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高三总复习16——分段函数的几个问题


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高三总复习——分段函数的几个问题 高三总复习——分段函数的几个问题 —— 与分段函数有关的类型题的求解, 在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型, 并未作 深入说明,因此,对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多,现举例说明其求解的方法. 一、求分段函数的函数值

例 1 已知函数 求 f{f[f(a)]} (a<0)的值。 分析 求此函数值关键是由内到外逐一求值,即由

a<0, f(a)=2a,又 0<2a<1,

,

,

所以,



注:求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段. 二、求分段函数的解析式 例 2 某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西红柿售 价与上市时间的关系用图 1 的一条折线表示; 西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 2 的抛物 线段表示: (I)写出图 l 表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t),写出图 2 表示的种植成本与上市时 间的函数关系式 Q=g(t); (II)认定市面上售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

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解析: (I)由图 l 可得市场售价与时间的关系为 解析

由图 2 可得种植成本与时间的函数关系为

(0≤t≤300)。

(II)设 t 时间的纯收益为 h(t),由题意得 h(t)=f(t)-g(t)

再求 h(t)的最大值即可。 注:观察图 1,知 f(t)应是一个关于 t 的一次分段函数,观察图 2 可知 g(t)是关于 t 的二次函 数,可设为顶点式,即设 g(t)=a(t-150)2+100。 三.求分段函数的最值 例 3.求例 2 中的利润函数(即上市的西红柿收益)在何时上市可使西红柿的纯收益最大? .

解析: 解析:当 0≤t≤200 时,配方,整理,得

所以当 t=50 时,h(t)取得区间[0,200]上的最大值 100;

当 200<t≤300 时,配方,整理,得



所以当 t=300 时,h(t)取得(200,300]上的最大值 87.5。 综上,由 100>87.5 知,h(t)在区间[0,300]上可取得最大值 100,此时 t=50,即从二月一日开 始的第 50 天时,上市的西红柿纯收益最大。
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例 4.设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R, . 分析: 分析:因为原函数可化为

求 f(x)的最小值。

所以,只要分别求出其最小值,再取两者较小者即可。

解:当 x<a 时,函数 f(x)=x2-x+a+1

,

所以若

,则函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减,从而 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1。



,则函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为

,且



当 x≥a 时,函数





,则函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为

,且





,则函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a2+1。

综上,当

时,函数 f(x)的最小值是





时,函数 f(x)的最小值是 a2+1;

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时,函数 f(x)的最小值是



注:分段函数的最值求解的方法是先分别求出各段函数的最值,再进行大小比较,从而达到 求解的目的。 四.求分段函数的值域

例 5.求函数 .

的值域。

解:因为当 x≥0 时,x2+1≥1;当 x<0 时,-x2<0。 所以,原函数的值域是[1,+∞)∪(-∞,0)。 注:分段函数的值域求解,只要分别求出各部分的值域,再取其并集即可。 五.判定分段函数的奇偶性

例 6.判断函数 . 解:当 x>0 时,-x<0, f(-x)=-(-x)2(-x+1)=x2(x-1)=f(x); 当 x=0 时,f(-0)=f(0)=0; 当 x<0 时,f(-x)=(-x)2(-x-1)=-x2(x+1)=f(x)。

的奇偶性。

因此,对任意 x∈R 都有 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数。 注:分段函数的奇偶性必须对 x 的值分类,从而比较 f(-x)与 f(x)的关系,得出 f(x)是否是奇 偶函数的结论。 六.判断分段函数的单调性

例 7.判断函数 .

的单调性。

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分析: 分析:由于 x∈R,所以对于设 x1>x2 必须分成三类:

1.当 x1>x2>0 时,则 f(x1)-f(x2)=

=(x1-x2)(x1+x2)>0;

2.当 0>x1>x2 时,则



3.当 x1>0>x2 时,则

综上所述:x∈R,且 x1>x2 时,有 f(x1)-f(x2)>0。 所以函数 f(x)是增函数。 注:分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论。 七.求分段函数的反函数

例 8.求函数 . 解:∵ f(x)在 R 上是单调减函数, ∴ f(x)在 R 上有反函数。

的反函数。

∵ y=x2+1(x≤0)的反函数是

(x≥1),

y=1-x(x>0)的反函数是 y=1-x(x<1),

∴ 函数 f(x)的反函数是 注 :求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可。 八.分段函数的图象 例 9.已知函数 f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线 y=a 有且仅有 3 个交点,求 a 的值。 .

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解:∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|,



由图象易知 a=4。 注:此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像,再根据数形结合的方法求出,不用 写出函数解析式,更简单。

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