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2013年高考数学必备经典例题分析(知识梳理+典例练习)03


例 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ? 2 n

2

? n ,求数列

?a n ? 的通项公式.
1.数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n
[来源:学_科_网]

的关系:

( n ? 1) ? S1 an ? ? ? S n ? S n ?1 ( n ≥ 2 )

例 2.已知 a 1 ? 3 且 a n ? S n ? 1 ? 2 ,求 a n 及 S n .
n

例 3.已知 a 1 ? 1 , S n ? n a n
2

( n ≥ 1) 求 a n 及 S n .

数 列 例 4.求和 1 ? 2.数列求和的常用方法:公式法、裂 项相消法、错位相减法、倒序相加法 等。 关键是找数列的通项结构。 例 5.数列 1
1

1 1? 2

?

1 1? 2 ? 3

?? ?

1 1? 2 ? 3?? ? n

.

,3

1

,5

1

,7

1 16

,…,(2n-1)+

1 2
n

的前 n 项之和为

2 4 8 Sn,则 Sn 等于( )

(A)n +1-
2

2

1 2
n

(

(C)n +1-
2

1
n ?1

例 6.求和: S ? 1 ? 2 x ? 3 x ? 4 x ? ? ? n x
2 3

n ?1

.

等差数列 定 义 递 推
a n ? 1 ? a n ? d ( d 为常数, n ≥ 2 )

等比 数列
a n ?1 an ? q (q ? 0, 且 为 常 数 ,n ≥ 2)

a n ? a n ?1 ? d ( a n ? a m ? ( n ? m ) d )

a n ? a n ?1 q ( a n ? a m q

n?m

)

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公 式 通 项 公 式 中 项
a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

a n ? a1 q

n ?1

( a1 , q ? 0 )

等 差 数 列 与 等 比 数 列

A ?

an?k ? an?k 2

G ? ?

an?k an?k (an?k an?k ? 0)

( n, k ? N , n ? k ? 0 )
*

( n, k ? N , n ≥ k ≥ 0 )
*


n

Sn ?

n 2

( a1 ? a n ) n ( n ? 1) 2 d

项 和

? n a1 ?

? n a 1 ( q ? 1) ? S n ? ? a ?1 ? q n ? a ? anq 1 ? 1 ( q ? 1) ? 1? q 1? q ?

d ? ?d ? 2 ? ? ? ? n ? ? a 1? ? n 2 ? ? 2 ? ?

重 要 性 质

① 等 和 性 : am ? an ? a p ? aq (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q )
*

① 等 积 性 : am ? an ? a p ? aq (m , n, p, q ? N , m ? n ? p ? q )
*

② an ? am ? (n ? m )d ③从等差数列中抽取等距离的项组成 的数列是一个等差数列。 如: a 1 , a 4 , a 7 , a 1 0 , ? ? ? (下标成等差数 列)

② an ? am ? q

n?m

③从等比数列中抽取等距离的项组成 的数列是一个等比数列。 如: a 1 , a 4 , a 7 , a 1 0 , ? ? ? (下标成 等差数 列) 证明一个数列为等比数列的方法: 1.定义法
a n ?1 an ? q (常 数 )

证 明 方 法

证明一个数列为等差数列的方法: 1.定义法 2.中 项 法
a n ?1 ? a n ? d (常 数 ) a n ?1 ? a n ?1 ? 2 a n ( n ? 2 )

2.中项法 设 元 技 巧 联 系 三数等差: a ? d , a , a ? d 四数等差: a ? 3 d , a ? d , a ? d , a ? 3 d

a n ? 1 ? a n ? 1 ? a n) ( n ? 2 ) (

2

三数等比:

a q

, a , a q或 a , a q , a q

2

四数等比: a , a q , a q , a q 真数等比,对数等差; 指数等差,幂值等比。

2

3
[来源:学&科&网]

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重点把握通项公式和前 n 项和公式,对于 性质主要是理解(也就是说自己能推导出来),具 体运用时 .. 就能灵活自如.特别是推导过程中运用的方法,是我们研究其他数列的一种尝试.如推导等差数列通项 公式的“累差”法和推导等比数列通项公式的“累积”法,是我们求其他数列通项公式的一种经验. 又比如推导等差数列求和公式的“倒序相加法”和推导等比数列求和公式的“错位相减法”都是数列 求和的重要技巧.
[来 源:Zxxk.Com]

等 差 数 列 与 等 比 数 列

注:⑴等差、等比数列的证明须用定义证明;⑵数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比 数列的通项公式、前 n 项和公式及其性质熟练地进行计算,是高考命题重点考查的内容.⑶解答有关 数列问题时,经常 要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题,是我们复习应达到的目 标.①函数思想:等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 n 的函数,所以等差等比数列的某 些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨 论思想: 用等比数列求和公式应分为 S n ?

a 1 (1 ? q )
n

1? q

( q ? 1) 及 S n ? na 1 ( q ? 1) ;已

知 S n 求 a n 时,也要进行分类;③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求解的思 维定势,运用整体思想求解.⑷在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将实际问题抽象化, 转化为数学问题,再利用有关数列知识和方法来解决.解答 此类应用题是数学能力的综合运用,决不 是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 例 7.等差数列{a n}中,已知 a 1 ? (A)48 (B)49

1 3

[来源:学_科_ 网 Z_X_X_K][来 源:学科网]

, a6 ? (C)50
3

11 3

,a n =33,则 n 为( (D)51



例 8.在等比数列 ? a n ? 中, a 7 ? 1 2 , q ? 例 9. 2 ?

