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江苏专用2018版高考数学大一轮复习高考专题突破二高考中的三角函数与平面向量问题课件文_图文

高考专题突破二

高考中的三角函数与平面向量问题

内容索引

考点自测 题型分类 深度剖析

课时作业

考点自测

1.(2016· 江苏镇江中学质检 ) 已知函数 y = 2sin ωx ( ω >0) 在 1 最大值为 2,则ω的值是____.
答案 解析

? π π? ? ? - , ? 3 4? ? ?

上的

2π T π 由题意得 > ,即T>π,从而 >π, ω 4 4 π 即0<ω<2,故函数在x= 4 时取得最大值, π π 2 即 2sin(4ω)= 2,也即 sin(4ω)= 2 , π π π π 又4ω∈(0,2),故4ω=4,解得ω=1.

5 2.在△ABC中,AC· cos A=3BC· cos B,且cos C= ,则A=_____. 45° 5
答案 解析

由题意及正弦定理得sin Bcos A=3sin Acos B,
5 ∴tan B=3tan A,∴0°<A<90°,0°<B<90°,又cos C= , 5 2 5 故sin C= ,∴tan C=2,而A+B+C=180°, 5 tan A+tan B ∴tan(A+B)=-tan C=-2,即 =-2, 1-tan Atan B 4tan A 将tan B=3tan A代入,得 =-2, 2 1-3tan A 1 ∴tan A=1或tan A= -3 ,而0°<A<90°,则A=45°.

3.在直角三角形 ABC中,点 D是斜边 AB 的中点,点 P为线段 CD 的中点, PA2+PB2 10 答案 解析 则 =____. 2 PC

将△ABC的各边均赋予向量,
→2 → 2 → → 2 → → 2 PA +PB PA +PB ?PC+CA? +?PC+CB? 则 PC2 = = →2 →2 PC PC →2 → → → →2 →2 → → → → →2 →2 2PC +2PC· CA+2PC· CB+CA +CB 2|PC| +2PC· ?CA+CB?+|AB| = = →2 →2 PC |PC| →2 →2 →2 →2 2|PC| -8|PC| +|AB| |AB| = = -6=42-6=10. →2 →2 |PC| |PC|
2 2

4.(2016· 天津改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D, E分别是
→ → 的 边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得DE=2EF,则 AF · BC

1 8 值为____.
答案 解析

π 5.(2017· 江苏如东中学月考)若函数f(x)=sin(ωπx- ) (ω>0)在区间(-1,0) 4 5 答案 解析 上有且仅有一条平行于y轴的对称轴,则ω的最大值是___. 4
4k+3 π π 令 ωπx-4=kπ+2,则得 x= 4ω (k∈Z),

1 ∴当k=-1时,得y轴左侧第1条对称轴为-4ω ;
5 当k=-2时,得y轴左侧第2条对称轴为- , 4ω 1 5 1 5 5 因此-1<-4ω<0 且-1≥-4ω,解得4<ω≤4,故 ωmax=4.

题型分类

深度剖析

题型一 三角函数的图象和性质 π π ωx 2 例1 已知函数f(x)=sin(ωx+ )+sin(ωx- )-2cos ,x∈R(其中ω>0). 2 6 6 (1)求函数f(x)的值域; 解答
3 1 3 1 f(x)= 2 sin ωx+2cos ωx+ 2 sin ωx-2cos ωx-(cos ωx+1)

3 1 π =2( 2 sin ωx-2cos ωx)-1=2sin(ωx-6)-1. π π 由-1≤sin(ωx- )≤1,得-3≤2sin(ωx- )-1≤1, 6 6
所以函数f(x)的值域为[-3,1].

π (2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离均为 , 2 求函数y=f(x)的单调增区间. 解答

由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为π,

2π π 所以 =π,即ω=2. 所以f(x)=2sin(2x- )-1, ω 6 π π π 再由 2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z), π π 解得 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z). π π 所以函数y=f(x)的单调增区间为 [kπ-6,kπ+3](k∈Z).

思维升华

三角函数的图象与性质是高考考查的重点,通常先将三角函数

化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,
结合y=sin t的图象求解.

