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高中数学第一章导数及其应用1.3.3导数的实际应用课堂探究新人教B选修2-2讲解


高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.3 导数的实际应用课堂探究 新人教 B 版选修 2-2
探究一 收益(利润)最大问题 利用导数解决收益(利润)最大问题, 关键是要建立收益(利润)的函数关系式, 然后借助 导数研究该函数的最大值,注意函数定义域的限制以及实际意义. 【典型例题 1】 某公司准备在两个项目上投资.已知在 A 项目上投资的收益(万元)与 投资额(万元)的平方根成正比,且当投资额为 9 万元时,投资收益为 2 万元;在 B 项目上的 投资收益 g(t)(万元)与投资额 t(万元)的关系式是 g(t)=3ln? 两个项目上共投资 350 万元,试求该公司的最大总收益. 思路分析: 设在 A 项目上的投资额为 x(万元), 则在 B 项目上的投资额为(350-x)万元, 然后将收益表示为 x 的函数再用导数求解. 解: 设该公司在 A 项目上的投资额为 x 万元, 依题意, 在 A 项目上的收益为 f(x)=k x, 2 2 又当 x=9 时,f(9)=2,即 k 9=2,所以 k= ,于是 f(x)= x. 3 3 这时在 B 项目上的投资额为 350 - x 万元,则在 B 项目上的收益为 g(350 - x) = 3ln?

? x +1?.已知该公司现准备在 ? ?10 ?

?350-x+1?. ? ? 10 ?
2 ?360-x?, 于是该公司的总收益为 h(x)=f(x)+g(350-x)= x+3ln? ? 其中 0<x<350. 3 ? 10 ? 2 1 10 ? 1? 于是 h′(x)= · +3· ·?- ? 3 2 x 360-x ? 10? = 1 3 x - 3 360-x-9 x = 360-x 3 x?360-x?



-? x+24?? x-15? , 3 x?360-x?

令 h′(x)=0,得 x=15,即 x=225, 当 0<x<225 时,h′(x)>0; 当 225<x<350 时,h′(x)<0, 所以 h(x)在 x=225 处取得极大值,即最大值, 2 135 27 最大值为 h(225)= 225+3ln =10+3ln , 3 10 2 27? ? 故该公司最大总收益为?10+3ln ?万元. 2? ? 探究二 费用最低(用料最省)问题
1

将费用或用料表示为某个变量的函数,然后研究该函数的最值情况.多数情况下,用料 最省问题会涉及几何体的表面积问题, 这时要注意结合平面几何, 立体几何中相关的公式求 解. 【典型例题 2】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要 建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万 元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系: C(x) = (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费 3x+5

k

用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 思路分析:根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值. 解:(1)设隔热层厚度为 x cm, 由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= . 3x+5 40 又 C(0)=8,∴k=40,因此 C(x)= ,而建造费用 C1(x)=6x,从而隔热层建造费 3x+5 用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x) = 20C(x) + C1(x) =20× (0≤x≤10); (2)f′(x)=6- 即 2 400 2,令 f′(x)=0, ?3x+5? 40 800 + 6x = + 6x 3x+5 3x+5

k

2 400 25 (舍去). 2=6,得 x1=5,x2=- ?3x+5? 3

当 0<x<5 时,f′(x)<0,当 5<x<10 时,f′(x)>0. 800 故 5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+ =70,即当隔热层修建 5 15+5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 探究三 面积、体积最大问题

求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根据题 设确定出自变量及其取值范围, 利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数, 然后利用 导数的方法来解. 【典型例题 3】 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器 的底面的一边比另一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 思路分析:可设容器的底面的短边长为 x m,那么长边的长以及高就可用 x 表示出来, 从而得到容积与 x 的函数关系式,然后用导数求得最大值.
2

解:设容器底面短边的边长为 x m, 则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =3.2-2x. 4 由题意知 x>0,x+0.5>0, 且 3.2-2x>0,∴0<x<1.6. 设容器的容积为 V m , 则有 V=x(x+0.5)(3.2-2x) =-2x +2.2x +1.6x(0<x<1.6), ∴V′=-6x +4.4x+1.6. 令 V′=0,有 15x -11x-4=0, 4 解得 x1=1,x2=- (舍去). 15 ∴当 x∈(0,1)时,V′(x)>0,V(x)为增函数,
2 2 3 2 3

x∈(1,1.6)时,V′(x)<0,V(x)为减函数,
∴V 在 x∈(0,1.6)时取极大值 V(1)=1.8, 这个极大值就是 V 在 x∈(0,1.6)时的最大值, 即 Vmax=1.8,这时容器的高为 1.2 m, ∴当高为 1.2 m 时,容器的容积最大,最大值为 1.8 m . 探究四 易错辨析
3

易错点 忽视实际问题中变量的取值范围而出错 【典型例题 4】 某厂生产一种机器,其固定成本(即固定投入)为 0.5 万元.但每生产 100 台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台, 1 2 销售收入(单位:万元)函数为:R(x)=5x- x (0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位: 2 百台). (1)把利润 y 表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? 错解:(1)由题意知,成本函数 C(x)=0.5+0.25x,
2? ? y=R(x)-C(x)=?5x- x ?-(0.5+0.25x)=- x2+ x- (0≤x≤5).

?

1 2 ?

1 2

19 4

1 2

19 19 (2)y′=-x+ ,令 y′=0,得 x= =4.75, 4 4 ∴4.75 必为最大值点. ∴年产量为 475 台时,工厂利润最大. 错因分析:实际问题中,该厂生产的产品数量不一定在 500 台之内(含 500 台),应有 x

3

>5 的情况,错解忽视了此种情况,就出现了错误. 正解:(1)利润 y=R(x)-C(x)



?5x-x ?-?0.5+0.25x??0≤x≤5?, ? ? ?? 2? ?

2

?? 5 5×5- ? -?0.5+0.25x??x>5? ? ? ?? 2? ?
2

1 ? ?- x2+4.75x-0.5?0≤x≤5?, =? 2 ? ?12-0.25x?x>5?. 1 2 (2)0≤x≤5 时,y=- x +4.75x-0.5, 2 ∴当 x=4.75 时,ymax≈10.78(万元); 当 x>5 时,y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元). ∴年产量是 475 台时,工厂所得利润最大.

4



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