间的关系得出 a 的值,再通过验证是否满足题意即可; (2)先得出集合 C,再分类讨论即可. 解答: 解: (1)∵﹣3∈B,∴a﹣3=﹣3 或 3a﹣1=﹣3,解得 a=0 或 .
2 2

当 a=0 时,A={0,1,﹣3},B={﹣3,﹣1,1},而 A∩B={﹣3,1}≠{﹣3},∴a≠0; 当 综上得 时,A={ . },B={ },A∩B={﹣3}.

(2)∵C?(A∩B) ,∴C=?或{﹣3}. ①当 C=?时,m=0,满足题意; ②当 C={﹣3}时,﹣3m=1,解得 满足题意.

综上可知:m=0 或



点评: 熟练掌握集合的运算和之间的关系及分类讨论是解题的关键. 17. (10 分) (1)已知关于 x 的方程 3tx +(3﹣7t)x+4=0 的两个实根 α,β 满足 0<α<1<β <2,求实数 t 的取值范围; (2)解方程 lg(x+1)﹣lg(1﹣x)=﹣lgx. 考点: 对数的运算性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)设 f(x)=3tx +(3﹣7t)x+4=0,则 f(0)=4>0.g 根据方程的两个实根 α, β 满足 0<α<1<β<2,可得 ,解出即可.
2

(2)利用对数的运算性质及其单调性即可得出. 2 解答: 解: (1)设 f(x)=3tx +(3﹣7t)x+4=0,则 f(0)=4>0. ∵方程的两个实根 α,β 满足 0<α<1<β<2, ∴ ,即 ,解得 .

∴实数 t 的取值范围为



(2)∵lg(x+1)﹣lg(1﹣x)=﹣lgx. 2 ∴x(x+1)=1﹣x,即 x +2x﹣1=0, 解之得 或 x=﹣1﹣ . 经过验证:只有 满足, ∴方程的解为 . 点评: 本题考查了二次函数的性质、函数的零点、对数的运算性质及其单调性,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)已知某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对 (t,p) ,点(t,p)落在图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q (万股)与时间 t(天)的部分数据如下表所示 第t天 4 10 16 22 Q(万股) 36 30 24 18 (1)试根据提供的图象,求出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关 系式; (2)若 t,Q 满足一次函数关系,试根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的 函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并 求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少? [提示:日交易额=日交易量 x 每股的交易价格].

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)当 0<t<20 时,设 p=at+b,从而可得 时的解析式,利用分段函数写出即可; (2)由题意可设 Q=kt+m,把(4,36) , (10,30)代入可得 ;从而解得; ,从而解得;再解当 20≤t≤30

(3)由题意可得 y=P?Q=

;从而求分段函数的最

值. 解答: 解: (1)当 0<t<20 时,设 p=at+b, 则由题意可知其图象过点(0,2) ; 所以 ,解得 ;

所以 p= t+2; 同理可得,当 20≤t≤30 时,p=﹣ t+8;

综上可得,p=



(2)由题意可设 Q=kt+m,把(4,36) , (10,30)代入可得, 解得 所以 Q=﹣t+40; (3)由题意可得, ;

y=P?Q=



当 0<t<20 时,t=15 时,ymax=125 万元, 当 20≤t≤30 时,t=20 时,ymax=120 万元, 综上可得,第 15 日的交易额最大为 125 万元. 点评: 本题考查了分段函数在实际问题中的应用,属于基础题.

19. (12 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)= (1)求实数 a 的值; (2)用定义证明 f(x)在 R 上是减函数;

是奇函数.

