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2017_2018学年高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2.2第1课时对数函数的图象及性质学案新人教B

3.2.2 第 1 课时 对数函数的图象及性质 [学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数, 研究对数函数的性质. [知识链接] 1.作函数图象的步骤为列表、描点、连线.另外也可以采取图象变换法. 2.指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象与性质. 底数 图象 定义域 值域 过定点 性质 函数值的变化 单调性 [预习导引] 1.对数函数的概念 把函数 y=logax(a>0,且 a≠1,x>0)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0, +∞). 2.对数函数的图象与性质 底数 R (0,+∞) 过点(0,1),即 x=0 时,y=1 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 是 R 上的增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 是 R 上的减函数 x a>1 0<a<1 a>1 0<a<1 图象 定义域 性质 值域 过定点 函数值的变化 (0,+∞) R 过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0; 1 当 x>1 时,y>0 单调性 3.反函数 是(0,+∞)上的增函数 当 x>1 时,y<0 是(0,+∞)上的减函数 对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)互为反函数. x 要点一 对数函数的概念 例 1 指出下列函数哪些是对数函数? (1)y=3log2x;(2)y=log6x; (3)y=logx3;(4)y=log2x+1 解 (1)log2x 的系数是 3,不是 1,不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式,是对数函数. (3)自变量在底数位置上,不是对数函数. (4)对数式 log2x 后又加 1,不是对数函数. 规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的形式,即必须满足 以下条件 (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数. (3)对数的真数仅有自变量 x. 跟踪演练 1 若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为( A.y=log2x C.y=log2x 或 y=2log4x 答案 A 解析 设对数函数的解析式为 y=logax(a>0 且 a≠1),由题意可知 loga4=2, ∴a =4,∴a=2, ∴该对数函数的解析式为 y=log2x. 要点二 对数函数的图象 4 3 1 例 2 如图所示,曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 取 3, , , , 3 5 10 则相应于 c1、c2、c3、c4 的 a 值依次为( 4 3 1 A. 3、 、 、 3 5 10 4 1 3 B. 3、 、 、 3 10 5 ) 2 ) B.y=2log4x D.不确定 2 4 3 1 C. 、 3、 、 3 5 10 4 1 3 D. 、 3、 、 3 10 5 答案 A 解析 方法一 观察在(1,+∞)上的图象,先排 c1、c2 底的顺序,底都大于 1,当 x>1 时图 4 象靠近 x 轴的底大,c1、c2 对应的 a 分别为 3、 .然后考虑 c3、c4 底的顺序,底都小于 1,当 3 x<1 时图象靠近 x 轴的底小,c3、c4 对应的 a 分别为 、 .综合以上分析,可得 c1、c2、c3、 c4 的 a 值依次为 3、 、 、 .故选 A. 方法二 作直线 y=1 与四条曲线交于四点,由 y=logax=1,得 x=a(即交 点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以 c1、c2、c3、c4 对应的 4 3 1 3 5 10 3 1 5 10 a 值分别为 3、 、 、 ,故选 A. 规律方法 函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的底数变化对图象位置的影响. 4 3 3 1 5 10 观察图象,注意变化规律: (1)上下比较:在直线 x=1 的右侧,a>1 时,a 越大,图象越靠近 x 轴,0<a<1 时 a 越小, 图象越靠近 x 轴. (2)左右比较:比较图象与 y=1 的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 跟踪演练 2 (1)函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点( A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1) ) ) (2)如图,若 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,则( A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 答案 (1)D (2)B 解析 (1)令 x+2=1,即 x=-1, 得 y=loga1+1=1, 3 故函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点(-1,1). (2)作直线 y=1,则直线与 C1,C2 的交点的横坐标分别为 a,b,易知 0<b<a<1. 要点三 对数函数的定义域 1 例 3 (1)函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( 1-x A.(-∞,-1) C.(-1,1)∪(1,+∞) (2)若 f(x)= log 1 2 ) B.(1,+∞) D.(-∞,+∞) ,则 f(x)的定义域为( ) 1 x+ ? 1 ? A.?- ,0? ? 2 ? ? 1 ? C.?- ,0?∪(0,+∞) ? 2 ? 答案 (1)C (2)C ? ?1+x>0, 解析 (1)由题意知? ?1-x≠0, ? ? 1 ? B.?- ,+∞? ? 2 ? ? 1 ? D.?- ,2? ? 2 ? 解得 x>-1 且 x≠1. ? ?2x+1>0, (2)由题意知? ?2x+1≠1, ? 1 解得 x>- 且 x≠0. 2 规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法 外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数


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