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2005年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷及答案


2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
(2005 年 5 月 15 日 9:00—11:00) 一.选择题(本大题满分 36 分,每小题 6 分) 选择题( 1.设 1 + x + x
n

(

2 n

)

= a0 + a1 x + L + a2 n x 2 n ,求 a2 + a4 + L + a2 n 的值为
n

(A) 3

(B) 3 ? 2

3n ? 1 (C) 2

3n + 1 (D) 2

答: 【



2.若 sin x + sin y = 1 ,则 cos x + cos y 的取值范围是 (A) [?2, 2] 3.设 f1 ( x ) = (B) [?1, 1] (C)

[0, 3 ]

(D)

[? 3 , 3 ]

答: 【



2 , f 2 ( x) = sin x + cos 2 x , f 3 ( x) = sin

x + cos 2 x , f 4 ( x) = sin x 2 ,上述 2

函数中,周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答: 【 】

4.正方体的截平面不可能 不可能是 不可能 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答: 【 】 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形

而 则对于任意实数 t1 ,t 2 , 5. 已知 a ,b 是两个相互垂直的单位向量, | c |= 13 ,c ? a = 3 ,c ? b = 4 。

| c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是
(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答: 【 】

6.设函数 y = f (x ) 满足 f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ,则方程 f ( x ) = x 根的个数可能是 (A) 无穷多 (C) 有限个 (B) 没有或者有限个 (D) 没有或者无穷多 答: 【 】

二.填空题(本大题满分 54 分,每小题 6 分) 填空题( 7. 设 M = ? x

? x?2 x?3 ? x?6 x?5 3 2 ? 5 6 ? + = + + = + ? , N = ?x ? ,求 2 x ? 2 x ? 3? 6 x ? 6 x ? 5? ? 3 ? 5


M IN=

8. 已知数列 xn ,满足 ( n + 1) xn +1 = xn + n , 且 x1 = 2 , 则 x2005 = 9. 设函数 2 f ( x) + x f ( ) =
2
2



1 x

3x3 ? x 2 + 4 x + 3 ,则 f ( x ) = x +1
2



10. 设命题 P: c < c 和命题 Q: 对任何 x ∈ R , x + 4cx + 1 > 0 有且仅有一个成立,则实数 c 的 取值范围是 11. 在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列 。

{A }, j = 1,2,L ,以及在第一象限内的抛物线
j

y2 =

3 x 上从左向右依次取点列 {Bk }, k = 1,2,L ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k = 1,2,L )都是等边三角 2


形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是

12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从原点 O 沿正东偏北 α ( 0 ≤ α ≤

π
)方向

2

行走一段时间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则行走 2 分钟时,机器人所在位置的可能范围的面积是 。

解答题( 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三. 解答题(本大题满分 60 分,每小题 20 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 13.(20 分)设双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 ?PF1 F2 的顶点 P 在第一象限 的双曲线上移动, 求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF2 上的切点轨迹。

? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1 , x2 ,L xn ∈ R ,定义 S n = ∑ ? xi + 2 ? n xi ? i =1 ? ?
+

n

2

1)求 S n 的最小值;2)在 x1 + x2 + L + xn = 1 条件下,求 S n 的最小值;
2 2 2

3)在 x1 + x2 + L + xn = 1 条件下,求 S n 的最小值, 并加以证明。 15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同 新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器, 要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器, 相邻两个岗位不同时配备新式武器, 问共有 多少种配备新式武器的方案?

年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案 2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案
一 选择题 C D 二 填空题 7. B B C D

{0 }
? 1 ? ?1 ? , 0 ? ∪ ? , 1? ? 2 ? ?2 ?

8.

2005!+1 2005!

9. x ? 3 x + 6 ?
2

5 x +1

10. ? ?

