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2013届高考理科数学第一轮复习测试题02

/ A级 基础达标演练 满分:60 分) (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.方程(x-y)2+(xy-1)2=0 表示的是( A.一条直线和一条双曲线 C.两个点 ). B.两条双曲线 D.以上答案都不对 ?x-y=0, 解析 (x-y)2+(xy-1)2=0?? ?xy-1=0, ?x=1, ?x=-1, ∴? 或? ?y=1 ?y=-1. 答案 C 1 ?1 ? 2.(2012· 厦门模拟)已知点 F?4,0?,直线 l:x=-4,点 B 是 l 上的动点.若过 ? ? B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M, 则点 M 的轨迹是( A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线 ). 解析 由已知:|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点 M 的轨迹是以 F 为焦点,l 为准 线的抛物线,故选 D. 答案 D → → 3.设 P 为圆 x +y =1 上的动点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,若PM=λMQ 2 2 (其中 λ 为正常数),则点 M 的轨迹为( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 ). D.抛物线 解析 设 M(x,y),P(x0,y0),则 Q(x0,0), → → ?x-x0=λ?x0-x?, 由PM=λMQ得? (λ>0), ?y-y0=-λy ?x0=x, ∴? ?y0=?λ+1?y. 由于 x20+y20=1,∴x2+(λ+1)2y2=1,∴M 的轨迹为椭圆. 答案 B 4.(2012· 长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为 1 圆周上任一点.线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方 程为 ( 4x2 4y2 A. 21 - 25 =1 4x2 4y2 C. 25 - 21 =1 4x2 4y2 B. 21 + 25 =1 4x2 4y2 D. 25 + 21 =1 ). 解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|, ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故 M 的轨迹为椭圆, 5 21 ∴a=2,c=1,则 b2=a2-c2= 4 , 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 25 + 21 =1. 答案 D 5.(2011· 湘潭模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一定点,M 是 圆周上一动点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ). A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析 由条件知|PM|=|PF|. ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O、F 为焦点的椭圆. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → y? ? 6.平面上有三个点 A(-2,y),B?0,2?,C(x,y),若AB⊥BC,则动点 C 的轨 ? ? 迹方程是________. → y? y? ? ? 解析 AB=?0,2?-(-2,y)=?2,-2?, ? ? ? ? 2 → y? ? y? ? BC=(x,y)-?0,2?=?x,2?, ? ? ? ? → → → → ∵AB⊥BC,∴AB· =0, BC y? ? y ? ? ? ∴?2,-2?·x,2?=0,即 y2=8x. ? ?? ? ∴动点 C 的轨迹方程为 y2=8x. 答案 y2=8x ? a ? ?a ? 7.(2012· 佛山月考)在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B?-2,0?,C?2,0? ? ? ? ? 1 (a>0),且满足条件 sin C-sin B=2sin A,则动点 A 的轨迹方程是________. |AB| |AC| 1 |BC| 解析 由正弦定理: 2R - 2R =2× 2R , 1 ∴|AB|-|AC|=2|BC|,且为双曲线右支. 答案 16x2 16y2 a2 - 3a2 =1(x>0 且 y≠0) x y 8.直线 + =1 与 x、y 轴交点的中点的轨迹方程是______. a 2-a x y 解析 (参数法)设直线a+ =1 与 x、y 轴交点为 A(a,0)、B(0,2-a),A、B 中 2-a a a 点为 M(x,y),则 x=2,y=1-2,消去 a,得 x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0, x≠1. 答案 x+y=1(x≠0,x≠1) 三、解答题(共 23 分) 9.(★)(11 分)设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中 点的轨迹方程. 解 法一 直接法. 如图,设 OQ 为过 O 点的一条弦,P(x,y)为其中点, ?1 ? 则 CP⊥OQ.因 OC 中点为 M?2,0?,连接 PM. ? ? 1 1 1 ? 1? 故|MP|=2|OC|=2,得方程?x-2?2+y2=4,由圆的范围知 0<x≤1. ? ? 3 法二 定义法. ∵∠OPC=90° , ?1 ? ? 1? ∴动点 P 在以点 M?2,0?为圆心,OC 为直径的圆上,由圆的方程得?x-2?2+y2 ? ? ? ? 1 =4(0<x≤1). 法三 代入法. 设 Q(x1,y1),则 ?x=x1, ? 2 ? y1 ?y= 2 ? ?x1=2x, ?? 又∵(x1-1)2+y21=1, ?y1=2y. ∴(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 法四 参数法. 设动弦 OQ 的方程为 y=kx,代入圆的方程得(x-1)2+k2x2=1. 即(1+k2)x2-2x=0, ∴x= x1+x2 k 1 = y=kx= , 消去 k 即可得到(2x-1)2+(2y)2=1(0<x≤1). 2, 2 1+k 1+k2 【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法,在求轨迹方程时,要注 意挖掘题目中的条件,恰当地选


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