跟踪训练1

(1)函数f(x)的最小正周期;
解答

已知函数f(x)=5sin xcos x- 5 3cos2x+5 3 (其中x∈R),求: 2

5 5 3 5 因为 f(x)=2sin 2x- 2 (1+cos 2x)+2 3
1 3 π =5(2sin 2x- 2 cos 2x)=5sin(2x-3),

2π 所以函数的周期T= =π. 2

(2)函数f(x)的单调区间; 解答
π 5π π π π 得 kπ-12≤x≤kπ+12 (k∈Z), 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z),
π 5π 所以函数f(x)的单调增区间为 [kπ-12,kπ+12](k∈Z).

π π 3π 由 2kπ+2≤2x-3≤2kπ+ 2 (k∈Z),

5π 11π 得 kπ+12≤x≤kπ+ 12 (k∈Z), 5π 11π 所以函数f(x)的单调减区间为 [kπ+12,kπ+ 12 ](k∈Z).

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.

解答

π π kπ 5π 由 2x-3=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +12(k∈Z),

kπ 5π 所以函数f(x)的对称轴方程为 x= 2 +12(k∈Z).
π kπ π 由 2x-3=kπ(k∈Z),得 x= 2 +6(k∈Z),

所以函数f(x)的对称中心为( kπ+π ,0)(k∈Z). 2 6

题型二 解三角形
例2 (2016· 苏北四市期中)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,且tan B=2,tan C=3.
(1)求角A的大小; 解答 因为tan B=2,tan C=3,A+B+C=π,

所以tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
tan B+tan C 2+3 =- =- =1, 1-tan Btan C 1-2×3 π 又A∈(0,π),所以A= . 4

(2)若c=3,求b的长. 解答
sin B 因为tan B= =2,且sin2B+cos2B=1, cos B
2 5 又B∈(0,π),所以sin B= , 5 3 10 同理可得,sin C= . 10

2 5 3× 5 csin B 由正弦定理得 b= sin C = 3 10 =2 2. 10

思维升华
根据三角形中的已知条件,选择正弦定理或余弦定理求解;在做有 关角的范围问题时,要注意挖掘题目中隐含的条件,正确对结果进

行取舍.

跟踪训练2

(2016· 无锡期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,已知bsin A= 3acos B. (1)求角B的值;
解答

a b 因为sin A=sin B ,所以bsin A=asin B,

又 bsin A= 3acos B,所以 3acos B=asin B,
π 即 tan B= 3,所以角 B=3.

3-1 (2)若cos Asin C= ,求角A的值. 4

解答

3-1 2π 3 -1 因为cos Asin C= ,所以 cos Asin( 3 -A)= 4 , 4
3 1 3 2 1 cos A( 2 cos A+2sin A)= 2 cos A+2sin A· cos A

3-1 π 1 3 1+cos 2A 1 =2· 2 +4sin 2A= 4 ,所以 sin(2A+3)=-2,
2π π π 5π π 7π 5π 因为 0<A< 3 ,所以 2A+3∈(3, 3 ), 所以 2A+3= 6 ,A=12.

题型三 三角函数和平面向量的综合应用
例3 已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). π (1)若x= ,求向量a与c的夹角; 解答 6

π 3 1 当 x=6时,a=( 2 ,2), 设a与c的夹角为θ, 3 1 2 ×?-1?+2×0 3 a· c cos θ= = =- 2 . |a||c| 32 12 ? 2 ? +?2? × ?-1?2+02 5π ∵θ∈[0,π],∴θ= 6 .

π 9π (2)当x∈[ , ]时,求函数f(x)=2a· b+1的最大值,并求此时x的值. 2 8
解答

f(x)=2a· b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1

=2sin xcos

x-(2cos2x-1)=sin

π 2x-cos 2x= 2sin(2x- ), 4

π 9π π 3π ∵x∈[2, 8 ],∴2x-4∈[ 4 ,2π],
π 2 故 sin(2x-4)∈[-1, 2 ],

π 3π π ∴当 2x-4= 4 ,即 x=2时,f(x)max=1.

思维升华

(1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量

积运算或性质转化成三角函数问题.
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意 角的范围对变形过程的影响.

跟踪训练3 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c. 1 → → 已知 BA· BC=2,cos B= 3 ,b=3,求: (1)a和c的值; 解答
1 → → 由 BA· acos B=2. 又cos B= ,所以ac=6. BC=2,得c· 3

由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
? ?ac=6, 解? 2 2 得a=2,c=3或a=3,c=2. ? ?a +c =13,

因为a>c,所以a=3,c=2.

