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揭阳一中2012-2013高二下学期第一次阶段考试文数


揭阳一中 2012-2013 高二下学期第一次阶段考试 文科数学
(本试卷共 20 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟.) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.命题 p : ?x ? R, x ? 0 ,则 ? p 是 A. ?x0 ? R, x0 ? 0 C. ?x0 ? R, x0 ? 0 2. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x 的递减区间是
? ? ? ? A. ? ? ?,? 6 ? 或 ? 6 ,?? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

B. ?x0 ? R, x0 ? 0 D. ?x ? R, x ? 0

B. ?? 1,1?

C. ?? ?,?1? 或 ?1,?? ?

? 6 6? D. ? ? ? ? 2 , 2 ? ? ?

3. 把红,黄,蓝,白 4 张纸牌随机地分发给甲,乙,丙,丁四个人,每人一张,则事件" 甲分得红牌"与事件"丁分得红牌"是 ( ) A.不可能事件 B.互斥但不对立事件 C.对立事件 D.以上答案都不对 4. 过抛物线 y2 ? 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P( x1, y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两点,如果

x1 ? x2 ? 6,则 PQ ? (
A.8 B.9

) C.10 D.11 )

5. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次,出现“正面向上的点数为 3”的概率是(

1 1 1 1 B. C. D. 3 5 6 4 4 6.曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为(
A. A. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 4 x ? y ? 3 ? 0 )



?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 7.设实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 2 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是( ?y ? 2 ?
A.

?4 ? ? 5 ,8? ? ?

B. 1,2 2

?

?
4 3

C. ?1,8?

?2 5 ? D. ? ,2 2 ? ? 5 ?


8.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y ? ? 3 x ,则双曲线的离心率是( A.

2 3 3

B. 2

C.

D. 4

1

9. 已知 a1 , x, y, a2 成等差数列, b1 , x, y, b2 A.

?a1 ? a2 ?2 ? 2 的取值范围是( 成等比数列.则
b1b2
D. ?? ?,?1? ? ?1,?? ?



?0,2?

B. ?? 2,0? ? ?0,2?

C.

?? ?,?2?? ?2,?? ?

10.设三次函数 f (x ) 的导函数为 f ?(x) ,函数 y ? x ? f ?(x) 的图象的一部分如图所示,则正 确的是 A. f (x ) 的极大值为 f ( 3 ) ,极小值为 f (? 3 ) B. f (x ) 的极大值为 f (? 3 ) ,极小值为 f ( 3 ) C. f ( x ) 的极大值为 f (3) ,极小值为 f (?3) D. f (x ) 的极大值为 f (?3) ,极小值为 f (3) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.在一个小组中有 5 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传 志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是 12.若函数 f ( x ) ? . .

x2 ? a 在 x ? 1 处取极值,则 a ? x ?1

13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3 x ,它的一个焦点在 a 2 b2 抛物线 y2 ? 8x 的准线上,则双曲线的方程为 .
, 切线的斜率为 .

14. 过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为

三、解答题(本题共 6 小题,第 15—16 题每小题 12 分,第 17—20 题每小题 14 分,满分 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(12 分)将 A、B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (I)共有多少种不同的结果? (II)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率为多少?

16.(12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点 ( n,

Sn 1 ) ( n ? N ? ) 均在直线 y ? x ? 上. 2 n

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? 3an ,试证明数列 {bn } 为等比数列.

2

17. (14 分) 已知倾斜角为 60? 的直线 L 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A 、
B 两点,其中 O 坐标原点.

(1)求弦 AB 的长; (2)求三角形 ABO 的面积.

18. (14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2) , 且在点 M(-1,f(-1) )处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间.

19.(14 分)设 a 为实数, 函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a. (Ⅰ)求 f (x ) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.

20. (14 分)已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a). (1)若 f '( ?1) ? 0 ,求 f (x ) 在 ? ?2, 2? 上最大值和最小值;

? ? (2)若 f (x ) 在 ? ??, 2? 和 ? 2, ? ? 上都是递增的,求 a 的取值范围。

3

参考答案
一、选择题: (在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.本题共 10 小题,每小 题 5 分,满分 50 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 A 5 D 6 D 7 A 8 B 9 C 10 C

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.