11. 2005

12. 100π - 200

以下是详细解答 以下是详细解答 一. 选择题 1.设 1 + x + x
n

(

2 n

)

= a0 + a1 x + L + a2 n x 2 n ,求 a2 + a4 + L + a2 n 的值为
n

(A) 3

(B) 3 ? 2

(C)

3n ? 1 2

(D)

3n + 1 2

答: 【 C 】

【解】 :

令 x = 0 得 a0 = 1 ; 令 x = ?1 得 a 0 ? a1 + a 2 ? a3 + L + a 2 n = 1 ; 令 x = 1 得 a 0 + a1 + a 2 + a 3 + L + a 2 n = 3 ;
n

(1)

(2)

(3)

(2)+(3)得 2( a 0 + a 2 + a 4 + L + a 2 n ) = 3 + 1 ,
n



a0 + a 2 + a4 + L + a2n

3n + 1 = ,再由(1)得 2

a 2 + a 4 + L + a 2n

3n ? 1 = 。 2

∴选 【 C 】
2.若 sin x + sin y = 1 ,则 cos x + cos y 的取值范围是 (A) [ ?2, 2] (B) [ ?1, 1] (C)

[0, 3 ]

(D)

[? 3 , 3 ]

答: 【 D 】

【解】 :设 cos x + cos y = t , ∴ cos 2 x + 2 cos x cos y + cos 2 y = t 2 。 又由 sin x + sin y = 1 ,故 sin 2 x + 2 sin x sin y + sin 2 y = 1 。 因此有 2(cos x cos y + sin x sin y ) = t 2 + 1 ,即 2 cos( x ? y ) = t 2 + 1 由于 ? 1 ≤ cos( x ? y ) ≤ 1 ,所以有 t 2 ≤ 3 ,即 ? 3 ≤ t ≤

3。

∴选 【 D 】

3.设 f1 ( x ) =

2 , f 2 ( x) = sin x + cos 2 x , f 3 ( x) = sin

x + cos 2 x , f 4 ( x) = sin x 2 ,上述 2
答: 【 B 】

函数中,周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 【解】 f 1 ( x) = :

(D) 4

2 是以任何正实数为周期的周期函数;

为周期

f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 = 2π 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 =
的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数,故 f 2 ( x) 不是周期函数。

2

f 3 ( x) 是周期函数。 因为 sin

x 2

是以 T1 = 2 2π 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 =


为周

2

期的周期函数, 而

T1 = 2 ,故 f 3 ( x) 是周期函数。 T2
∴选 【 B 】

f 4 ( x) = sin x 2 不是周期函数。因此共有 2 个周期函数。

4.正方体的截平面不可能 不可能是 不可能 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答: B 】 【 【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三角形、 等腰三角形、等边三角形, 但不可能是钝角三角形, 直角三角形(证明略) ;对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形) 、平行四边形、菱形,矩形、但 不可能是直角梯形(证明略) ;对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是正五边形(证明略) ; 对六边形来讲,可以是六边形(正六边形) 。 ∴选 【 B 】 5. 已知 a ,b 是两个相互垂直的单位向量, | c |= 13 ,c ? a = 3 ,c ? b = 4 。 而 则对于任意实数 t1 ,t 2 ,

| c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是
(A) 5 (B) 7 【解】 :由条件可得
2

(C) 12
2

(D) 13
2 2

答: 【 C 】

c ? t1 a ? t 2 b = c ? 6t1 ? 8t 2 + t1 + t 2 = 144 + (t1 ? 3) 2 + (t 2 ? 4) 2 ≥ 144
当 t1 = 3, t 2 = 4 时, c ? t1 a ? t 2 b
2

= 169 + (t1 ? 3) 2 + (t 2 ? 4) 2 ? 25

= 144 。

∴选 【 C 】

6.设函数 y = f ( x ) 满足 f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ,则方程 f ( x ) = x 根的个数可能是

(A) 无穷多

(B) 没有或者有限个

(C) 有限个

(D) 没有或者无穷多 答: 【 D 】

【解】 f ( x + 1) = f ( x ) + 1 :

