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2016


1.3 第二课时 函数的极值与导数
一、课前准备 1.课时目标 (1)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. (2)会用导数求函数的极大值和极小值. 2.基础预探 (1) 函数极值定义 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有点,都有 f(x)<f(x0), 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个 ,记作 y 极大值=f(x0),x0 是 . 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)> f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个 , 记作 y 极小值= f(x0),x0 是 .极大值与极小值统称为极值. (2) 判别 f(x0)是极大、极小值的方法: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数 ,则 x0 是 f ( x) 的极值点, ,则 x0 是 f ( x) 的 , f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” 如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足 “左负右正” , 则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) f ( x0 ) 是极大值; 是 . (3) 求可导函数 f(x)的极值的基本步骤: (1)确定函数的定义区间,求 . (2)求方程 f′(x)=0 的 . (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干小开区间,并列成表格.检 查 f ′ (x) 在方程 根左 右的 值的 , 如果 左正 右负 ,那么 f(x) 在 这个 根处取 得 ;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得 ;如果左右不改变符号, 那么 f(x)在这个根处 . 二、学习引领 极值点和极值的常见基本性质: 1. 极值是一个局部概念. 由定义可知,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. 2. 函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一 个. 3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必大于极小值,如图(1) 所示, x1 是极大值点, x4 是极小值点,而 f ( x4 ) > f ( x1 )
王新敞
奎屯 新疆

4. 若函数 f(x)在[a,b]上有极值,它的极值点的分布是有规律的,如图(2)所示,相邻两个 极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.

1

5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点. 3 6. 可导函数的极值点的导数为 0,但是导数为 0 的点不一定是极值点,如函数 y=x 在 x=0 处导数为 0,但 x=0 不是极值点. 三、典例导析 题型一 求函数的极值 例 1 设函数 f ( x) ? ? x( x ? a)2 ( x?R ) ,其中 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极大值和极小值. 思路导析: 先求函数的导数,再令导函数为零,求可疑极值点,最后列表判断极值,并求 出极值. 解: f ( x) ? ? x( x ? a)2 ? ? x3 ? 2ax 2 ? a 2 x , f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a .由于 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表: 3
a a 3 3

x
f ?( x )

(??, )

( ,a )
3

a

a
0

( a, ?? )

?
a

0

?

?

因此,函数 f ( x) 在 x ?

a a 4 3 a ;函数 f ( x) 在 x ? a 处 处取得极小值 f ( ) ,且 f ( ) ? ? 3 3 27 3

取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 . 规律总结: 该问题既求函数的极大值,又求极小值,需要依据求极值的基本步骤进行.列 表判断符号是关键.当两个可疑极值点大小不确定时,需要进行分类讨论. 变式训练 1 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? ,求函数 f ( x) 在 [?1,1] 的极值. 3 3

题型二 函数极值(点)的判定 例 2 已知函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图 象如下图所示,则( ).

A.函数 f(x)有 1 个极大值点,1 个极小值点 B.函数 f(x)有 2 个极大值点,2 个极小值点 C.函数 f(x)有 3 个极大值点,1 个极小值点 D.函数 f(x)有 1 个极大值点,3 个极小值点 思路导析:依据导函数值的符号与函数单调性的关系,判断函数的单调性,再依据单调 性判断函数极值. 解:由导函数图象可知 ,当 x ? x2 和 x ? x3 时,当函数值非负,其余部分导函数值非正 , 据此可以判断 x2 为极大值点, x3 为极小值点,故该函数 f(x)有 1 个极大值点,1 个极小值 点. 规律总结:由图象性质判断函数的极值,其依据是函数极值的定义,因此,由导函数的性

2

质判断函数的单调性,是解决该类问题的关键所在. 变式练习 2 已知 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数, 如果 f ( x ) 与 g ( x) 仅当 x ? 0 时的函数值为 0,且 f ( x) ? g ( x) ,那么下列情形不可能 出现的是( ... A.0 是 f ( x ) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值 B.0 是 f ( x ) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值 C.0 是 f ( x ) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值 D.0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值 题型三 已知函数的极值,求参数的值或取值范围 例 3 已 知 函 数 f ? x ? ? ?x ? ax ? bx ? c 图 象 上 的 点 P ?1,? 2 ? 处的切线方程为
3 2

).

y ? ?3x ? 1 .若函数 f ? x ? 在 x ? ?2 时有极值,求 f ? x ? 的表达式.
思路导析:求函数的解析式 ,即求参数 a, b, c 的值.利用极值的性质和切线的意义建立方 程组,解方程组,便可求解. 解: f
'

