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03-106指考数学甲试卷定稿

大學入學考試中心 106 學年度指定科目考試試題

數學甲
?作答注意事項?
考試時間:80 分鐘 作答方式:˙選擇(填)題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答;更正時,應以橡皮擦擦拭, 切勿使用修正液(帶) 。 ˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答;更正時,可以 使用修正液(帶) 。 ˙未依規定畫記答案卡,致機器掃描無法辨識答案;或未使用黑色墨水的筆 書寫答案卷,致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者,其後果由考生自 行承擔。 ˙答案卷每人一張,不得要求增補。 選填題作答說明:選填題的題號是 A,B,C,……,而答案的格式每題可能不同,考生 必須依各題的格式填答,且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔細 閱讀下面的例子。 例:若第 B 題的答案格式是
18 19
3

3 ,而依題意計算出來的答案是 ,則考生 8

必須分別在答案卡上的第 18 列的 18 19
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

與第 19 列的
7 7 8 8 9 9 0 0

8

畫記,如:
? ? ? ?

例:若第 C 題的答案格式是 案卡的第 20 列的 20 21
1 1 2 2 ?

20 21 50
7

,而答案是 畫記,如:
8 8 9 9 0 0

?7 50

時,則考生必須分別在答

與第 21 列的
3 3 4 4 5 5 6 6

7 7

? ?

? ?

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106 年指考 數 學 甲

第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 占 76 分 ) 一 、 單 選 題 ( 占 24 分 )
說明:第 1 題至第 4 題,每題有 5 個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,請畫記 在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得 6 分;答錯、未作答或畫記 多於一個選項者,該題以零分計算。

1. 從 所 有 二 位 正 整 數 中 隨 機 選 取 一 個 數 , 設 p 是 其 十 位 數 字 小 於 個 位 數 字 的 機 率。關於 p 值的範圍,試選出正確的選項。 ( 1 ) 0.22 ? p ? 0.33 ( 2 ) 0.33 ? p ? 0.44 ( 3 ) 0.44 ? p ? 0.55 ( 4 ) 0.55 ? p ? 0.66 ( 5 ) 0.66 ? p ? 0.77

2 . 設 a ? 3 10 。 關 於 a 5 的 範 圍 , 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) (2) (3) (4) (5)
25 ? a5 ? 30 30 ? a5 ? 35 35 ? a5 ? 40 40 ? a5 ? 45 45 ? a5 ? 50

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3 . 試 問 在 0 ? x ? 2? 的 範 圍 中, y ? 3 sin x 的 函 數 圖 形 與 y ? 2 sin 2 x 的 函 數 圖 形 有 幾 個 交點? (1) 2 個 交 點 (2) 3 個 交 點 (3) 4 個 交 點 (4) 5 個 交 點 (5) 6 個 交 點

4 . 已 知 一 實 係 數 三 次 多 項 式 f (x ) 在 x ? 1 有 極 大 值 3 , 且 圖 形 y ? f (x) 在 (4, f (4)) 之 切 線 方 程 式 為 y ? f (4) ? 5(x ? 4) ? 0 , 試 問 (1) ? 5 (2) ? 3 (3) (4)
0 3

?

4

1

f ??(x)dx 之 值 為 下 列 哪 一 選 項 ?

(5) 5

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106 年指考 數 學 甲

二 、 多 選 題 ( 占 24 分 )
說明:第 5 題至第 7 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正確選項 畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所有選項均答對 者,得 8 分;答錯 1 個選項者,得 4.8 分;答錯 2 個選項者,得 1.6 分;答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。
? ? ? ? ? 5 . 設 u 與 v 為 兩 非 零 向 量 , 夾 角 為 120?。 若 u 與 u + v 垂 直 , 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) (2) ? ? u 的長度是 v 的長度的 2 倍

? ? ? v 與 u + v 的 夾 角 為 30? ? ? ? (3) u 與 u ? v 的 夾 角 為 銳 角 (4) (5) ? ? ? v 與 u ? v 的夾角為銳角 ? ? ? ? u + v 的長度大於 u ? v 的長度

6 . 已 知 複 數 z 滿 足 z n ? z ? n ? 2 ? 0 , 其 中 n 為 正 整 數 。 將 z 用 極 式 表 示 為 r (cos θ ? i sin θ) , 且 r >0 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) r ?1 (2) n 不 能 是 偶 數 (3) 對 給 定 的 n, 恰 有 2n 個 不 同 的 複 數 z 滿 足 題 設 (4) θ 可 能 是 (5)
3π 7 4π θ可 能 是 7

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7 . 設 實 係 數 三 次 多 項 式 f (x ) 的 首 項 係 數 為 正。已 知 y ? f (x) 的 圖 形 和 直 線 y ? g (x) 在

x ?1相 切 , 且 兩 圖 形 只 有 一 個 交 點 。 試 選 出 正 確 的 選 項 。
(1) (2) (3)
f (1) = g (1)
f ?(1) = g ?(1)

f ??(1) = 0

( 4 ) 存 在 實 數 a ? 1 使 得 f ?(a ) = g ?(a) ( 5 ) 存 在 實 數 a ? 1 使 得 f ??(a ) = g ??(a )

