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高二数学课件:必修一 3.1.1方程的根与函数的零点


问题1:一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什 么关系?

求下列方程的根并 画出相应函数的简图

( 1 )方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 f ?x ? ? x ? 2 x ? 3
2

2

( 2 )方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 f ?x? ? x ? 2 x ? 1
2

2

(3)方程x ? 2x ? 3 ? 0
2

f ?x ? ? x ? 2 x ? 3
2

对于一般的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)和二次方程 ax2 ? bx ? c= 0(a ? 0)?

y

y ? ax ? bx ? c y
2

y ? ax ? bx ? c
2

y y ? ax2 ? bx ? c

x
( x2 ,0)
0
( x2 ,0)

0 ( x1 ,0)

x

0

x

一元二次方程有几个根,相应的二次函数图象 与x轴就有几个交点,而且交点的横坐标就是方 程的根。一元二次方程没有根,相应二次函数 图象与x轴没有交点。 对于一般的函数 y ? f ( x)与相应方程 f ( x) ? 0 呢?

函数零点的概念:
对于函数 y ? f ( x), 把使f ( x) ? 0成立的 实数 x

叫做函数 y ? f ( x)的零点.
(1)零点不是点。

(2)方程f ( x) ? 0有实数根 ? 函数y ? f ( x)的图象与 x轴 有交点 ? 函数y ? f ( x)有零点

填空:

1 2 1.函数 y ? 2 x ? 1的零点是:_____

1 2.函数 y ? log2 x的零点是:_____ 0个 3.函数 y ? x 2 ? x ? 1 的零点个数是:_____ 1个 4.函数 y ? 2 ?1的零点个数是:_____
x

观察函数y ? x2 ? 2 x ? 3的图象:

有 (有/ 无)零点; ?? 2,1?上 _____ (1)在区间

f (?2) ? f (1) _____ < 0?? 或 ??
f (2) ? f (4) ____ < 0(? 或 ?)

(2)在区间 [2,4]上 ____ 有 (有 / 无)零点;

y

? 2 ?1 0 1 2 3 4

x

观察下面函数 y ? f ( x)的图象

f (b) ? f (c) ? __ 0(? 或 ?)

? 0(? 或 ?) f (a) ? f (b) __ 有 (有 / 无)零点; (2)在区间?b, c?上 ____
(3)在区间?a, d ?上有 __ (有 / 无)零点;

有 有/ 无)零点; (1)在区间[a, b]上 ___(

f (a) ? f (d ) ___ ? 0(? 或 ?)
a 0

y

b

c

d

x

思考讨论:

则函数 y ? f ?x ?在区间?a, b? 内一定存在零点吗?

若函数 y ? f ( x)在区间[a, b]上满足 f ?a ?? f ?b? ? 0,

y
y

? 2 ?1 0 1 2 3 4

x
a 0 b c d

x

零点存在性定理:
如果函数

连续不断 y ? f ( x)在区间?a, b?上的图象是

那么 y ? f ( x)在区间 的一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0, (a,b)内有零点,即存在 c ? (a, b), 使得f (c) ? 0, 这个

思考:

c也就是方程 f ( x) ? 0的根。 1 若满足了两个条件,则函数一定有零点,有几个? 2 在定理的条件下,什么时候只有一个?

注意:1.两个条件缺一不可
2.存在但不一定唯一

3.如果加入条件函数在区间 ?a, b? 上单调, 则存在零点,且只有一个 4.若 f (a) f (b) ? 0 ,则函数零点可能存在, 也可能不存在

例1求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数。

解:用计算器作出x,f(x)的对应值表:
x 1 2 -1.3069 3 1.0986 4 3.3869 ... ... f(x) -4

例1求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点的个数。

解: f (1) ? ?4 ? 0 f (2) ? ln 2 ? 2 ? 0 ? ln 2 ? 1 ? f (2) ? 0 f (3) ? ln 3 ? 1 ? 0 ? f (2) ? f (3) ? 0 ?函数 f ( x)在区间(2,3 )内有零点 又 ? f ( x)在(0,+ ?)上是增函数 ?函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6仅有一个零点

1.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 4 的零点是( B )
2

A 1,-4 B 4,-1

C 1 ,3

D 不存在

x 2 f ( x ) ? 3 ? x 3.已知函数 问:方程 f ( x) ? 0

在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?如果有, 有几个? (有,一个)

P88

练习 第1、2题

请同学们回顾本节课所学知识内容有 哪些,所涉及到的主要数学思想又有哪些; 能与同学交流一下吗?

P92 习题 3、1 第1、2题的

小结
1.知识和要求:掌握函数零点的概念;了解 函数零点与方程根的关系;学会某区间上图 象连续的函数存在零点的判定方法。
2.数学思想方法:由特殊到一般的归纳思想, 数形结合的思想,函数与方程的思想。

课下探究: 2 2 2 研究 y ? ax ? bx ? c, ax ? bx ? c ? 0, ax ? bx ? c ? 0,
ax ? bx ? c ? 0 的相互关系,以零点作为研究出发
2

点,并将研究结果尝试以一种系统的、简洁的方式总结 表达。

作业:

1.教材 P97 1.(2), (3) 2.判定方程 4 x ? x ? 15 ? 0在区间[1,2]内
3

实数解的存在性,并说 明理由。

方程x ? 2x ? 3 ? 0与函数y ? x ? 2 x ? 3
2 2

方程x ? 2x ? 1 ? 0与函数 y ? x ? 2x ? 1
2 2

方程x ? 2x ? 3 ? 0与函数y ? x ? 2x ? 3
2 2

y

y

? 2 ?1 0 1 2 3 4

x

a

0

b

c

d

x


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