显然有解 f ( x ) = x + C ,其中 C 为任意实数。

当 C ≠ 0 时, f ( x ) = x 没有解。当 C = 0 时, f ( x ) = x 有无穷多个解。

∴选 【 D 】
二.填空题 7. 设 M = ? x

? x?2 x?3 ? x?6 x?5 3 2 ? 5 6 ? + = + + = + ? , N = ?x ? ,求 2 x ? 2 x ? 3? 6 x ? 6 x ? 5? ? 3 ? 5


M IN=

{0 }

【解】 :由已知可以解出 M = ?0, 5,

? ?

13 ? 61? ? ? , N = ?0, 11, ? 。故 M ∩ N = {0}. 5? 11 ? ?
2005!+1 。 2005!

12. 已知数列 xn ,满足 ( n + 1) xn +1 = xn + n , 且 x1 = 2 , 则 x2005 =

【解】 :由 (n + 1) x n +1 = x n + n ,推出 x n +1 ? 1 =

xn ? 1 。 n +1

因此有 x n +1 ? 1 =

x n ? 1 x n?1 ? 1 xn?2 ? 1 x1 ? 1 1 . = = =L= = n + 1 (n + 1)n (n + 1)n(n ? 1) (n + 1)n(n ? 1) L 2 (n + 1)!

即有 x n +1 =

1 2005!+1 + 1 。 从而可得 x 2005 = 。 (n + 1)! 2005!
2

13. 设函数 2 f ( x ) + x f ( ) =

1 x

5 3x3 ? x 2 + 4 x + 3 2 ,则 f ( x ) = x ? 3 x + 6 ? 。 x +1 x +1

【解】 令 x = :

1 1 3y3 + 4 y 2 ? y + 3 2 ,得 f ( y ) + 2 y f ( ) = 。把 y 改为 x 得 y y y +1

1 3x 3 + 4 x 2 ? x + 3 f ( x) + 2 x 2 f ( ) = x x +1 1 3x 3 ? x 2 + 4 x + 3 2 f ( x) + x 2 f ( ) = x x +1
联合(1) (2)消去 f ( ) ,可得 f ( x ) = x ? 3 x + 6 ?
2

――――――――― (1)

――――――――― (2)

1 x

5 。 x +1

14. 设命题 P: c < c 和命题 Q: 对任何 x ∈ R , x + 4cx + 1 > 0 有且仅有一个成立,则实数 c 的
2 2

取值范围是 ? ?

? 1 ? ?1 ? , 0 ? ∪ ? , 1? 。 ? 2 ? ?2 ?
0 < c < 1 ; 命题 Q 成立 可得 ?

【解】 命题 P 成立 可得 :

1 1 <c< 。 2 2

因此,要使命题 P 和命题 Q 有且仅有一个成立,实数 c 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ?1 ? , 0 ? ∪ ? , 1? 。 ? 2 ? ?2 ?

15. 在 x 轴的正方向上,从左向右依次取点列

{A }, j = 1,2,L ,以及在第一象限内的抛物线
j

y2 =

3 x 上从左向右依次取点列 {Bk }, k = 1,2,L ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k = 1,2,L )都是等边三角 2

形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。 【解】 :设第 n 个等边三角形的边长为 a n 。则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 的坐标为 ( a1 + a 2 + L + a n ?1 +

an , 2

a ? 3? 。 ? a1 + a 2 + L + a n?1 + n ? ) 2? 2 ?
3 ?1 ? 2 an ? ? an ? = a n 。从而有 2 ?2 ?
2

再从第 n 个等边三角形上,我们可得 Bn 的纵坐标为

3 an = 2

a ? 3? ? a1 + a 2 + L + a n ?1 + n ? , 2? 2 ?