三 、 選 填 題 ( 占 28 分 ) 說明:1.第 A 至 D 題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列 號 (8–18)。 2.每題完全答對給 7 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A. 某 高 中 一 年 級 有 忠 、 孝 、 仁 、 愛 四 班 的 籃 球 隊 , 擬 由 經 抽 籤 決 定 的 下 列 賽 程 進 行單淘汰賽(輸一場即被淘汰) :



孝 仁



假設忠班勝過其他任何一班的機率為

4 1 ,孝班勝過其他任何一班的機率為 , 5 5 1 仁、愛兩班的實力相當,勝負機率各為 。若任一場比賽皆須分出勝負,沒 有 2
和 局。如 果 冠 軍 隊 可 獲 得 6000 元 獎 學 金,亞 軍 隊 可 獲 得 4000 元 獎 學 金,則 孝 班可獲得獎學金的期望值為
8 ○ 9 ○ 10 元 。 ○

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106 年指考 數 學 甲

B . 坐 標 平 面 上 有 三 條 直 線 L 、 L1 、 L2 , 其 中 L 為 水 平 線 , L1 、 L2 的 斜 率 分 別 為

3 4 、 ? 。 已 知 L 被 L1 、 L2 所 截 出 的 線 段 長 為 3 0 , 則 L 、 L1 、 L2 所 決 定 的 三 角 形 4 3
的面積為 ○ 11 ○ 12 ○ 13 。

C . 坐 標 平 面 上 , x 坐 標 與 y 坐 標 均 為 整 數 的 點 稱 為 格 子 點 。 令 n 為 正 整 數 , Tn 為 平面上以直線 y?

?1 x ? 3 , 以 及 x 軸 、 y 軸 所 圍 成 的 三 角 形 區 域( 包 含 邊 界 ), 2n
n ??

而 an 為 Tn 上 的 格 子 點 數 目 , 則 lim

an ? n

14 ○ 15 ○



D.

坐 標 空 間 中 , 平 面 ax ? by ? cz ? 0 與 平 面 x ? 0 、 x ? 3 y ? 0 的 夾 角 ( 介 於 0? 到 90? 之 間 ) 都 是 60? , 且 a 2 ? b2 ? c 2 ? 12 , 則 (a2 , b2 , c2 ) ? ( ○ 16 , ○ 17 , ○ 18 )。

─ ─ ─ ─ ─ 以下第貳部分的非選擇題,必須作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─

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第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 占 24 分 )
說明:本部分共有二大題,答案必須寫在「答案卷」上,並於題號欄標明大題號(一、二) 與子題號((1)、(2)、……) ,同時必須寫出演算過程或理由,否則將予扣分甚至零 分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使用鉛筆。每一子題配分 標於題末。

一. 在坐標平面上,考慮二階方陣 A? ? 5 ?3

1 ? 4 ?3? 所定義的線性變換。對於平面上異 4? ?

於原點 O的點 P 1 ,設 P 1 經 A 變 換 成 P2 , P2 經 A 變 換 成 P 3 。 令 a ? OP 1。 (1) (2) (3) 試 求 sin(? POP (4 分) 1 3) 。 試 以 a 表 示 ?P (4 分) 1P 2P 3的面積 。 假設 P 1 是圖形 y ?

1 2 x ? 10 上 的 動 點,試 求 ?P (4 分) 1P 2P 3 面 積 的 最 小 可 能 值。 10

背面尚有試題

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二 、 坐 標 空 間 中 , O(0,0,0) 為 原 點 。 平 面 z ? h ( 其 中 0 ? h ? 1)上 有 一 以 (0,0,h) 為 圓 心 的 圓 , 在 此 圓 上 依 逆 時 鐘 順 序 取 8 點 構 成 正 八 邊 形 P0 P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7 ,使得各線 段 OPj (0 ? j ? 7) 的 長 度 都 是 1 。 請 參 見 示 意 圖 。

z P6 P1 1 O x y P5 P2 P4 P3

P7 P0 z=h

(1) (2)

試 以 h 表 示 向 量 內 積 OP0 OP4。 (4 分) 若 V (h ) 為 以 O 為 頂 點 、 正 八 邊 形 P0 P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7 為 底 的 正 八 角 錐 體 積,試 將

? ?

V (h) 表 為 h 的 函 數 ( 註 : 角 錐 體 積 =

1 底面積 3

。 (2 分) ?高 )

(3)

在 O P 0 和 O P 4 夾 角 不 超 過 90? 的 條 件 下 , 試 問 正 八 角 錐 體 積 V (h ) 的 最 大 值 為何?(6 分)

?

?

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