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用待定系数法求二次函数关系式


y 用待定系数法
O

求二次函数关系式

X

中考训练场
?

?

已知一次函数y=kx+b,当 x=4时,y的值 为9;当 x=2时,y的值为-3;求这个函 数的关系式。【2004年中考第15题7分】 解: 依题意得:
4k+b=9 2k+b=-3

解得

k=6

b=-15

∴y=6x-15

教师点评
?

一般地,函数关系式中有几个系数,那么 就需要有几个等式才能求出函数关系式.
① 一次函数关系: y=kx (k≠0正比例函数关系) y=kx+b (其中k≠0)

?

② 反比例函数关系:

k y ? (k ? 0) x

引出新课
?

如果要确定二次函数的关系式,又需要几个条 件呢? y=ax2 (a≠0)
y=ax2+k (a≠0)

?

二次函数关系:

y=a(x-h)2 (a≠0) Y=a(x-x1)(x-x2) 交点式 y=a(x-h)2+k (a≠0) 顶点式 y=ax 2+bx+c (a≠0) 一般式

用待定系数法求二次函数关系式
?

例7:已知二次函数的图象经过点(0,1)、 (2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数 的关系式。 解: 设函数关系式为:y=ax2+bx+c,则有 ?c ? 1 ? a ? 1 .5 ? ? 4 a ? 2 b ? c ? 4 ? 解得: ?b ? ?1.5 ?c ? 1 ?9a ? 3b ? c ? 10 ? ?
∴y=1.5x2-1.5x+1

试下再说
?

?

已知抛物线过三点(0,-2)、(1,0)、 (2,3),试求它的关系式。 解: 设函数关系式为:y=ax2+bx+c,则有
?c ? ?2 ? ?a ? b ? c ? 0 ?4a ? 2b ? c ? 3 ?
∴y=0.5x2+1.5x-2 解得:
? a ? 0 .5 ? ?b ? 1.5 ?c ? ? 2 ?

方法交流
?

和同伴交流一下做题的 方法和做题的体会,互相 帮助,互相学习,共同进 步!

y

再试一下
?

3 o 1 3

x

如图,求抛物线的函数关系式.
解:设函数关系式为:y=ax2+bx+c

由图知,抛物线经过点(0,3),(1,0),(3,0),所以 ?c ? 3 ?a ? 1 ? ? a ? b ? c ? 0 ? ?b ? ?4 解得: ?9a ? 3b ? c ? 0 ?c ? 3 ? ?
∴此抛物线的函数关系式为:y=x2-4x+3

用待定系数法求二次函数关系式
?

?

例6:已知一个二次函数的图象经过点(0,1), 它的顶点坐标和(8,9), 求这个二次函数的 关系式。 解:∵顶点坐标是(8,9) ∴可设函数关系式为:y=a(x-8)2+9
又∵ 函数图象经过点(0,1)

1 ∴ a× 解得a= ? 8 1 ∴函数关系式为:y= ? (x-8)2+9 8

(0-8)2+9=1

先试一下
?

?

已知抛物线的顶点为(-1,-2),且过 (1,10),试求它的关系式。 解: ∵顶点坐标是(-1,-2)
∴可设函数关系式为:y=a(x+1)2-2
又∵ 函数图象经过点(1,10) ∴a× (1+1)2-2=10 解得a=3

∴函数关系式为:y=3 (x+1)2-2

方法交流
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又学了一种方法,大家 交流下先!

再试一下
?

抛物线的图象经过(0,0)与(0,12)两点, 其顶点的纵坐标是3,求它的函数关系式。
【2002年中考第18题7分】

分析:顶点的坐标是(6,3) 方法1: 可 设 函 数 关 系 式 为 : y=a(x-6)2+3

y

3 o

12 x

方法2:设函数关系式为:y=ax2+bx+c

不知不觉又学两种方法,整理下先.
根据近几年的中考要求重点考察如下两种形 式: (1)给出三点坐标:
?

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

一般式

(2)给出两点,且其中一点为顶点:

y ? a( x ? h) ? k (a ? 0)
2

顶点式

07中考模拟考场
?

1.已知二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象经过点 (0,1),(2,-1)两点。【2003中考第 16题7分】
2

(1)求b与c的值。

解:依题意得:
c=1 b=-3 4+2b+c=-1

解得
c=1
∴b=-3,c=1.

07中考模拟考场
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1.已知二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象经过 点 (0,1),(2,-1)两点。【2003中考 第16题7分】
2

(2)试判断点P(-1,2)是否在此函数图象 上。 解:由(1)可得 y ? x ? 3x ? 1
2
2 y ? ( ? 1 ) ? 3? (?1) ? 1 ? 6 ? 2 当x=-1时,

∴点P(-1,2)不在此函数图象上。

07中考模拟考场
?

2.已知抛物线的对称轴是x=1 ,抛物线 与 x 轴的两个交点的距离为4,并且经过 点(2,3),求抛物线的函数关系式。

.C(2,3) . . A o 1 B x

y

作业!
1. P27第7题! ? 2. 已知二次函数的图象经过三点:(-1,-1)、
?
? ? ?

(0,-2)、(1,1)。 (1)求它的函数关系式。 (2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (3)这个函数有最大值还是最小值?这个值是 多少?



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