即有

a a 1 2 1 2 a n = a1 + a 2 + L + a n ?1 + n 。由此可得 a1 + a 2 + L + a n = n + a n 2 2 2 2 a n ?1 1 2 + a n ?1 2 2

(1)

以及 a1 + a 2 + L + a n ?1 = (1)-(2)即得 a n =

(2)

1 1 (a n ? a n ?1 ) + (a n ? a n ?1 )(a n + a n ?1 ) . 2 2

变形可得 ( a n ? a n ?1 ? 1)(a n + a n ?1 ) = 0 . 由于 a n + a n ?1 ≠ 0 ,所以 a n ? a n ?1 = 1 。 在(1)式中取 n = 1,可得

1 1 a1 = a12 ,而 a1 ≠ 0 ,故 a1 = 1 。 2 2

因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 = 2005 。

y 12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从 原点 O 沿正东偏北 α ( 0 ≤ α ≤ )方向行走一段时 A 2 间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。

π

α

P(x,y)

x

【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y ) 。设机器人改变方向的点为 A, OA = a ,

? x = a cos α AP = b 。则由已知条件有 a + b = 2 × 10 = 20 ,以及 ? . ? y = a sin α + b
所以有 ?

? x 2 + y 2 = a 2 + 2ab sin α + b 2 ≤ (a + b) 2 = 400 ? x + y = a(sin α + cos α ) + b ≥ a + b = 20
y P K H BO AG x

即所求平面图形为弓形,其面积为 100π ? 200 平方米。 三. 解答题 13.(20 分)设双曲线 x 2 ? y 2 = 1 的左、右焦点分别 若 为 F1 ,F2 , ?PF1 F2 的顶点 P 在第一象限的双曲线 上移动, 求 ?PF1 F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切 圆在边 PF2 上的切点轨迹。

【解】 如图, 记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0), 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 F1 F2 上 G 的切点,H 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,K 为 ?PF1 F2 的内切圆在边 PF1 上的切点。则 有

GF1 ? GF2 = KF1 ? HF2 = ( KF1 + KP ) ? ( HF2 + HP ) = PF1 ? PF2
--------------------------------5分

由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G = F2 A =

2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ?PF1F2 的内切圆在

边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分

因为 P ( x, y ) 是在 x ? y = 1 第一象限的曲线上移动, PF2 沿双曲线趋于无穷时, x 轴 当 与
2 2

正向的交角 θ 的正切的极限是 lim tan θ = lim
x → +∞

x2 ?1 x? 2

x → +∞

=1

即 θ →

π
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式)

? x ? 2 = ( 2 ? 1) cos θ , ? y = ( 2 ? 1) sin θ ?
也可以用直角坐标形式。

π


4

<θ <π )

--------------------------------- 15 分

由于 G 与 A(1, 0)重合, 是定点, 故该内切圆圆心的轨迹是直线段, 方程为 x = 1 ( 0 < y < 1 ) 。 ------------------------------------------------- 20 分

? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1 , x2 ,L xn ∈ R ,定义 S n = ∑ ? xi + 2 ? n xi ? i =1 ? ?
+

n

2

1)求 S n 的最小值;2)在 x1 + x2 + L + xn = 1 条件下,求 S n 的最小值;
2 2 2

3)在 x1 + x2 + L + xn = 1 条件下,求 S n 的最小值, 并加以证明。
n ? n ?1 ? n ?1 n ?1 ? = 4∑ 2 = 4 【 解 】1) S n ≥ ∑ ? 2 2 ? ? n n ? i =1 ? i =1 n n 2

----------------------------------- 5 分

(当 xi =
n

n ?1 时,取到最小值) n

2) S n =

? 2 n ? 1 (n ? 1) 2 1 ? n ? 1 (n ? 1) 2 ? xi + 2 2 + ? = 1+ 2 + ∑? n n n 4 xi2 ? n4 i =1 ? ?
n ? 1 (n ? 1) 2 n ?1 2 + = (1 + ) 2 n n n 1 n
2

∑x
i =1

n

1
2 i

≥ 1+ 2

---------------------------10 分

(当 x1 = x 2 = L = x n =

时,取到最小值 (1 +

n ?1 2 ) ) n

?n ? n ?1 1 3) 因为 ?∑1 ? ? x i + 2 ? n xi ? i =1 ?
n
2

?? n ?1 1 ? n ? n ? ? ? ≤ ? ∑ 12 ? ? ∑ ? x i + 2 ? ? n xi ? i =1 ? i =1 ? ??
2

? ? ? ?