(3)已知不等式 f(logm )+f(﹣1)>0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由奇函数的性质得 f(﹣x)+f(x)=0 恒成立,代入解析式利用指数的运算化 简,求出 a 的值; (2)根据函数单调性的定义进行证明,即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论; (3)根据奇函数的性质将不等式转化为:f(logm )>f(1) ,再由函数的单调性得 logm < 1,利用对数的单调性对 m 进行分类讨论,再求出实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由于 f(x)是奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0 对于任意的 x∈R 都成立, 即
x x

,则
x

…(2 分)

可得﹣1+a?2 ﹣2 +a=0,即(a﹣1) (2 +1)=0…(3 分) x 因为 2 >0,则 a﹣1=0,解得 a=1…(4 分) (2)设 x1、x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x2)﹣f(x1)= ﹣

=

=

…(6 分) ,

因为 x1<x2,所以 所以 ,

, , ,

从而 f(x2)﹣f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1)…(7 分) 所以 f(x)在 R 上是减函数…(8 分) (3)由 f(logm )+f(﹣1)>0 可得:f(logm )>﹣f(﹣1)…(9 分) 因为 f(x)是奇函数,所以 f(logm )>f(1) , 又因为 f(x)在 R 上是减函数,所以 logm <1…(10 分) ①当 m>1 时,不等式成立; ②当 0<m<1 时,解得 0<m< ; 综上可得,0<m< ,或 m>1…(11 分) 故 m 的取值范围是(0, )∪(1,+∞)…(12 分) 点评: 本题考查函数奇偶性的应用,函数单调性定义的证明步骤:取值﹣作差﹣变形﹣判 断符号﹣下结论,对数函数的性质,以及利用函数的单调性与奇偶性求解不等式问题,属于中 档题.
2

20. (12 分)已知二次函数 y=f(x)=x +bx+c 的图象过点(1,13) ,且函数 y=



偶函数. (1)求 f(x)的解析式; 2 (2)已知 t<2,g(x)=[f(x)﹣x ﹣13]?|x|,求函数 g(x)在[t,2]上的最大值和最小值; (3)函数 y=f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方 数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)因为函数 程为 ,由此求得 b 的值,
2

是偶函数,所以二次函数 f(x)=x +bx+c 的对称轴方

2

再由 f(x)=x +bx+c 的图象过点(1,13) ,求出 c 的值,从而求得 f(x)的解析式. (2)由题意可得 g(x)=(x﹣2)?|x|,画出它的图象,讨论 t 的范围,结合图象求出 g(x) 在[t,2]上的 最值. 2 2 (3)如果函数 y=f(x)的图象上存在符合要求的点,设为 P(m,n ) ,从而 4n ﹣(2m+1) 2 =43,由此求得 m、n 的值,从而得出结论. 解答: 解: (1)因为函数 轴方程为 ,故 b=1.
2

是偶函数,所以二次函数 f(x)=x +bx+c 的对称

2

又因为二次函数 f(x)=x +bx+c 的图象过点(1,13) ,所以 1+b+c=13,故 c=11.

因此,f(x)的解析式为 f(x)=x +x+11. 2 (2)由题意可得 g(x)=(x﹣2)?|x|,当 x≤0 时,g(x)=﹣(x﹣1) +1, 2 当 x>0 时,g(x)=(x﹣1) ﹣1, 由此可知 g(x)在[t,2]上的最大值 g(x)max=g(2)=0. 2 当 1≤t<2,g(x)min =g(t)=t ﹣2t. 当 ,g(x)min=g(1)=﹣1. 2 当 ,g(x)min=g(t)=﹣t +2t. (3)如果函数 y=f(x)的图象上存在符合要求的点, 2 设为 P(m,n ) , 2 2 其中 m 为正整数,n 为自然数,则 m +m+11=n , 2 2 从而 4n ﹣(2m+1) =43, 即[2n+(2m+1)][2n﹣(2m+1)]=43. 注意到 43 是质数,且 2n+(2m+1)>2n﹣(2m+1) ,2n+(2m+1)>0, 所以有 ,解得 .

2

因此,函数 y=f(x)的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121) .

点评: 本题主要考查二次函数的性质应用,求二次函数在闭区间上的最值的方法,体现了 分类讨论、数形结合的数学思想,属于中档题.


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