? x? ? ?3x2 ? 2ax ? b , 因 为 函 数 f ? x ? 在 x ? 1 处 的 切 线 斜 率 为 -3 , 所 以

f ' ?1? ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 (1). f ?1? ? ?1? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 .(2) 函 数 f ? x ? 在 x ? ?2 时 有 极 值 , 所 以 f ' ? ?2? ? ?12 ? 4a ? b ? 0 (3) ,联立方程 (1),(2),(3), 解得 a ? ?2, b ? 4,c ? ?3, 所 以 f ? x ? ? ?x3 ? 2x2 ? 4x ? 3 .
规律总结: 上述问题中,为了建立方程,充分利用了函数 f ( x) 在 x ? x0 处有极值的必要 条件 f '( x ) ? 0 .在此需要注意一点,一般情况下,对求得的值或范围,需要依据极值点的定 义进行检验,以确定取舍. 变式练习 3 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x, a ? R ,若 x ? e为y ? f ( x) 的极值点,求实数
2

a.
四、随堂练习 1. 函数 y ? 1 ? 3x ? x 有(
3

).

3

A. 极小值-1,极大值 1 C. 极小值-2,极大值 2 2. 已知函数 f ( x ) ?

B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-1,极大值 3 ). D.有极大值和极小值

ln x ,那么( x

A.没有极值 B.有极小值 C. 有极大值 3. 下列说法正确的是( ). A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于 f ( x) ? x 3 ? px2 ? 2 x ? 1,若 | p |? D.函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上一定存在最值.

6 ,则 f ( x) 无极值;

4. 若 函 数 y=x +ax +bx+27 在 x= - 1 时 有 极 大 值 , 在 x=3 时 有 极 小 值 , 则 a=___________,b=___________. 5. 函数 f(x)=x-

3

2

3 3 x 的极大值是___________,极小值是___________. 2

2

? ∞) 内的极 6. 设 a ? 0 , f ( x) ? x ? 1 ? ln 2 x ? 2a ln x( x ? 0) .令 F ( x) ? xf ? ( x) , 求 F ( x) 在 (0,

值. 五、课后作业 1. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在
y y=f'(x)

( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在 ( a, b) 内有极小值
b

点共有( ). A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 2..下列四个函数,在 x=0 处取得极值的函数是( ). 3 2 x ①y=x ②y=x +1 ③y=|x| ④y=2 A.①② B.②③ C.③④ 3.若函数 f ( x) ? m cos x ? 4.函数 f(x)=x+

a

o

x

D.①③ . .

1 ? sin 2 x 在 x ? 处取得极值,则 m ? 2 4

a +b 有极小值 2,则 a、b 应满足的条件是 x

2 2 5. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? a x (a ? R) ,若 x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点,求 a 的

值.
3 6. 已知函数 f ( x) ? ax ? cx ? d (a ? 0) 是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取得极值 ?2 .

求 f ( x) 的单调区间和极大值.

4

1.3 第二课时 函数的极值与导数答案及解析 一、2. 基础预探 (1) 极大值; 极大值点; 极小值; 极小值点 (2)异号; 极大值点; 极小值. (3) 导函数 f ?( x) ;根; 符号; 极大值; 极小值; 无极值. 四、变式练习 1.解: 由 f ( x) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? 求导得, f ?( x) ? a2 x2 ? 2ax . 令 f ?( x) ? 0得: 3 3

x1 ? 0 , x2 ?

2 a 2 (1)当 0 ? ? 1 即 a ? 2 时 a

x
f ?( x ) f ( x)

(-1,0) + ↗ 6分

0 0 极大值

2 (0, ) a


2 a
0 极小值

2 ( ,1) a
+ ↗

故 f ( x) 的极大值是 (2) 当

2 2a ? 4 ;极小值是 . 3a 3

2 ? 1 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 (?1, 0) 上递增, 在 (0,1) 上递减,所以 f ( x) 的极大值 a 2 为 f (0) ? ,无极小值. 3
2. 解答 : C. 解析 : 依 据函 数极 值的 定义 , 如 果 0 是 f ( x ) 的 极大 值 , 则在 极值点 的附 近 , f ( x) ? 0 恒成立 , 结合 f ( x) ? g ( x) , 所以 g ( x) ? 0 , 在某个点附近成立 , 所以也是

g ( x) 的极大值,故 C 错误.其它选项同理可以判断正确.
3. 解答求导得 f '( x) ? 2( x ? a) ln x ?

