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第六讲时间序列的平稳性及其检验_图文

第六讲时间序列的平稳性及其检 验 ? 经典回归分析的假设之一:解释变量X是非随 机变量 ? 放宽该假设:X是随机变量,则需进一步要求: ? (1)X与随机扰动项 ? 不相关∶Cov(X,?)=0 ? (2) ?(Xi ? X )2 / n 依概率收敛: P lim(?(X i ? X )2 / n) ? Q n?? 如果X是非平稳数据(如表现出向上的趋势), 则(2)不成立,回归估计量不满足“一致性”, 基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。 数据非平稳的后果—— 导致出现“虚假回归”问题 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量,却 有很高的相关性(有较高的R2)。例如:如果有两列时间 序列数据表现出一致的变化趋势(非平稳的),即使它 们没有任何有意义的关系,但进行回归也可表现出较高 的可决系数。 在现实经济生活中,实际的时间序列数据往往 是非平稳的,而且主要的经济变量如消费、收入、价格 往往表现为一致的上升或下降。这样,仍然通过经典的 因果关系模型进行分析,一般不会得到有意义的结果。 二、时间序列数据的平稳性 定义:假定某个时间序列是由某一随机过程 (stochastic process)生成的,如果满足下列条件: 1)均值E(Xt)=?是与时间t 无关的常数; 2)方差Var(Xt)=?2是与时间t 无关的常数; 3)协方差Cov(Xt,Xt+k)=?k 是只与时期间隔k有关, 与时间t 无关的常数; 则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该 随机过程是一平稳随机过程(stationary stochastic process)。 例1.一个最简单的随机时间序列是一具 有零均值同方差的独立分布序列: Xt=?t , ?t~N(0,?2) 该序列常被称为是一个白噪声(white noise)。 由于Xt具有相同的均值与方差,且协方差 为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。 例2.另一个简单的随机时间列序被称为随 机游走(random walk),该序列由如下随机过 程生成: Xt=Xt-1+?t 这里, ?t是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的均值:E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差,可假设 Xt的初值为X0,则易知: X1=X0+?1 X2=X1+?2=X0+?1+?2 …… Xt=X0+?1+?2+…+?t 由 于 X0 为 常 数 , ? t 是 一 个 白 噪 声 , 因 此 : Var(Xt)=t?2 即Xt的方差与时间t有关而非常数,它是一非平稳序列。 ? 然而,对X取一阶差分(first difference): ?Xt=Xt-Xt-1=?t 由于?t是一个白噪声,则序列{? Xt}是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的, 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。 ? 事实上,随机游走过程是下面我们称之为1阶自 回归AR(1)过程的特例: Xt=?Xt-1+?t 不难验证: 1)|?|>1时,该随机过程生成的时间序列是发散的, 表现为持续上升(?>1)或持续下降(?<-1),因此 是非平稳的; 2)?=1时,是一个随机游走过程,也是非平稳的。 事实上可以证明:只有当-1<?<1时,该随机过程才 是平稳的 三、平稳性检验的图示判断 ? 给出一个随机时间序列,首先可通过该序列 的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。 ? 一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一 种围绕其均值不断波动的过程。 ? 而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段 具有不同的均值(如持续上升或持续下降)。 Xt Xt t t (a) (b) 图 9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图 ? 进一步的判断:检验样本自相关函数及其图形 定义随机时间序列的自相关函数 (autocorrelation function, ACF)如下: ?k=?k/?0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数。 实际上,对一个随机过程只有一个实现(样 本),因此,只能计算样本自相关函数(Sample autocorrelation function)。 ? 一个时间序列的样本自相关函数定义为: ? ? ?? ? n?k X t ? X X t?k ? X ? ? ? rk ? t?1 n Xt ? X 2 t ?1 k ? 1,2,3,? 随着k的增加,样本自相关函数下降且趋 于零。但从下降速度来看,平稳序列要比非 平稳序列快得多。 rk rk 1 1 0 k 0 k (a) (b) 图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图 可检验对所有k>0,自相关系数都为0的联合假设, 这可通过如下QLB统计量进行: ? QLB ? n( n ? 2) m k ?1 ???? rk2 n? k ???? 该统计量近似地服从自由度为m的?2分布(m为 滞后长度)。 因此:如果计算的Q值大于显著性水平为?的临 界值,则有1-?的把握拒绝所有?k(k>0)同时为0的 假设。 例3: 下表序列Random1是通过一随机过程(随 机函数)生成的有19个样本的随机时间序列。 表 9.1.1 一个纯随机序列与随机游走序列的检验 序号 Random1 自相关系数 Q LB rk (k=0,1,…17) Random2 rk 自相关系数 Q LB (k=0,1,…17) 1 -0.031 K=0, 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 3 0.108 K=2, -0.393 4 -0.455 K=3, -0.147 5 -0.426 K=4, 0.280 6 0.387 K=5, 0.187 7 -0.156 K=6, -0.363 8 0.204 K=7, -0.148 9 -0.340 K=8, 0.315 10 0.157 K=9, 0.1


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