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2016-2017年数学·选修2-3(人教A版)练习:章末复习课3

章末复习课 [整合· 网络构建] [警示· 易错提醒] 1.线性回归方程中的系数及相关指数 R2,独立性检验统计量 K2 公式复杂,莫记混用错. 2.相关系数 r 是判断两随机变量相关强度的统计量,相关指数 R2 是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量,而 K2 是判断两分类 变量相关程度的量,应注意区分. 3.在独立性检验中,当 K2≥6.635 时,我们有 99.9%的把握认 为两分类变量有关,是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为 99%而不是两分类变量有关系的概率为 99%. 专题一 回归分析思想的应用 回归分析是对抽取的样本进行分析,确定两个变量的相关关系, 并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化. 如果两个变量非线性 相关,我们可以通过对变量进行变换,转化为线性相关问题. [例 1] 一个车间为了规定工时定额, 需确定加工零件所花费的 时间,为此进行了 10 次试验,测得的数据如下表所示: 零件数 x/个 加工时间 y/min 10 62 20 72 30 75 40 81 50 85 60 95 70 103 80 108 90 112 100 127 (1)画出散点图,并初步判断是否线性相关; (2)若线性相关,求线性回归方程; (3)求出相关指数; (4)作出残差图; (5)进行残差分析; (6)试制订加工 200 个零件的用时规定. 解:(1)散点图,如图所示: 由图可知,x,y 线性相关. (2)x 与 y 的关系可以用线性回归模型来拟合, 不妨设回归模型为 ^ ^ ^ — y = a + b x.因为— x =55, y =92, 0.670, ^ — ^ 553 827 a= y -b— x =92-825×55= 15 ≈55.133. ^ 故线性回归方程为 y =0.670x+55.133. (3)利用所求回归方程求出下列数据: yi yi-yi y i -— y 61.833 0.167 -30 68.533 3.467 -20 75.233 -0.233 -17 81.933 -0.933 -11 88.633 -3.633 -7 yi yi-yi y i -— y 95.333 -0.333 3 102.033 0.967 11 108.733 -0.733 16 115.433 -3.433 20 122.133 4.867 35 (4)因为 ei=yi-yi,利用上表中数据作出残差图,如图所示: (5)由散点图可以看出 x 与 y 有很强的线性相关性,由 R2 的值可 以看出回归效果很好. 由残差图也可观察到,第 2,5,9,10 个样本点的残差比较大, 需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误. ^ (6)将 x=200 代入回归方程,得 y =189,所以可以制订 189 min 加工 200 个零件的规定. 归纳升华 建立回归模型的一般步骤: (1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报 变量; (2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间 的关系(如是否存在线性关系); (3)由经验确定回归方程的类型,如我们观察到数据呈线性关系, ^ ^ ^ 选用线性回归方程 y = a + b x; (4)按一定规则估计回归方程中的参数; (5) 得出结果后分析残差图是否有异常 (个别数据对应的残差过 大,或残差呈现不随机的规律性,等等),若残差存在异常,则应检 查数据是否有误,或模型是否合适等; (6)依据回归方程做出预报. [变式训练] 某商场经营一批进价是 30 元/台的小商品,在市场 试验中发现,此商品的销售单价 x(x 取整数)元与日销售量 y 台之间 有如下对应数据: 单价 x/元 日销售 y/台 35 56 40 41 45 28 50 11 (1)画出散点图并说明 y 与 x 是否具有线性相关关系?如果有, 求出线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字); (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据(1)写出 P 关于 x 的 函数关系式, 并预测当销售单价 x 为多少元时, 才能获得最大日销售 利润. 解: 散点图如图所示: 从图中可以看出这些点大致分布在一条直 线附近,因此两个变量具有线性相关关系. ^ ^ ^ — 设回归直线方程为 y = a + b x,由题意知— x =42.5, y =34, ^ — ^ a= y -b— x =34-(-3)×42.5=161.5. ^ 所以 y =-3x+161.5. (2)依题意有: P = ( - 3x + 161.5)(x - 30) = - 3x2 + 251.5x - 4 845 = - ? 251.5?2 251.52 3?x- 6 ? + -4 845. 12 ? ? 所以当 x= 251.5 ≈42 时,P 有最大值. 6 即预测销售单价约为 42 元时,能获得最大日销售利润. 专题二 独立性检验的应用 独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例 分析方法.常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大 小;利用假设检验求随机变量 K2 的值能更精确地判断两个分类变量 间的相关关系. [例 2] 为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度,在该市 随机抽取了 50 名市民进行调查,他们月收入(单位:百元)的频数分 布及对楼市限购令的赞成人数如下表所示: 月收入 频数 赞成 人数 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 5 4 10 8 15 8 10 5 5 2 5 1 将月收入不低于 55 的人群称为“高收入族”,有收入低于 55 的人群称为“非高收入族”. (a+b+c+d)(ad-bc)2 (1)已知: K= , 当 K2<2.706 (a+b)(c+d)(a+c)


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