(2)cos(B-C)的值.

解答
2

在△ABC 中,sin B= 1-cos B=

12 2 2 1-?3? = 3 ,

2 2 2 4 2 c 由正弦定理,得 sin C=bsin B=3× 3 = 9 .

因为a=b>c,所以C为锐角,
因此 cos C= 1-sin C=
2

4 22 7 1-? 9 ? =9.

于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
1 7 2 2 4 2 23 =3×9+ 3 × 9 =27.

课时作业

5π 3 π 1.已知函数f(x)=Asin(x+ ),x∈R,且 f(12)=2 . 4 (1)求A的值;
解答

5π 5π π 2π ∵f(12)=Asin(12+4)=Asin 3

3 3 = 2 A=2,∴A= 3.

1

2

3

4

5

3 π 3π (2)若 f(θ)+f(-θ)=2,θ∈(0,2),求 f( 4 -θ).

解答

π 由(1)知 f(x)= 3sin(x+4), π π 3 故 f(θ)+f(-θ)= 3sin(θ+4)+ 3sin(-θ+4)=2, 2 2 3 ∴ 3[ 2 (sin θ+cos θ)+ 2 (cos θ-sin θ)]=2, 3 6 ∴ 6cos θ=2,∴cos θ= 4 .
π 10 2 又 θ∈(0,2),∴sin θ= 1-cos θ= 4 , 3π 30 ∴f( 4 -θ)= 3sin(π-θ)= 3sin θ= 4 .
1 2 3 4 5

2.(2016· 山东)设f(x)= 2 3 sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间; 解答
f(x)=2 3sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2=2 3sin2x-(1-2sin xcos x)
= 3(1-cos 2x)+sin 2x-1=sin 2x- 3cos 2x+ 3-1
? π? ? =2sin?2x-3? ?+ ? ?

3-1.

π 5π π π π 得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2(k∈Z),

所以f(x)的单调递增区间是
? ? ? ? π 5π? π 5π? ? ? ? ? ? ? ,kπ+12?(k∈Z)?或?kπ-12,kπ+12??k∈Z??. ?kπ- 12 ? ? ? ? ? ?

1

2

3

4

5

(2) 把 y = f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) , ?π? π ? 再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求 g? ? ? 的值. 3 ?6 ?
解答
? π? ? 由(1)知f(x)= 2sin?2x- ? ?+ 3? ?

3-1,

把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).
得到y=
? π? ? ? 2sin?x-3?+ ? ?

3 -1的图象.

π 再把得到的图象向左平移 个单位,得到y=2sin x+ 3 -1的图象, 3 ?π? π ? ? 即g(x)=2sin x+ 3 -1. 所以 g?6?=2sin 6+ 3-1= 3. ? ?
1 2 3 4 5

3.(2016· 江苏南京学情调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,以x轴正半 轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A,B.若点A的横坐 标是 3 10 ,点B的纵坐标是 2 5 . 5 10 (1)求cos(α-β)的值;
解答

1

2

3

4

5

(2)求α+β的值.
解答

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
10 5 3 10 2 5 2 = 10 ×(- 5 )+ 10 × 5 = 2 .

π 3π 因为α为锐角,β为钝角,故α+β∈( , ), 2 2
所以α+β=
3π . 4
1 2 3 4 5

4.(2016· 江苏仪征中学期初测试)设函数f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, π π ,x∈R)的部分图象如图所示. -2<φ<2 (1)求函数y=f(x)的解析式;
解答

1

2

3

4

5

π π (2)当x∈[-2,2 ]时,求f(x)的取值范围.
解答

π π π π 2π 当 x∈[-2,2]时,x+6∈[-3, 3 ],
π 3 所以 sin(x+6)∈[- 2 ,1],即 f(x)∈[- 3,2].

1

2

3

4

5

x x 2x 5.已知向量a=( ksin ,cos ),b=( cos 3,-k ),实数k为大于零的 3 3 2-1 常数,函数f(x)=a· b,x∈R,且函数f(x)的最大值为 . 2 (1)求k的值;
解答

1

2

3

4

5

π (2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若 <A<π,f(A) 2 → → 的最小值. =0,且a= 2 10 ,求 AB · AC
解答

1

2

3

4

5



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