2

? 1? n ? n ?1 1 n ?1 1 ? ? ≥ ?∑ ? xi + 2 所以 S n = ∑ ? xi + 2 ? ? ? n xi ? n ? i =1 ? n xi i =1 ?

?? 1 n ?1 ?? ≥ ?1 + 2 ? n 2 ? = n . ---------15 分 ? ? ? n? n ? ??
2

(当 x1 = x 2 = L = x n =

1 时,取到最小值 n ) n
(5 分) 满分 20 分

每小题指出什么时候取到。

15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同 新式武器,打算安排 5 个岗位配备这些新式武器,要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器,相邻两个岗位不同时配备新式武器,问共有多 少种配备新式武器的方案? 【解】 设 20 个岗位按先后排序为 1,2, : ,… ,20,且设第 k 种新式武器设置的序号为 a k

(k = 1,2,3,4,5) 。令 x1 = a1 , x 2 = a 2 ? a1 , x3 = a 3 ? a 2 , x 4 = a 4 ? a 3 , x5 = a 5 ? a 4 , x6 = 20 ? a 5 ,则有 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 + x6 = 20
其中 2 ≤ x k ≤ 5 (k = 1,2,3,4,5) , 1 ≤ x 6 ≤ 4 。 (*) -------------------------------------- 5 分

作代换 y k = x k ? 1 (k = 1,2,3,4,5) , y 6 = x 6 ,从而有 y1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15 (**) 其中 1 ≤ y k ≤ 4 ( k = 1,2,3,4,5,6) 。 ---------------------------------------------------------- 10 分

现求解问题( ) 现求解问题(**): 方法一: 方法一:设 I 为 y1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 = 15 的正整数解的全体,Ak 为 I 中 y k 满足 y k > 4
的解的全体。则

I Ak = I ?
k =1

6

U Ak = I ? ∑ Ak + ∑ A j Ak
k =1 k =1 j <k

6

6

上式成立的原因是 Ai A j Ak = φ ,因为没有同时满足 y i > 4 , y j > 4 , y k > 4 的
6

∑y
k =1

6

k

= 15 的正

整数组。所以

IA
k =1

k

5 5 2 5 = C14 ? 6C10 + C 6 C 6 = 2002 ? 1512 + 90 = 580 .

-------------- 15 分

方法二

: 问题(**)的解数等于 ( x + x 2 + x 3 + x 4 ) 6 展开式中 x 15 的系数。

而 ( x + x 2 + x 3 + x 4 ) 6 = x 6 (1 + x + x 2 + x 3 ) 6 = x 6 (1 + x ) 6 (1 + x 2 ) 6 , 故只须求 (1 + x ) 6 (1 + x 2 ) 6 展开式中 x 9 的系数。

(1 + x) 6 (1 + x 2 ) 6 = (1 + 6 x + 15x 2 + 20 x 3 + 15 x 4 + 6 x 5 + x 6 ) × (1 + 6 x 2 + 15 x 4 + 20 x 6 + 15 x 8 + 6 x 10 + x 12 )
因此 x 9 的系数为 6×15+20×20+6×15 = 580。 ----------------------------------------- 15 分

因为 5 种新式武器各不相同,互换位置得到不同的排列数,所以配备新式武器的方案数等于 580 × 5!= 69600 。 ------------------------------------------ 20 分


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