( x ? a) 2 a ? ( x ? a)(2ln x ? 1 ? ). 因为 x ? e是f ( x) x x
a e

的极值点,所以 f '(e) ? (e ? a )(3 ? ) ? 0, 解得 a ? e或a ? 3e 经检验,符合题意,所以

a ? e或a ? 3e.
四、随堂练习
2 1. 答案:D.解析: y? ? 3 ? 3x ? 3(1 ? x)(1 ? x) ,令 y? ? 0 得 x ? 1,

x ? ?1 ,当 x ? ?1 时,

y? ? 0 ;当 ?1 ? x ? 1 时, y? ? 0 ;当 x ? 1 , y? ? 0 , ? x ? ?1 时, y极小 ? ?1 ,当

5

x ? 1 y极大 ? 3 ,故选 D.
2. 答案:C.解析: f ?( x ) ? 以 x ? e 为极大值点.

1 ? ln x ,当 0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 , 当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所 x2

3.答案 :C.解析 : 由 f ( x) ? x 3 ? px2 ? 2 x ? 1 知, f ?( x) ? 3x 2 ? 2 px ? 2 ,当 | p |? 判别式小于零,所以 f ( x) 无极值. 4. 答案:-3,-9.解析:求导将 x=-1,x=3 代入,得方程组,解方程组即得. 5. 答案: 0 ,-

6 时,

1 1 .解析: f ?( x) ? 1 ? ,当 x ? 0 时,导数不存在,有极大值 0;当 x ? 1 , 3 2 x

取极小值 ?

1 . 2

6. 解:求导得 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 ,故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , x x 2 x?2 ,x ? 0 .列表如下: 于是 F ?( x) ? 1 ? ? x x

x
F ?( x )

(0, 2)

2
0

(2, ? ?)

?


?


F ( x)

极小值 F (2)

所以,在 x ? 2 处取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . 五、课后作业 1. 答案:A.解析:函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图 所示,函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值的点,即函数由减函数变为增函数的点,其 导数值为由负到正的点,只有 1 个,故选 A. 3 x 2. 答案:B.解析: ①y=x , ④y=2 在 x=0 处无极值. ②③符合. 3. 答 案 :0. 解 析 : 因 为 f ( x) 可 导 , 且 f ' ( x) ? ?m sin x ? cos 2 x , 所 以

f '(

?
4

) ? ?m

在x?

?
4

s i?n 4

?

?

1 ? c o, 解得 s m? 0 0 . 经验证当 m ? 0 时 , 函数 f ( x) ? sin 2x 2 2

处取得极大值.

4. 答案: a>0,b=2(1- a )..解析:f′(x)=

x2 ? a 2 .由题意可知 f′(x)=0 有实根,即 x 2 x

6

-a=0 有实根,∴a>0,∴x= a 或 x=- a ,∴f′(x)=

( x ? a )(x ? a ) 令 f′(x)>0, x2

得 x<- a 或 x> a ; 令 f′(x)<0,得- a <x< a 且 x≠0.∴f(x)在 x=- a 时取得极 大值;f(x)在 x= a 时取得极小值 2.∴ a +

a +b=2,即 2 a +b=2,∴a、b 应满足的条 a

件为 a>0,b=2(1- a ). 5. 解 : 函 数

f ( x)











(0,??)

.

f '( x) =

1 + a - 2a 2 x x

=

- 2a 2 x 2 + ax + 1 . x

因 为 x = 1 是 函 数 y = f ( x) 的 极 值 点 , 所 以

f '(1) = 1+ a - 2a2 = 0 . 所以 a = x = 1 是函数 y = f ( x) 的极值点.

1 或 a = 1. 2
所以 a 的值是 -

经检验, a = -

1 或 a = 1 时, 2

1 或1 . 2

6. 解析:由奇函数定义,有 f (? x) ? ? f ( x), x ? R . 即

?ax3 ? cx ? d ? ?ax3 ? cx ? d ,? d ? 0. 因此, f ( x) ? ax3 ? cx, f '( x) ? 3ax2 ? c.
?? 2 由 条 件 f (1) 为 f ( x) 的 极 值 , 必 有 f '(1) ? 0,
a ? 1, c ? ?3. f '(?1) ? f '(1) ? 0.
当 x ? (??, ?1) 时, f '(x ) ? 0 ,故 f ( x) 在单调增区间为 (??, ?1) ; 当 x ? (?1,1) 时, 因 此 故

?a ? c ? ?2 ? ?3a ? c ? 0
? x3

,解得

f(

? x) 3 ? x

x )2 3 f ' x, (?

? 3 x ?3 ( x ? 1 )

(

f '(x ) ? 0,故 f ( x) 的单调减区间 (?1,1) ;当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,故 f ( x) 单调
增区间为 (1, ??) .所以, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,极大值为 f (?1) ? 2.

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