5 18

12. 3

13. x ?
2

y2 ?1 3

14. (1,e), e

三、解答题: (本题共 6 小题,第 15—16 题每小题 12 分,第 17—20 题每小题 14 分,满分 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 12 分) 解: (I) 共有 6 ? 6 ? 36种结果 ??????4 分

(II)若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数,则点数之和是 3 的倍数的结果有: (1,2)(2,1)(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)(4,5)(5,4) , , , , , , , , , (3,6)(6,3)(6,6)共 12 种. , , (III)两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是:P= ??????8 分

12 1 ? . 36 3

???12 分

16.(12 分) 解: (1)依题意得,

Sn 1 1 ? n ? , 即 Sn ? n2 ? n . n 2 2

……………(2 分)

当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? n) ? ?(n ? 1)2 ? (n ? 1)? ? 2n ? 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 12 ? 所以 an ? 2n ?

1 2

? ?

1 2

? ?

1 ; 2

……(6 分)

1 3 1 ?1 ? ? 2 ?1 ? . 2 2 2

………………(7 分) ………………(8 分)

1 (n ? N * ) . 2
2n? 1 2

(2)证明:由(1)得 bn ? 3an ? 3 ∵



……………………(9 分) ………………(11 分) ………………(12 分)

bn ?1 3 ? bn

1 2( n ?1) ? 2 2n? 1 2

? 32 ? 9 ,

3



{bn } 为等比数列.

17. (14 分) 解: (1)由题意得:直线 L 的方程为 y ? 3( x ? 1) , ………………(2 分) 代入 y2 ? 4x ,得: 3x2 ?10x ? 3 ? 0 . ………………(4 分)

4

10 . 3 10 16 由抛物线的定义得:弦长 AB ? x1 ? x2 ? p ? ? 2 ? . 3 3
设点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则: x1 ? x2 ? (2)点 O 到直线 AB 的距离 d ? 所以三角形 OAB 的面积为 S ?
? 3 3 ?1 ? 3 , 2

………………(6 分) ………………(9 分) ………………(12 分) ………………(14 分

1 4 3 AB ? d ? . 2 3

18. (14 分)解: (Ⅰ)由 f (x ) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? 2,

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c.
由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.
?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得 b ? c ? ?3. ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
故所求的解析式是 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2. (Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3. 解得 x1 ? 1 ? 2 , x 2 ? 1 ? 当1 ? 2 ? x ? 1 ? --------8 分

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ?1 ? 0.

2 . 当 x ? 1 ? 2 , 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0;

2时, f ?( x) ? 0.

故 f(x ) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2 的增区间是(??,1 ?

2)和 (1 ? 2 ,?? ) ,减区间是

(1 ? 2 ,1 ? 2 ) .

--------14 分
2

19. (14 分) 解:(I) f '( x) =3 x -2 x -1 若 f '( x) =0,则 x ==- 当 x 变化时, f '( x) , f ( x ) 变化情况如下表:

1 , x =1 3
(1,+∞) +

x
f '( x) f ( x)

(-∞,- +

1 ) 3



1 3

(-

1 ,1) 3


1 0 极小值

0 极大值

?

?

?

5 ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 --------8 分 27 (II)由(I)可知,取足够大的正数时,有 f ( x ) >0,取足够小的负数时有 f ( x ) <0, 结合 f ( x ) 的单调性可知:
∴ f ( x ) 的极大值是 f (? ) ?

1 3

5

5 ? a <0,或 a -1>0 时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点, 27 5 ∴当 a ? (??, ? ) ∪(1,+∞)时,曲线 y = f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。--------14 分 27
20. (14 分) 解: (1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 ,由 f ' (?1) ? 0, 得 3 ? 2a ? 4 ? 0 ? a ? ??????????????????3 分

1 , 2

1 此时 f ( x) ? ( x 2 ? 4)( x ? ), f ' ( x) ? 3x 2 ? x ? 4 ? ? 3x ? 4 ?? x ? 1? ?? 4 分 2 4 令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? ?1或 . ??????????????????5 分 3
当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f (x )

?2

(?2,?1)


?1
0 极大值

4 (?1, ) 3


4 3
0

4 ( ,2) 3


2

0



9 2



极小值 ?

50 27



0

9 4 50 ?????? 8 分 ? f ( x) max ? f (?1) ? , f ( x) min ? f ( ) ? ? . 2 3 27 (2) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点 0, 4) ( ? 的抛物线。? 9 分 ? f (x) 在 ?? ?, 2?和 ?2, ?? 上都是递增的, ? ? ? 当 x ? ?2 或 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 恒成立, ????????????11 分 ? f ' (?2) ? 0 ?4a ? 8 ? 0 则? ' ?? ? ?2 ? a ? 2. ?8 ? 4a ? 0 ? f (2) ? 0
故 a 的取值范围为 ?? 2,2?. ???????????????????14 分

6



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