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高中数学一轮复习资料


高中数学一轮复习资料
第五章 三角函数
第四节 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图像
A组 1.(2009 年高考浙江卷改编)已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是________.

2π 解析:函数的最小正周期为 T= ,∴当|a|>1 时,T<2π.当 0<|a|<1 时,T>2π,观察图形中周期与振幅的关系,发现④不 |a| 符合要求.答案:④ π 2.(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数 y=sin(x- )的图象,则 φ 等于 6 ________. π π 11π 11π 解析:y=sin(x- )=sin(x- +2π)=sin(x+ ).答案: 6 6 6 6 3.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值为________. π 解析:因为 f(x)= 3sinx-cosx=2sin(x- ),f(x)的图象向右平移 φ 个单位所得图象对应的函数为奇函数,则 φ 的最小值 6 5π 为 . 6 5π 答案: 6 4. 如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, -π<φ<π), x∈R 的部分图象,则下列命题中,正确命 题的序号为________. π ①函数 f(x)的最小正周期为 ; 2 ②函数 f(x)的振幅为 2 3; 7 ③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x= π; 12 π 7 ④函数 f(x)的单调递增区间为[ , π]; 12 12 2 ⑤函数的解析式为 f(x)= 3sin(2x- π). 3 T 5π π 7π 7π 2π 解析:据图象可得:A= 3, = - ?T=π,故 ω=2,又由 f( )= 3?sin(2× +φ)=1,解得 φ=2kπ- (k∈Z), 2 6 3 12 12 3 2π 2π 7π 又-π<φ<π,故 φ=- ,故 f(x)= 3sin(2x- ),依次判断各选项,易知①②是错误的,由图象易知 x= 是函数图象的一 3 3 12 π 7π 条对称轴,故③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间[ , ]只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推导易知 12 12 正确.答案:③⑤ 5.(原创题)已知函数 f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2010)成立,则 ω 的最小值为________. 解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可,且 f(x)=sinωx+cosωx 2π ω π π π = 2sin(ωx+ ),则 2010≥ ?ω≥ .答案: 4 2 2010 2010 π 6.(2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωx· sin(ωx+ )+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在 y 轴右侧的第一个最高点的 2 π 横坐标为 . (1)求 ω; 6

π (2)若将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y 6 =g(x)的图象,求函数 g(x)的最大值及单调递减区间. 3 1 3 π 3 解:(1)f(x)= sin2ωx+ cos2ωx+ =sin(2ωx+ )+ , 2 2 2 6 2 π π π 令 2ωx+ = ,将 x= 代入可得:ω=1. 6 2 6 π 3 (2)由(1)得 f(x)=sin(2x+ )+ , 6 2 1 π 3 经过题设的变化得到的函数 g(x)=sin( x- )+ , 2 6 2 4 5 当 x=4kπ+ π,k∈Z 时,函数取得最大值 . 3 2 π 1 π 3 令 2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ π(k∈Z), 2 2 6 2 4π 10 ∴4kπ+ ≤x≤4kπ+ π(k∈Z). 3 3 4π 10 即 x∈[4kπ+ ,4kπ+ π],k∈Z 为函数的单调递减区间. 3 3 B组 1.(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则 φ=________. T 3 解析:由图可知, =2π- π, 2 4 5 2π 5 4 ∴T= π,∴ = π,∴ω= , 2 ω 2 5 4 ∴y=sin( x+φ). 5 4 3 又∵sin( × π+φ)=-1, 5 4 3 ∴sin( π+φ)=-1, 5 3 3 ∴ π+φ= π+2kπ,k∈Z. 5 2 9 9 ∵-π≤φ<π,∴φ= π. 答案: π 10 10 2 . (2010 年南京调研 ) 已知函数 y = sin(ωx + φ)(ω>0 , |φ|<π) 的图象如图所示,则 φ = ________. 2π π 解析:由图象知 T=2( - )=π. 3 6 2π π π π π π ∴ω= =2, 把点( , 1)代入, 可得 2× + φ= ,φ= .答案: T 6 6 2 6 6 π 3.(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π,为了得到函数 g(x)=cosωx 的图象, 4 只要将 y=f(x)的图象________. π 解析:∵f(x)=sin(ωx+ )(x∈R,ω>0)的最小正周期为 π, 4 2π ∴ =π,故 ω=2. ω π π π π 又 f(x)=sin(2x+ )∴g(x)=sin[2(x+ )+ ]=sin(2x+ )=cos2x. 4 8 4 2 π 答案:向左平移 个单位长度 8 π 2 Acos(ωx+φ) 的图象如图所示, f( )=- , 则 4 . (2009 年高 考 辽 宁 卷改 编 ) 已 知 函 数 f(x) = 2 3 f(0)=________. T 11 7 π 2π 解析: = π- π= ,∴ω= =3. 2 12 12 3 T 7 又( π,0)是函数的一个上升段的零点, 12 7 3π π ∴3× π+φ= +2kπ(k∈Z),得 φ=- +2kπ,k∈Z, 12 2 4 π 2 2 2 2 2 代入 f( )=- ,得 A= ,∴f(0)= . 答案: 2 3 3 3 3 π π 5.将函数 y=sin(2x+ )的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(- ,0)中心对称. 3 12

