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(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题12 三视图、体积(测)(含解析)


(寒假总动员) 2015 年高三数学寒假作业 专题 12 三视图、 体积 (测) (含解析)
时间:45 分钟 总分:100 分 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. (2012 年高考湖南卷理科 3)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视 图不可能是( )

2.(2012 年高考新课标全国卷理科 7)如图, 网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

3.(2012 年高考新课标全国卷理科 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,

?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为(
2 ( A) 6 3 6 2 3 2 ( D) 2



(B)

(C )

4.(2012 年高考江西卷理科 10)如右图,已知正四 棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是 侧 棱 SC 上 一 动 点 , 过 点 E 垂 直 于 SC 的 截 面 将 正 四 棱 锥 分 成 上 、 下 两 部 分 , 记

SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下 面部分的体积为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x) 的图像大致为(



5.(2012 年高考全国卷理科 4)已知正四棱柱 为

ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E
) D.1

CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为(
B.

A.2

3

C. 2

积法得 CF ? 1 ,选 D. 【考 点定位】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解。体现 了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可. 6.【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】一个四面体的顶点在空间直 角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四 面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )

(A)

(B)

(C)

(D)

7. 【 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 辽 宁 卷 ) 理 科 】 已 知 三 棱 柱

ABC ? 1A 1 B的 C6个顶点都在球 的球面上若 O . 1 AA1 ? 12,则球O的半径为(


A ?B , 3

A ?C , 4

3 17 A. 2
[答案]C

B. 2 10

13 C. 2

D. 3 10

[解析] 构建长方体的棱长分别为 3,4,12.体对角线长为 3 +4 +12 =13 ,外接圆的半径为

2

2

2

13 2 ,故选 C.
[学科网考点定位]:本题考查空间几何体模型的认识. 8. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷) 理科】 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图 可以是( )

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】一个几何体的三视图如图所示,该 几何体从 上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 V1 , V 2 , V3 , V 4 ,上面两个简单几何体均 为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体,则有

A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4

B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4

[学科网考点定位]本题借助三视图还原实物图考查体积的计算,考查空间想象能力和计算 能力.

10.【2013 年全国高考新课标(I)理科】如图,有一个 水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm, 将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计 容器的厚度, 则球的体积为( ) 500π A、 cm3 3 866π B、 cm3 3 1372π C、 cm3 3 2048π D、 cm3 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11. (2012 年高考辽宁卷理科 13) 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ______________。

12.(2012 年高考辽宁卷理科 16)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的 求面上,若 P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_______.

【考点定位】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能 力以及转化思想,该题灵活性较强,难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜 入手, 注意到条件中的垂直关系,把三棱锥转化为正方体来考虑就容易多了。 13. (2012 年高考江苏卷 7) 如图, 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB ? AD ? 3cm ,AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1 D1 D 的体积为 cm3.

【考点定位】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强,结合空间中点 线面的位置关系、平面与平面垂 直的性质定理考查 .重点找到四棱锥 A ? BB1 D1 D 的高为

AO ,这是解决该类问题的关键.在复习中,要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记
牢,并且会灵活运用.本题属于中档题,难度适中. 14.(2012 年 高考天津卷理科 10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体 积为

m3 .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 15. (2012 年高考湖北卷理科 19) 如图 1,∠ACB=45°,BC=3,过动点 A 作 AD⊥BC,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连 接 AB,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°(如图 2 所示) , (1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A-BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A-BCD 的体积最大时,设点 E,M 分别为棱 BC,AC 的中点,试在棱 CD 上确定一点 N,使得 EN⊥BM,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小

【解析】 (Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x .
?

D D ? C 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) ,A
?

, AD ? BD ,且 BD ? DC ? D ,

1 1 S?BCD ? BD ? CD ? x(3 ? x) 2 2 所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90 ,所以 .于是

1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12
? 1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ? ? 12 ? 3 3, ?
3

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.

? ? 故 ?ENH ? 60 ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 .

【考点定位】本小题考查空间线 线与线面的位置关系,考查同学们的空间想象能力、逻辑推

理能力、分析问题与解决问题的能力. 16. (2012 年高考湖南卷理科 18) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD ,AB=4 ,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
sin ?PBA ?
因为

PA BF ,sin ?BPF ? , PB PB 所以 PA ? BF .
?

由 ?DAB ? ?ABC ? 90 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2.

在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

BG ? AB2 ? AG 2 ? 2 5, BF ?
8 5 . 5

AB2 16 8 5 ? ? . BG 2 5 5

PA ? BF ?
于是

1 S ? ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 2 又梯形 ABCD 的面积为 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15

??? ? ??? ? CD , AP (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与
平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CD ? PB PA ? PB cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即 ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? . CD ? PB PA ? PB


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