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山东省烟台市高三数学上学期期末统考试题 文(扫描版)_图文

山东省烟台市 2015 届高三数学上学期期末统考试题 文(扫描版)

高三文科数学答案 一.选择题:CDACD ADBBD 二.填空题:11. ?3 三.解答题 16.解: (1) f ( x) ? 所以 ? = 12. 3 13. 10 14. x ?
2

y2 ?1 3

15. 4

? 3 1 sin 2? x ? cos 2? x = sin(2? x ? ) . 6 2 2
1 , 2

……4 分

…………5 分

所以 f ( x) ? sin ? x ? (2)由 f ( A) ? 所以 A ?

? ?

??

?. 6?

…………6 分

?

1 ? ? 5? ?? 1 ? ,得 sin ? A ? ? = ,因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? , 2 6 6 6 6? 2 ? =

?

3 6 6 2 2 2 2 由 b +c ? 2bc cos A=a 得, b2 +c 2 ? bc=3 ,所以 (b ? c) ? 3bc ? 3 ,
又 b ? c ? 3 ,所以 bc ? 2 , 所以 S?ABC ? ……………11 分 ………12 分

,所以 A ?

?

.

……9 分

1 1 3 3 . bc sin A= ? 2 ? = 2 2 2 2

17.解: (1)由

S Sr r ? ( )2 得, n ? n2 ,而 a1 ? 1=S1 ,所以 Sn ? n2 . ………2 分 S1 St t

当 n ? 2 时, an =Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 , 且当 n ? 1 时,此式也适合, ………4 分所以数列 ………6 分 ………8 分

?an ? 的通项公式为 an =2n ?1 .
(2) bn ? 所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 =( ? ), ? ? 2 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n +1

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 4? ?? 2 ? ? 2 3 ?

1 n 1 1 ? 1 )? . 12 分 ?( ? ) ? ? (1 ? n+1 4(n ? 1) n n+1 ? 4

18.(1)证明:因为 ?ABC ? ?ACD ? 90 ,

?BAC ? ?CAD ? 60 ,所以 ?FDC ? 30 ,
又 ?FCD ? 30 ,所以 ?ACF ? 60 , 所以 AF ? CF ? DF , 所以 F 为 AD 的中点, ………3 分

P
E A
F

B
C

D

又 E 为 PD 的中点,所以 EF // PA , 而 AP ? 平面 PAB ,所以 EF // 平面 PAB 又 ?BAC ? ?ACF ? 60 , 所以 CF // AB ,可得 CF // 平面 PAB 又 EF

CF ? F ,

所以平面 CEF / / 平面 PAB ,而 CE ? 平面 CEF , 所以 CE // 平面 PAB . (2)因为 EF // AP ,所以 EF // 平面 APC , 又 ?ABC ? ?ACD ? 90 , ?BAC ? 60 , PA ? 2 AB ? 2 , ………6 分

CD ? 所以 AC ? 2 AB ? 2,

AC ?2 3, tan 30

………9 分

所以 VPACE ? VE ? PAC ? VF ? PAC ? VP ? ACF = ?

1 1 S?ACD ? PA 3 2
………12 分

1 1 1 2 3 . ? ? ? ? 2? 2 3 ? 2 ? 3 2 2 3

19.解: (1)依题意共有小球 n ? 2 个,标号为 2 的小球 n 个,从袋子中随机抽取 1 个小球, 取到标号为 2 的小球的概率为

n 1 ? ,得 n ? 2 ;…3 分 n?2 2

(2) ①从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球共有 12 种结果, 而满足 2 ? a ? b ? 3 的 结果有 8 种,故 P( A) ?
2

8 2 ? ; 12 3
2 2

……6 分

②由①可知, ( x, y )可以看成平面中的点的坐 (a ? b) ? 4 ,故 x ? y ? 4 , 标,则全部结果所构成的区域为

? = ?( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2, x, y ? R? ,由几何概型得概率为
1 4 ? ? ? 22 ? 4 P? ?1? . 4 4
20.解: (1) y 2 ? 4 5x 的焦点为

………12 分

?

5, 0 ,

?

………1 分

根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴上,且 a ? 5 , 因为离心率 e ?

6 6 30 ,所以 c ? ea ? , ? 5? 3 3 3

2 2 故b ? a ?c ? 5?

10 5 ? , 3 3

………4 分

x2 y 2 ? ? 1. 故所求方程为 5 5 3
(2)将 y ? k ( x ? 1) 代入 E : x 2 ? 3 y 2 ? 5 得,

………6 分

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 ,
设 A( x1 ,y1 ) , M (m , 0) , B( x2 ,y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

………7 分

6k 2 3k 2 ? 5 x x ? , , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

………8 分

MA ? MB ? ( x1 ? m ,k ( x1 ?1)) ? ( x2 ? m ,k ( x2 ?1))
? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x1 ) ? k 2 ? m2
? (k 2 ? 1) 3k 2 ? 5 6k 2 2 ? ( k ? m )( ? ) ? k 2 ? m2 2 2 3k ? 1 3k ? 1
……10 分

=m2 ?

(6m ? 1)k 2 ? 5 3k 2 ? 1
………12 分

1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? , 3 3(3k 2 ? 1)
要使上式与 k 无关,则有 6m ? 14 ? 0 ,解得 m ? ? 所以点 M 的坐标为 (?

7 , 3
………13 分

7 , 0) . 3

21.解: (1)由 f ( x) ? x ? 1 ?

a a ,得 f ?( x) ? 1 ? x . x e e

又 y ? f ( x) 在点 (1 ,f (1)) 处的切线平行于 x 轴, 得 f ?(1) ? 0 ,解得 a ? e . (2) f ?( x) ? 1 ? …4 分

a . ex

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , y ? f ( x) 为 ? ??, ? ?? 上增函数, 所以 y ? f ( x) 无极值; ②当 a ? 0 时,令 f ?( x)=0 得 x ? ln a . ………6 分

当 x ? ? ??, ln a ? 上递减, ln a ? 时, f ?( x) ? 0 , y ? f ( x) 在 ? ??, 当 x ? ? ln a, +?? 上递增, +?? 时, f ?( x) ? 0 , y ? f ( x) 在 ? ln a, 故 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值 f (ln a) ? ln a ,无极大值,……8 分 综上,当 a ? 0 时, y ? f ( x) 无极值; 当 a ? 0 时 y ? f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值. ……9 分 (3)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 1 ?

1 . ex

直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点等价于关于 x 的方程

1 在 R 上没有实数解, ex 1 (k ? 1)x ? x( ?) 即关于 x 的方程 在 R 上没有实数解. ………11 分 e kx ? 1 ? x ? 1 ?

( ?) ①当 k ? 1 时,方程 为 ( ?) ②当 k ? 1 时,方程 为

1 =0 ,在 R 上没有实数解;………10 分 ex
1 =xe x . k ?1

令 g ( x) ? xe x ,则有 g ?( x) ? ( 1+x)e x . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? ?1 , 当 x 变化时, g ?( x ) 的变化情况如下表:

x
g ?( x) g ( x)

? 1? ? ??,
负 减

?1
0

+?? ? ?1,
正 增

?

1 e

当 x ? ?1 时, g ( x) min ? ?

1 ? 1 ? ,从而 g ( x) ? ? ? , ? ??, e ? e ?

所以当

1 1? ? ( ?) 没有实数解, ? ? ??, ? ? 时,方程 k ?1 ? e?
………13 分 ………14 分

解得 k ? ?1 ? e, 1? , 综上, k 的取值范围为 ?1 ? e, 1? .



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