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详!二次方程根的分布情况归纳(完整版)


一元二次方程根的分布
设方程 ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的不等两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,相应的二次函数为 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? 0 ,
2

方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)

表一: (两根与 0 的大小比较即根的正负情况)
分 布 情 况 大 致 图 象 ( )
两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 ? x1 ? 0 ? x2 ?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

? x1 ? 0, x2 ? 0?

a?0

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? 2 a ? ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论 综 合 结 论 ( 不 讨 论

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ?? ? 2a ? ? f ?0? ? 0

f ?0? ? 0

a

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

? ??0 ? b ? ?0 ? ? ? 2a ? ?a ? f ? 0 ? ? 0

a ? f ?0? ? 0



表二: (两根与 k 的大小比较)
分 布 情 况
两根都小于 k 即 两根都大于 k 即 一个根小于 k ,一个大于 k 即

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k , x2 ? k

x1 ? k ? x2

a?0


大 致 图 象 (

k

k

k

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f ?k ? ? 0

f ?k ? ? 0

综 合 结 论 ( 不 讨 论

a

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

? ??0 ? b ? ?k ? ? 2 a ? ? ?a ? f ? k ? ? 0

a ? f ?k ? ? 0



表三: (根在区间上的分布)
分 布 情 况
两根都在 ?m, n? 内 两根有且仅有一根在 ?m, n? 内 一根在 ?m, n? 内, 另一根在 ? p, q ?

(图象有两种情况,只画了一种) 内, m ? n ? p ? q

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

a?0


大 致 图 象 (

得 出 的 结 论

? ??0 ? ? f ?m? ? 0 ? ? f ?n? ? 0 ? b ?m ? ? ?n 2a ? ?

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ? m? ? 0 ? ? f ? m? f ? n? ? 0 ? f ? n? ? 0 ? 或? ? ? f ? p? f ?q? ? 0 ? f ? p? ? 0 ? ? f ?q? ? 0 ?

综 合 结 论 ( 不 讨 论

——————

f ?m? ? f ?n? ? 0

? f ?m ? f ?n ? ? 0 ? ? ? ? f ? p ? f ?q ? ? 0

a


根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间 ?m, n? 外,即在区间两侧 x1 ? m, x2 ? n , (图形分别如下) 需满足的条件是

(1) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ; f n ? 0 ? ? ? ?

(2) a ? 0 时, ?

? ? f ? m? ? 0 ? ? f ? n? ? 0

对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况:

1?

若 f ? m? ? 0 或 f ? n ? ? 0 , 则此时 f ? m? f ? n ? ? 0 不成立, 但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ,
2

可以求出另外一根, 然后可以根据另一根在区间 ?m, n? 内, 从而可以求出参数的值。 如方程 mx ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根,因为 f ?1? ? 0 ,所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? ,另一根为 得

2 2 ,由1 ? ? 3 m m

2 ? m ? 2 即为所求; 3
方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值,然后再将参数

2?

的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程

x2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有 且 一 根 在 区 间 ? ?3, 0 ? 内 , 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 : ① 由 f ? ?3? f ? 0? ? 0 即

?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得 出 ?3 ? m ? ? 14 ; ② 由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得 出 m ? ?1 或 m ? 2 , 当
m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意;当 m ?
综上分析,得出 ?3 ? m ? ?

15

3

3 3 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意; 2 2

15 或 m ? ?1 14



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