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2013高考数学(理)一轮复习教案:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第7讲 函数图象


第7讲
【2013 年高考会这样考】 1.考查函数图象的识辨. 2.考查函数图象的变换.

函数图象

3.利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数. 【复习指导】 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具,是数形结合的基础,是高 考考查的热点,复习时,应重点掌握几种基本初等函数的图象,并在审题、识图 上多下功夫,学会分析“数”与“形”的结合点,把几种常见题型的解法技巧理 解透彻.

基础梳理 1.函数图象的变换 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x± a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个单位而得到. ②竖直平移:y=f(x)± b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个单位而得到. (2)对称变换 ①y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. ②y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. ③y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. 由对称变换可利用 y=f(x)的图象得到 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象. ①作出 y=f(x)的图象,将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方, 其余部分不变,得到 y=|f(x)|的图象;

②作出 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分, 并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称 的图象,即得 y=f(|x|)的图象. (3)伸缩变换 ①y=af(x)(a>0)的图象, 可将 y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1 时)或缩(a<1 时) 到原来的 a 倍,横坐标不变. ②y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1 时)或缩(a>1 1 时)到原来的a倍,纵坐标不变. (4)翻折变换 ①作为 y=f(x)的图象,将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方, 其余部分不变,得到 y=|f(x)|的图象; ②作为 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分, 并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称 的图象,即得 y=f(|x|)的图象. 2.等价变换 例如:作出函数 y= 1-x2的图象,可对解析式等价变形

y=

?y≥02 1-x ??1-x ≥0 ?y2=1-x2
2

?y≥0 2 2 ?? 2 2 ?x +y =1(y≥0),可看出函数的图象为 ?y =1-x

半圆.此过程可归纳为:(1)写出函数解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图. 3.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇 偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

一条主线 数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线,也是高考考查的热点.作函数 图象首先要明确函数图象的形状和位置,而取值、列表、描点、连线只是作函数 图象的辅助手段,不可本末倒置. 两个区别 (1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同,前者是自 身对称,且为奇函数,后者是两个不同的函数对称.

(2)一个函数的图象关于 y 轴对称与两个函数的图象关于 y 轴对称也不同,前者也 是自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. 三种途径 明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径. (1)图象变换:平移变换、伸缩变换、对称变换. (2)函数解析式的等价变换. (3)研究函数的性质. 双基自测 x+3 1.(人教 A 版教材习题改编)为了得到函数 y=lg 10 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点( ).

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 x+3 解析 y=lg 10 =lg(x+3)-1 可由 y=lg x 的图象向左平移 3 个单位长度, 向下平 移 1 个单位长度而得到. 答案 C 2.(2011· 安徽)若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是 ( ?1 ? A.?a,b? ? ? ?10 ? C.? a ,b+1? ? ? B.(10a,1-b) D.(a2,2b) )

解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象,属于简单题.当 x=a2 时,y =lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在函数 y=lg x 图象上. 答案 D 3.函数 y=1- 1 的图象是( x-1 ).

-1 解析 将 y= x 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数 y=1- 1 的图象. x-1

答案 B 1 4.(2011· 陕西)函数 y=x3的图象是( ).

解析

该题考查幂函数的图象与性质,解决此类问题首先是考虑函数的性质,尤

其是奇偶性和单调性,再与函数 y=x 比较即可. 1 1 1 1 由(-x)3=-x3知函数是奇函数.同时由当 0<x<1 时,x3>x,当 x>1 时,x3<x, 知只有 B 选项符合. 答案 B 5.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②的图象对应的函数为( ).

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) ?f?-x?,x≥0, 解析 y=f(-|x|)=? ?f?x?,x<0.

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

答案 C

考向一 【例 1】?分别画出下列函数的图象: (1)y=|lg x|; (2)y=2x+2; (3)y=x2-2|x|-1; (4)y= x+2 . x-1

作函数图象

[审题视点] 根据函数性质通过平移,对称等变换作出函数图象. ?x≥1?, ?lg x 解 (1)y=? 图象如图①. ?-lg x ?0<x<1?. (2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图②.
2 ?x -2x-1 (3)y=? 2 ?x +2x-1

?x≥0? ?x<0? .图象如图③.