2 ,则 a1 9 ? _ _ _ _ _ .
)

3 和2 ?

3 的等比中项为(
(B) ? 1

( A )1
等 差 数 列 与 等 比 数 列

(C ) ? 1

( D )2

例 10. 在等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? ? 2 , a 5 ? 54 ,求 a 8 ,

例 11.在等比数列 ? a n ? 中, a 1 和 a 1 0 是方程 2 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个根,
2

则 a4 ? a7 ? (

)

( A) ?

5 2

(B)

2 2

(C ) ?

1 2

(D )

1
[来源:学科网][来源:学§科§网]

2
)

例 12.已知等差数列 ? a n ? 满足 a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 1 0 1 ? 0 ,则有(

( A ) a1 ? a1 0 1 ? 0

( B ) a 2 ? a1 0 0 ? 0
2

(C ) a 3 ? a 99 ? 0
? 2n ,

( D ) a51 ? 5 1

例 13. 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 n

求证: 数列 ?a n ? 成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。

例 14. 一个等差数列的前 12 项之和为 354,前 12 项中偶数项与奇数项之比为 32:27,求公差.

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例 15. 在等比数列 ?a n ? ,已知 a 1 ? 5 , a 9 a 10 ? 100 ,求 a 18 .

例 16.设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和 ,已知 S7=7,S15=75, 等 差 数 列 与 等 比 数 列 Tn 为数列{

Sn n

}的前 n 项和,求 Tn.

例 17.三数成等比数列,若将第三个数减去 32,则成等差数列,若再将这等差数列的第二个数减去 4, 则又成等比数列,求原来三个数.

例 18. 在 5 和 81 之间插入两个正数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,求这两个数的 和.

1 a 21 1 例 19. 设{an}是等差数列, b n ? ( ) n ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求等差数列的通项 an. 8 8 2

[来源:Z*xx*k.Com]

例 20. 已知等差数列{a n}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 是( (A)4 或 5 (B)5 或 6 (C)6 或 7 (D)8 或 9

)

答案 例 1. 当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时, a n ? 2 n ? n ? 2 ( n ? 1) ? ( n ? 1) ? 4 n ? 3 ,经检验
2 2

n ? 1 时 a 1 ? 1 也适合 a n ? 4 n ? 3 ,∴ a n ? 4 n ? 3 ( n ? N ? )

n 例 2. 解:∵ a n ? S n ? S n ? 1 ,∴ S n ? 2 S n ? 1 ? 2 ,∴

Sn 2
n

?

S n ?1 2
n ?1

?1

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设bn ?

Sn 2
n

则 ?b n ? 是公差为 1 的等差数列,∴ b n ? b1 ? n ? 1 又∵ b 1 ?

S1 2

?

a1 2

?

3 2

,



Sn 2
n

? n?

1 2

,∴ S n ? ( 2 n ? 1) 2 n ?1 ,∴当 n ≥ 2 时 a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 n ? 3 ) 2 n ? 2
( n ? 1)
n?2

∴an ? ?

?3 ?( 2 n ? 3) ? 2

(n ≥ 2)

, S n ? ( 2 n ? 1) 2 n ? 1 从而有 a n ?
1 3 n ?1 n ?1 3 5 ? 2 4 2n n ?1

例 3 解: a n ? S n ? S n ? 1 ? n 2 a n ? ( n ? 1) 2 a n ? 1 ∵ a 1 ? 1 ,∴ a 2 ? ∴an ?
1 3

a n ?1 ? 1 3

,a3 ?

2 4

?

1 3

,a4 ?
?

3 5

?

2 4

?

,a5 ?

4 6
2

?

,

( n ? 1)( n ? 2 ) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ( n ? 1) n ( n ? 1) ? ? ? 4 ? 3
? 1 1? 2 ? 3?? ? n ? 2

2 n ( n ? 1)

,∴ S n ? n a n ?

.

例 4.解: a n 例 5.A

1 1 1 1 1 1 1 ? 1 2n ? ? 2( ? ) ∴ S n ? 2 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 (1 ? )? ? ? n ( n ? 1) n n ?1 2 2 3 n n ?1 ? n ?1 n ?1 ?

