详!二次方程根的分布情况归纳(完整版)

一元二次方程根的分布
设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ，相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ，
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）

表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）
分 布 情 况 大 致 图 象 （ ）
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0， 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0
）

大 致 图 象 （

得 出 的 结 论 综 合 结 论 （ 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0

）

表二： （两根与 k 的大小比较）
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ，一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0
）

大 致 图 象 （

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0
）

大 致 图 象 （

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 （ 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0

）

表三： （根在区间上的分布）
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内， 另一根在 ? p, q ?

（图象有两种情况，只画了一种） 内， m ? n ? p ? q

a?0
）

大 致 图 象 （

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0
）

大 致 图 象 （

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 （ 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a

）
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 ?m, n? 外，即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n ， （图形分别如下） 需满足的条件是

（1） a ? 0 时， ?

? ? f ? m? ? 0 ； f n ? 0 ? ? ? ?

（2） a ? 0 时， ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况：

1?

若 f ? m? ? 0 或 f ? n ? ? 0 ， 则此时 f ? m? f ? n ? ? 0 不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ，
2

可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间 ?m, n? 内， 从而可以求出参数的值。 如方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根，因为 f ?1? ? 0 ，所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ，另一根为 得

2 2 ，由1 ? ? 3 m m

2 ? m ? 2 即为所求； 3
方程有且只有一根，且这个根在区间 ?m, n? 内，即 ? ? 0 ，此时由 ? ? 0 可以求出参数的值，然后再将参数

2?

的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程

x2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有 且 一 根 在 区 间 ? ?3, 0 ? 内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： ① 由 f ? ?3? f ? 0? ? 0 即

?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得 出 ?3 ? m ? ? 14 ； ② 由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ? 2 ， 当
m ? ?1 时，根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ，即 m ? ?1 满足题意；当 m ?
综上分析，得出 ?3 ? m ? ?

15

3

3 3 时，根 x ? 3 ? ? ?3,0? ，故 m ? 不满足题意； 2 2

15 或 m ? ?1 14