(4)因 y=1+

3 3 ,先作出 y= x的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 x-1

x+2 1 个单位,即得 y= 的图象,如图④. x-1

(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、 1 对数函数、幂函数、形如 y=x+ x的函数;(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、 翻折变换、周期变换等常用的方法技巧,来帮助我们简化作图过程. 【训练 1】 作出下列函数的图象: (1)y=2x+1-1; (2)y=sin|x|; (3)y=|log2(x+1)|.

解 (1)y=2x+1-1 的图象可由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位,得 y=2x+1 的图象, 再向下平移一个单位得到 y=2x+1-1 的图象,如图①所示.

(2)当 x≥0 时,y=sin|x|与 y=sin x 的图象完全相同,又 y=sin|x|为偶函数,其图象 关于 y 轴对称,如图②所示.

(3)首先作出 y=log2x 的图象 c1,然后将 c1 向左平移 1 个单位,得到 y=log2(x+1) 的图象 c2, 再把 c2 在 x 轴下方的图象翻折到 x 轴上方, 即为所求图象 c3: y=|log2(x +1)|.如图③所示(实线部分). 考向二 函数图象的识辨

【例 2】?函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=21-x 在同一直角坐标系下的图象大致是 ( ).

[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象,可根据函数图象上的特征点 以及函数的单调性来判断. 解析 f(x)=1+log2x 的图象由函数 f(x)=log2x 的图象向上平移一个单位而得到, 所以函数图象经过(1,1)点,且为单调增函数,显然,A 项中单调递增的函数经过点 (1,0),而不是(1,1),故不满足; ?1? 函数 g(x)=21-x=2×?2?x,其图象经过(0,2)点,且为单调减函数,B 项中单调递减 ? ? 的函数与 y 轴的交点坐标为(0,1),故不满足;D 项中两个函数都是单调递增的,故 也不满足. 综上所述,排除 A,B,D.故选 C. 答案 C

函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项. 【训练 2】 (2010· 山东)函数 y=2x-x2 的图象大致是( ).

解析 当 x>0 时,2x=x2 有两根 x=2,4;当 x<0 时,根据图象法易得到 y=2x 与 y=x2 有一个交点,则 y=2x-x2 在 R 上有 3 个零点,故排除 B、C;当 x→-∞时, 2x→0.而 x2→+∞,故 y=2x-x2<0,故选 A. 答案 A 考向三 【例 3】?已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. [审题视点] 作出函数图象,由图象观察.
2 ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, 解 f(x)=? 2 ?-?x-2? +1, x∈?1,3?,

函数图象的应用

作出图象如图所示.

(1)递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区间为(-∞,1]和[2,3]. (2)由图象可知,y=f(x)与 y =m 图象,有四个不同的交点,则 0<m<1, ∴集合 M={m|0<m<1}. (1)从图象的左右分布,分析函数的定义域;从图象的上下分布,分析函 数的值域;从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,

分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. (2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,比如判断方程是否有解,有 多少个解?数形结合是常用的思想方法. 【训练 3】 (2010· 湖北)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取 值范围是( ). B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]

A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3]

解析 在同一坐标系下画出曲线 y=3- 4x-x2(注:该曲线是以点 C(2,3)为圆

心、2 为半径的圆不在直线 y=3 上方的部分)与直线 y=x 的图象,平移该直线,结 合图形分析可知, 当直线沿 y 轴正方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直 线与曲线 y=3- 4x-x2都有公共点;注意到与 y=x 平行且过点(0,3)的直线的方 程是 y=x+3;当直线 y=x+b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切时(圆不在 直线 y=3 上方的部分),有 只有 C 选项. 答案 C |2-3+b| =2,b=1-2 2.结合图形可知,满足题意的 2

难点突破 5——高考中函数图象的考查题型 涉及函数图象的知识点在高考中的考查形式主要有三种类型: 一、由解析式选配图象 解决时需要从定义域、值域、奇偶性、单调性等方面综合考查,有时也可以根据 特殊情况(如特殊点、特殊位置)进行分析. x 【示例】? (2011· 山东)函数 y=2-2sin x 的图象大致是( ).

二、图象平移问题 一般地,平移按“左加右减,上正下负”进行函数式的变换. 【示例】 (2011· ? 郑州模拟)若函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)在(-∞, +∞)上既 是奇函数又是增函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是( ).

三、图象对称问题 【示例】? (2011· 厦门质检)函数 y=log2|x|的图象大致是( ).


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