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高考数学一轮复习精品课件及配套练习第七章第三节课时知能训练


课时知能训练
一、选择题 1.已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么 直线 c 一定( ) A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 【解析】 若 c 与 a,b 都不相交,则 c 与 a,b 都平行,则 a∥b 与 a,b 异面相矛盾. 【答案】 C

图 7-3-8 2.如图 7-3-8 所示,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 C?l,直 线 AB∩l=M,过 A、B、C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必通 过( ) A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 【解析】 易知 γ 过 C 点,且 M∈AB, ∴M∈γ,∴γ 也过 M 点. 【答案】 D 3.下列四个命题中,真命题的个数为( ) (1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; (2)两条直线可以确定一个平面; (3)若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 (1)错,如果两个平面有三个公共点,那么这两个平 面重合,此命题在三点不共线时才成立. (2)错,两直线是异面直线时不能确定一个平面. (3)对,若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l.

(4)错,空间中,相交于同一点的三直线不一定在同一平面内. 【答案】 A

图 7-3-9 4.如图 7-3-9,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,过顶点 A1 与正方体其他顶点的连线与直线 BC1 成 60° 角的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 直线 A1C1、直线 A1B 都与 BC1 成 60° 的角. 【答案】 B 5.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ) 10 1 3 10 3 A. 10 B.5 C. 10 D.5 【解析】 取 DD1 的中点 F,连结 CF,∠D1CF 为所成的角或其 5+2-1 3 10 补角,取 AB=1,cos∠D1CF= = 10 . 2 5× 2 【答案】 C 二、填空题

图 7-3-10 6.如图 7-3-10 所示,若正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成的角的正切值是 ________. 【解析】 因为 AD∥A1D1,异面直线 BD1 与 AD 所成的角就是 BD1 与 A1D1 所成的角,即∠A1D1B. 由勾股定理,得 A1B=2 5, tan ∠A1D1B= 5. 【答案】 5 7.(2012· 惠州质检)a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出五个 命题:

①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 【解析】 由公理 4 知①正确;当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 相交、 平行,也可以异面,故②不正确;当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 相交、平行,也可以异面,故③不正确;a?α,b?β,并不能说 明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故④不正确. 【答案】 ①

图 7-3-11 8.一个正方体纸盒展开后如图 7-3-11 所示,在原正方体纸盒 中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60° ; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.

【解析】 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,如图所 示,则 AB⊥EF,EF 与 MN 为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD. 所以①③正确. 【答案】 ①③ 三、解答题

图 7-3-12 9.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图 7-3 -12 所示,其中 P 点不在对角线 B1D1)上.

(1)过 P 点在空间作一直线 l,使 l∥直线 BD,应该如何作图?并 说明理由; (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与直线 BD 成 α 角, π 其中 α∈(0,2],这样的直线有几条,应该如何作图? 【解】 (1)连结 B1D1,BD,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l,使 l∥B1D1,则 l 即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线 BD.如图(1)

(1) (2)在平面 A1C1 内作直线 m,使 m 与 B1D1 相交成 α 角, ∵BD∥B1D1, ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角,如图(2). π 由图知 m 与 BD 是异面直线,且 m 与 BD 所成的角 α∈(0,2].

(2) π π 当 α=2时,这样的直线 m 有且只有一条;当 α≠2时,这样的直 线 m 有两条.

图 7-3-13 10.如图 7-3-13 所示,等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90° , BC= 2,DA⊥AC,DA⊥AB,若 DA=1,且 E 为 DA 的中点.求 异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值. 【解】 取 AC 的中点 F,连结 EF,BF,在△ACD 中,E、F 分别是 AD、AC 的中点,∴EF∥CD. ∴∠BEF 即为异面直线 BE 与 CD 所成的角或其补角. 1 1 在 Rt△EAB 中,AB=AC=1,AE=2AD=2,

5 ∴BE= 2 .

1 1 1 2 在 Rt△EAF 中,AF=2AC=2,AE=2,∴EF= 2 . 1 5 在 Rt△BAF 中,AB=1,AF=2,∴BF= 2 . 在等腰三角形 EBF 中, 1 2 EF 2 4 10 cos∠FEB= BE = = 10 , 5 2 10 ∴异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 .

图 7-3-14 11. 如图 7-3-14, 三棱锥 P—ABC 中, PA⊥平面 ABC, ∠BAC =60° ,PA=AB=AC=2,E 是 PC 的中点. (1)求异面直线 AE 和 PB 所成角的余弦值; (2)求三棱锥 A—EBC 的体积. 【解】 (1)取 BC 的中点 F,连结 EF,AF,则 EF∥PB. 所以∠AEF 就是异面直线 AE 和 PB 所成的角或其补角.

∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2,PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2,

2+2-3 1 =4. 2× 2× 2 (2)因为 E 是 PC 中点, cos∠AEF= 1 所以 E 到平面 ABC 的距离为2PA=1, 1 3 3 VA—EBC=VE—ABC=3× 4 ×4×1= 3 .



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