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人教A版高中数学必修三课件:3.3.1几何概型及其概率计算_图文

概 3 .3 率 几何概型 3.3.1几何概型及其概率计算 结合已学过两种随机事件发生的概率的方法,更 进一步研究试验结果为无穷多时的概率问题理解几何 概型的定义与计算公式. 基础梳理 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件______,则 称这样的概率模型为__________简称为几何概型. 例如:判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型, 还是几何概型. (1)抛掷两颗骰子,求出现两个“4点”的概率; (2)有一个时钟形转盘,甲乙两人玩转盘游戏,规定当 指针指向数字12到数字6之间区域时,甲获胜,否则乙获胜, 求甲获胜的概率. 区域的长度(面积或体积)成比例 几何概率模型 例:(1)古典概型 (2)几何概型 2.在几何概型中,事件A概率计算公式为: P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 3.几何概型的特点:在一个区域内_______,只与该区 域的_______有关. 构成事件A的区域长度?面积或体积? 4.几何概型与古典概型的区别:_________. 例如:一个人到单位的时间可能是8∶00至9∶00之间的 任何一个时刻;那么他8∶00到8∶20到的概率是:____. 3.均匀分布 大小 4.试验的结果不是有限个 1 例: 3 思考应用 1.课本就平面的情形给出了几何概型,除此之外, 几何概型还适用于哪些情形? 解析:几何概型还适用于直线或空间的情形,只 需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”.几 何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如 果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个 基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示, 而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关 的问题即可利用几何概型来解决. 2.几何概型有哪些基本特征? 解析:几何概型的有两个基本特征:(1)无限性: 每次试验的结果有无穷多个,且全体结果可用一个有度 量的区域来表示;(2)等可能性:每次试验的各种结果是 等可能的.几何概型的试验中,事件A的概率只与子区 间域A的几何度量(长度、面积或体积)成比例,而与A的 位置和形状无关. 3.几何概型与古典概型有何区别?如何求得几 何概型中事件A发生的概率? 解析:古典概型具有有限性和等可能性,而几 何概型则是在试验中出现无限多个结果,且仅与事 件的区域长度有关.几何概型的概率计算公式: 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? 自测自评 1.如下图所示将一圆四等分,向圆盘内随机撒两 粒小米,则两粒米都落在阴影部分的概率是( ) 1 A. 4 1 解析:一粒落在阴影部分的概率为 , 2 1 两粒均落在阴影部分概率为 . 4 答案:A 1 B. 2 2 C. 4 D.0 2.如下图所示在500 mL的水中有一个草履虫, 现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,则发现 草履虫的概率( C ) A.0 B.0.002 C.0.004 D.1 3.在区间(1,3)内的所有实数中,随机取一个实数x, A 则这个实数是不等式2x-5<0 4.取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如 下图),随机向正方形内丢一粒豆子,豆子落入 1 π 3. 4. 圆内的概率为 . 3 ________ 4 与长度、角度有关的几何概型 (1)如下图有两个转盘,转盘上每个扇形的面 积都相等,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向A区 域(阴影部分)时,甲获胜,否则乙获胜,在两种情形下 甲获胜的概率分别是多少? (2)取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置剪 断,求剪得两段的长都不小于1米的概率. 解析:(1)在玩转盘时,指针指向转盘上任一位置都 是随机的等可能的,也就是说试验的所有可能的结果(基 本事件)有无限多个,而且每个基本事件的发生都是等可 能的,因而甲获胜的概率只与字母A所在扇形区域的圆弧 的长度有关,而与字母A所在区域的位置无关,只要字母 A所在扇形区域的圆弧长度不变,不管这些区域是相邻还 是不相邻,甲获胜的概率都是不变的. 1 2 故在图(a)中,甲获胜的概率为 ,在图(b)中甲获胜的概率为 . 2 3 (2)从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪 断位置有无穷多点,则基本事件有无限多个,而且每一 个基本事件都是等可能的,因此事件发生的概率只与剪 断的绳子的长度有关. 设事件A=“剪成两段的长都不小于1米”,把绳子 三等分,当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生而中 间一段长度μA=1,又μΩ=3,故 P(A)= A = . μ 3 Ω μ 1 跟踪训练 1.公共汽车站每隔5 min有一辆汽车通过,乘客到达 汽车站的任一时刻是等可能的,求乘客候车不超过3 min的 概率. 分析:时间是连续型的,是无限的,在题设条件下 这是几何概型,问题是Ω和A各是什么? 解析:设A=“候车时间不超过3 min”.x表示乘客来 到车站的时刻,那么每一个试验结果可表示为x,假定乘 客到达车站后开来一辆公共汽车的时刻为t,据题意,乘 客必然在(t-5,t]内来到车站,故Ω={x|t-5<x≤t},欲乘 客候车时间不超过3 min,必有t-3≤x≤t,所以A={x|t- 3≤x≤t}, A的度量 3 所以 P(A)= = =0.6. Ω的度量 5 答:乘客候车时间不超过 3 min 的概率为 0.6. 点评:几何概型应用广泛,其难点是确定几何 度量.本例中,设定乘客到站后开来一辆公共汽车 的时刻t后,就容易写出Ω、A,这里设“t”是关键. 与面积有关的几何概型 如右下图在墙上挂着一块边长为16 cm的正方 形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m远向此板投镖.设投镖击 中线上或没有击中木板时都不算,可重投,问: (1)投中大圆内的概率是多


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