例 6. 解: S n ? 1 ? 2 x ? 3 x 2 ? 4 x 3 ? ? ? ? nx n ?1 ① xS n ? x ? 2 x 2 ? 3 x 3 ? ? ? ? ? n ? 1 ? x n ?1 ? nx n ② ①?② ?1 ? x ?S n ? 1 ? x ? x 2 ? ? ? ? x n ?1 ? nx n , 当 x ? 1 时, ?1 ? x ?S n ?
1? x
n

[来源:学科网]

1? x

? nx ?
n

1 ? x ? nx ? nx
n n

n ?1

1? x

?

1 ? ?1 ? n ? x ? nx
n

n ?1

1? x

∴Sn ?

1 ? ?1 ? n ? x

n

? nx

n ?1

?1 ? x ? 2

;

当 x ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 例 7.C 例 8.192
3

n ?1 ? n ? 2

例 9.C
a5 a2 ? 54 ? 54 ?2 ? ? 1458

例 10. 解: a 8 ? a 5 q ? a 5 ?

另解:∵ a 5 是 a 2 与 a 8 的等比中项,∴ 54 例 11.D 例 13.解: a 1 ? S 1 ? 3 ? 2 ? 1 ,

2

? a 8 ? ? 2 ∴ a 8 ? ? 1458

例 12.C

2 2 当 n ≥ 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 3 n ? 2 n ? [ 3 ( n ? 1) ? 2 ( n ? 1)] ? 6 n ? 5 , n ? 1 时亦满足

∴ a n ? 6 n ? 5 , ∴首项 a 1 ? 1 且 a n ? a n ? 1 ? 6 n ? 5 ? [ 6 ( n ? 1) ? 5 ] ? 6 ( 常数 )

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∴ ?a n ? 成等差数列且公差为 6、首项 a 1 ? 1 、通项公式为 a n ? 6 n ? 5
12 ? 11 ? d ? 354 ? 12 a 1 ? 2 ? 则 ? 6(a ? d ) ? 6 ? 5 ? 2d ? 1 32 2 ? ? 6?5 17 ? 6a1 ? ? 2d ? 2 ?

例 14. 解一:设首项为 a 1 ,公差为 d

? d ? 5

? S 奇 ? S 偶 ? 354 ? 32 解二: ? S 偶 ? ?S 27 ? 奇

? S 偶 ? 192 ? ? 由 S 偶 ? S 奇 ? 6d ? d ? 5 ? S 奇 ? 162

例 15. 解:∵ a 1 a 18 ? a 9 a 10 ,∴ a 18 ? 例 16. 解题思路分析: 法一:利用基 本元素分析法

a 9 a 10 a1

?

100 5

? 20

7?6 ? S ? 7 a1 ? d ? 7 ? 7 ? a1 ? ? 2 ? 2 设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ∴ ? ?d ? 1 ? S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 15 1 ? ? 2

∴ Sn ? ?2 ? ∴ {
Sn n

n ( n ? 1) 2



Sn n

? ?2 ? 1 4
2

n ?1 2

?

n 2

?

5 2

此式为 n 的一次函数

}为等差数列∴ T n ?

n ?
2

9 4

n
2

?S7 ? A ? 7 ? 7 B ? 7 ? 法二:{an}为等差数列,设 Sn=An +Bn∴ ? 2 ? S15 ? A ? 1 5 ? 1 5 B ? 7 5 ?

1 ? A ? ? 1 2 5 ? 2 解之得: ? ∴ S n ? n ? n ,下略 2 2 ?B ? ? 5 ? ? 2

注:法二利用了等差数列前 n 项和的性质 例 17.解:设原来三个数为 a , aq , aq 由①: q ?
4a ? 2 a
2

则必有 2 aq ? a ? ( aq ? 32 ) ①, ( aq ? 4 ) ? a ( aq ? 32 ) ②
2 2 2

代入②得: a ? 2 或 a ?
2 26 338 , , 9 9 9

5 9

从而 q ? 5 或 13

∴原来三个数为 2,10,50 或 例 18.70 例 19. 解题思路分析:

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∵ {an}为等差数列∴ {bn}为等比数列
17 ? 1 b ? b3 ? ? b1 ? 2 ? ? 1 ? ? b1 ? ? 1 8 2 3 1 ∴ b1b3=b2 ,∴ b2 = ,∴ b2= ,∴ ? ,∴ ? 8 1 或 ? 8 2 b3 ? 1 ? ?b ? 2 ?b b ? 8 ? ? 2 ? 1 2 ? 4

∴ bn ? 2 ( )
4 1
an

1

n ?1

? 2

3? 2 n

或 bn ?

1 8

?4

n ?1

? 2

2n?5

∵ b n ? ( ) ,∴ a n ? lo g 1 b n ,∴ an=2n-3 或 an=-2n+5
2
2
2

例 20.

3n ? 9 n 2

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