π π π π 解析:由 y=sin(2x+ )=sin2(x+ )可知其函数图象关于点(- ,0)对称,因此要使平移后的图象关于(- ,0)对称,只 3 6 6 12 π π 需向右平移 即可.答案:右 12 12 ?a1 a2?=a a -a a ,将函数 f(x)=? 3 cosx?的图象向左平移 m 个单位(m>0),若 6.(2010 年深圳调研)定义行列式运算:? ? ? ? ?a3 a4? 1 4 2 3 ?1 sinx ? 所得图象对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是________. 3 1 π 解析:由题意,知 f(x)= 3sinx-cosx=2( sinx- cosx)=2sin(x- ), 2 2 6 π π π 其图象向左平移 m 个单位后变为 y=2sin(x- +m),平移后其对称轴为 x- +m=kπ+ ,k∈Z.若为偶函数,则 x=0, 6 6 2 2π 2π 2π 所以 m=kπ+ (k∈Z),故 m 的最小值为 .答案: 3 3 3 π π π 7.(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y=tan(ωx+ )(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ )的图象重 4 6 6 合,则 ω 的最小值为________. π π π π π πω π πω 解析:y=tan(ωx+ )向右平移 个单位长度后得到函数解析式 y=tan[ω(x- )+ ],即 y=tan(ωx+ - ),显然当 - 4 6 6 4 4 6 4 6 π 1 1 1 = +kπ(k∈Z)时,两图象重合,此时 ω= -6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0 时,ω 的最小值为 .答案: 6 2 2 2 π π 3π 3π 5π 8.给出三个命题:①函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 ;②函数 y=sin(x- )在区间[π, ]上单调递增;③x= 是函数 3 2 2 2 4 5π y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是________. 6 π π π 3π 解析: 由于函数 y=sin(2x+ )的最小正周期是 π, 故函数 y=|sin(2x+ )|的最小正周期是 , ①正确; y=sin(x- )=cosx, 3 3 2 2 3π 5π 5π 5π 5π π 5π 5π 3 该函数在[π, )上单调递增, ②正确;当 x= 时,y=sin(2x+ )=sin( + )=sin( + )=cos =- ,不等于函数 2 4 6 2 6 2 6 6 2 5π 5π 的最值,故 x= 不是函数 y=sin(2x+ )的图象的一条对称轴,③不正确.答案:2 4 6 πx 9.(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 πx 解析:当 0≤x≤1 时,y=sin 的图象如图所示,y =kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于此图 2 象下方,当 k≤0 时,y=kx 在[0,1]上的图象恒在 x 轴下 方,原不等式成立. πx 当 k>0,kx≤sin 时,在 x∈[0,1]上恒成立,k≤1 即可. 2 πx 故 k≤1 时,x∈[0,1]上恒有 sin ≥kx.答案:k≤1 2 2π +2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 .(1)求 ω 10.(2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)=(sinωx+cosωx)2 3 π 的值;(2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单调增区间. 2 π 2π 2π 解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx· cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2= 2sin(2ωx+ )+2,依题意,得 = , 4 2ω 3 3 故 ω= . 2 π π 5π (2)依题意,得 g(x)= 2sin[3(x- )+ ]+2= 2sin(3x- )+2. 2 4 4 π 5π π 2 π 2 7π 由 2kπ- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z),解得 kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 2 4 2 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为[ kπ+ , kπ+ ](k∈Z). 3 4 3 12 π 2π 11. (2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ), x∈R(其中 A>0, ω>0,0<φ< )的周期为 π, 且图象上一个最低点为 M( , 2 3 -2). π (1)求 f(x)的解析式;(2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值. 12 2π 2π 2π 解:(1)由最低点为 M( ,-2)得 A=2.由 T=π 得 ω= = =2. 3 T π 2π 4π 4π 由点 M( ,-2)在图象上得 2sin( +φ)=-2,即 sin( +φ)=-1, 3 3 3 4π π 11π π π ∴ +φ=2kπ- (k∈Z),即 φ=2kπ- ,k∈Z.又 φ∈(0, ),∴φ= , 3 2 6 2 6

π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 6 π π π π π π π π π (2)∵x∈[0, ],∴2x+ ∈[ , ],∴当 2x+ = ,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1;当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)取得 12 6 6 3 6 6 6 3 12 最大值 3. π 12.(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ),其中 ω>0,|φ|< . 2 π 3π (1)若 cos cosφ-sin sinφ=0,求 φ 的值; 4 4 π (2)在(1)的条件下,若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数 f(x)的解析式;并求最小正实数 m,使 3 得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数. π 3π π π 解:法一:(1)由 cos cosφ-sin sinφ=0 得 cos cosφ-sin sinφ=0, 4 4 4 4 π π π 即 cos( +φ)=0.又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4 π T π 2π (2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = ,又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ).函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 4 π π π g(x)=sin[3(x+m)+ ],g(x)是偶函数当且仅当 3m+ =kπ+ (k∈Z), 4 4 2 kπ π π 即 m= + (k∈Z).从而,最小正实数 m= . 3 12 12 法二:(1)同法一. π T π 2π (2)由(1)得 ,f(x)=sin(ωx+ ).依题意, = .又 T= ,故 ω=3, 4 2 3 ω π ∴f(x)=sin(3x+ ). 4 π 函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)=sin[3(x+m)+ ]. 4 g(x)是偶函数当且仅当 g(-x)=g(x)对 x∈R 恒成立, π π 亦即 sin(-3x+3m+ )=sin(3x+3m+ )对 x∈R 恒成立. 4 4 π π ∴sin(-3x)cos(3m+ )+cos(-3x)· sin(3m+ ) 4 4 π π =sin3xcos(3m+ )+cos3xsin(3m+ ), 4 4 π π π π kπ π 即 2sin3xcos(3m+ )=0 对 x∈R 恒成立.∴cos(3m+ )=0,故 3m+ =kπ+ (k∈Z),∴m= + (k∈Z),从而,最小 4 4 4 2 3 12 π 正实数 m= . 12



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