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2018年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念学案新人教A版选修2_2

3.1.1 数系的扩充和复数的概念 预习课本 P102~103,思考并完成下列问题 (1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么?复数集如何分类? (2)复数能否比较大小?复数相等的充要条件是什么?纯虚数、虚数、实数、复数关系 如何? [新知初探] 1.复数的有关概念 我们把集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位. 全体复数所成的集合 C 叫做复数集. 复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi(a,b∈R),这一表示形式叫做复数的代数形式. 对于复数 z=a+bi,以后不作特殊说明都有 a,b∈R,其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部与虚部. [点睛] 复数概念的三点说明 (1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成 a+bi(a,b∈R)的形式,其中 0=0 +0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z=a+bi 只有在 a,b∈R 时才是复数的代数形式,否则不是代数形式. 2.复数相等 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数 a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规 定:a+bi 与 c+di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d. 3.复数的分类 对于复数 a+bi,当且仅当 b=0 时,它是实数;当且仅当 a=b=0 时,它是实数 0;当 b≠0 时,叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时,叫做纯虚数.这样,复数 z=a+bi 可以分类如下: ?实数?b=0?, ? 复数 z? ?虚数?b≠0??当a=0时为纯虚数?. ? 1 [点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数.( (2)若 a 为实数,则 z=a 一定不是虚数.( ) ) ) (3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相等.( 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.(1+ 3)i 的实部与虚部分别是( A.1, 3 C.0,1+ 3 答案:C 3.复数 z=(m -1)+(m-1)i(m∈R)是纯虚数,则有( A.m=±1 C.m=1 答案:B B.m=-1 D.m≠1 2 ) B.1+ 3,0 D.0,(1+ 3)i ) 复数的概念及分类 [典例] 实数 x 分别取什么值时,复数 z= 虚数?(3)纯虚数? [解] ? ?x -2x-15=0, (1)当 x 满足? ?x+3≠0, ? 2 x2-x-6 2 +(x -2x-15)i 是(1)实数?(2) x+3 即 x=5 时,z 是实数. ? ?x -2x-15≠0, (2)当 x 满足? ?x+3≠0, ? 2 即 x≠-3 且 x≠5 时,z 是虚数. ? ? (3)当 x 满足? x -2x-15≠0, ? ?x+3≠0, 2 x2-x-6 =0, x+3 2 即 x=-2 或 x=3 时,z 是纯虚数. 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满 足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式 z=a+bi(a,b∈ R)时应先转化形式. (2)注意分清复数分类中的条件 设复数 z=a+bi(a,b∈R),则①z 为实数?b=0,②z 为虚数?b≠0,③z 为纯虚数 ?a=0,b≠0.④z=0?a=0,且 b=0. [活学活用] 当 m 为何值时,复数 z=m (1+i)-m(3+i)-6i,m∈R,是实数?是虚数?是纯虚数? 解:∵z=(m -3m)+(m -m-6)i, ∴(1)当 m 满足 m -m-6=0,即 m=-2 或 m=3 时,z 为实数. (2)当 m 满足 m -m-6≠0,即 m≠-2 且 m≠3 时,z 为虚数. (3)当 m 满足? ?m -3m=0, ? ? ?m -m-6≠0, 2 2 2 2 2 2 2 即 m=0 时,z 为纯虚数. 复数相等 [典例] 已知关于 x 的方程 x +(1-2i)x+(3m-i)=0 有实数根,则实数 m 的值为 ________,方程的实根 x 为________. [解析] 设 a 是原方程的实根, 则 a +(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a +a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以 a +a+3m=0 且 2a+1=0, 1 ? 1?2 1 所以 a=- 且?- ? - +3m=0, 2 ? 2? 2 1 所以 m= . 12 [答案] 1 1 - 12 2 2 2 2 2 [一题多变] 1.[变条件]若将本例中的方程改为:x +mx+2xi=-1-mi 如何求解? ? ?x0+mx0=-1, 解:设实根为 x0,代入方程,由复数相等定义,得? ?2x0=-m, ? 2 2 3 解得? ?x0=1, ? ?m=-2 ? 或? ?x0=-1, ? ?m=2, ? 因此,当 m=-2 时,原方程的实根为 x=1,当 m=2 时,原方程的实根为 x=-1. 2.[变条件]若将本例中的方程改为:3x - x-1=(10-x-2x )i,如何求解? 2 解: 设方程实根为 x0, 则原方程可变为 3x0- x0-1=(10-x0-2x0)i, 由复数相等定义, 2 得: 2 2 m 2 m 2 m ? ?3x2 0- x0-1=0, 2 ? ?10-x0-2x2 ? 0=0, 5 x =- , ? ? 2 或? 71 ? ?m=- 5 , 0 ? ?x0=2, 解得? ? ?m=11 因此,当 m=11 时,原方程的实根为 x=2; 71 5 当 m=- 时,原方程的实根为 x=- . 5 2 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等, 虚部与虚部相等列方程组求解.


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